高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册导数在研究函数中的应用教案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册导数在研究函数中的应用教案设计，共10页。

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习函数的极值与最大(小)值
学生已经具有导数概念、导数几何意义、导数计算、函数的单调性等相关的数学概念知识，对函数的单调性有一定的认识，对相应导数的内容也具有一定的储备。
函数的极值与最值是函数的一个重要性质。在学习运用导数判断函数单调性的基础上，研究和学习函数的极值与最值是导数的一个重要应用，注意培养学生数形结合思想、特殊到一般的研究方法，发展学生直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养。。
重点： 求函数最值的方法及其综合应用
难点：函数最大（小）值的概念以及与函数极值的区别与联系
多媒体
运用“问题探究式”“观察发现式”“讨论式”的教学方法，本节课在前一节所学利用导数求单调性的基础上，引导学生通过生活实例、观察图象，自己探究归纳、总结出函数的最值定义及利用导数求最值的方法。让学生主动地获得知识，老师只是进行适当的引导，而不进行全部的灌输。为突出重点，突破难点，这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学。课程目标
学科素养
A.了解函数最大（小）值的概念以及与函数极值的区别与联系；
B．掌握求函数最值的方法及其应用；
C．体会数形结合、化归转化的数学思想．
1.数学抽象：求函数最值的方法
2.逻辑推理：函数极值与最值的关系
3.数学运算：运用导数求函数的最值
4.直观想象：最值与极值的关系
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
温故知新
1.求函数 y=f(x)的极值的一般方法：
解方程 f '(x) = 0.当 f '(x0) = 0 时：
如果在x0附近的左侧f '(x)>0,右侧f '(x)0 ，那么 f (x0) 为极小值；
探究新知
我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质。也就是说，如果x0是函数y=f(x)的极大（小）值点，那么在x=x0附近找不到比f (x0)更大的值，但是，在解决实际问题或研究函数性质时，我们往往更关注函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小，如果x0是某个区间上函数y=f(x)的最大（小）值点，那么f (x0)不小（大）于函数y=f(x)在此区间上所有的函数值。
探究1：函数y=f(x)的在区间[a,b]的图像，你能找出它的极大值、极小值吗？
极大值：f(x2)、f(x4)、f(x6)；极小值： f(x1)、f(x3)、f(x5)；
探究2：那么f (x)在区间[a,b]的内最大值、最小值呢?
最大值：f(a);最小值：f(x3)
探究3：观察[a,b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在[a,b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？
最大值：f(b);最小值：f(a)；最大值：f(x3);最小值：f(x4)
1．函数的最大(小)值的存在性
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值与最小值．
连续不断
问题1：函数的极值与最值的区别是什么？
函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大（小）值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．
2．求函数f (x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤
(1)求函数y＝f (x)在区间(a，b)上的____；
(2)将函数y＝f (x)的______与____处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是______，最小的一个是______．
极值 ；各极值 ；端点 ；最大值 ；最小值
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f (x)在区间[a，b]上的最大值和最小值，一定在区间端点处取得．( )
(2)开区间上的单调连续函数无最值． ( )
(3)在定义域内，若函数有最值与极值，则极大(小 值就是最大(小)值． ( )
(4)若函数y＝f (x)在区间[a，b]上连续，则一定有最值；若可导，则最值点为极值点或区间端点． ( )
解析： (1)函数在闭区间[a，b]上的最值可能在端点处取得，也可能在极值点处取得．
(2)若单调函数有最值，则一定在区间端点处取得，但开区间上的单调连续函数在端点处无函数值，所以无最值，故正确．
(3)因为y最大值≥y极值，y最小值≤y极值，故错误．
(4)正确．
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
三、典例解析
例6: 求fx=13x3−4x+4在[0,3]的最大值与最小值.
解：因为y'=x2−4 =x+2x−2
令y'=0,解得：x1=−2,x2=2
又因为f(0)=4,f(3)=1
所以,当x=0时，函数f(x)在[0,3]上取得最大值4，
当x=2时，函数f(x)在[0,3]上取得最小值- 43.
求函数最值的着眼点
1从极值点和端点处找最值,求函数的最值需先确定函数的极值，如果只是求最值，那么就不需要讨论各极值是极大值还是极小值，只需将各极值和端点的函数值进行比较即可求出最大值和最小值.
2单调区间取端点,当图象连续不断的函数fx在[a，b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得.
跟踪训练1. 求下列各函数的最值．
(1)f (x)＝3x3－9x＋5，x∈[－2，2]；
(2)f (x)＝sin 2x－x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))).
[解] (1)f ′(x)＝9x2－9＝9(x＋1)(x－1)，
令f ′(x)＝0得x＝－1或x＝1.
当x变化时，f ′(x)，f (x)变化状态如下表：
x
－2
(－2，－1)
－1
(－1，1)
1
(1，2)
2
f ′(x)
＋
0
－
0
＋
f (x)
－1
↗
11
↘
－1
↗
11
从表中可以看出，当x＝－2时或x＝1时，
函数f (x)取得最小值－1.
当x＝－1或x＝2时，函数f (x)取得最大值11.
(2)f ′(x)＝2cs 2x－1，令f ′(x)＝0，得cs 2x＝eq \f(1,2)，
又∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴2x∈[－π，π]．
∴2x＝±eq \f(π,3).∴x＝±eq \f(π,6).
∴函数f (x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的两个极值分别为
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),2)－eq \f(π,6)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝－eq \f(\r(3),2)＋eq \f(π,6).
又f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝－eq \f(π,2)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))＝eq \f(π,2).
比较以上函数值可得f (x)max＝eq \f(π,2)，f (x)min＝－eq \f(π,2).
例7: 给定函数fx=x+1ex.
（1）判断函数fx的单调性，并求出fx的极值；
（2）画出函数fx的大致图像；
（3）求出方程fx= a(a∈R)的解的个数.
解：（1）函数的定义域为x∈R
因为f'x=x+1'ex++x+1(ex)'=ex+x+1ex=x+2ex
令f(x)'=0,解得：x=−2.
f(x)'、fx的变化情况如表所示
所以，fx在区间−∞，−2上单调递减，在区间−2，+∞上单调递增。当x=−2时，fx有极小值f−2= − 1e2.
（2）令fx=0，解得：x=−1.
当x0.
所以fx的图像经过特殊点A(−2,− 1e2),B−1,0,C0,1.
当x→−∞时，与一次函数相比，指数函数y=e−x 呈爆炸性增长，从而y=x+1e−x →0;
当x→+∞时， fx→+∞, f(x)'→+∞
根据以上信息，我们画出的大致图像如图所示
（3）方程fx=a(a∈R)的解的个数为函数y=fx的图像与直线y=a的交点个数。
由（1）及图可得，当x=−2时，有最小值f−2=− 1e2
所以，方程fx= a的解得个数有如下结论；
当a0,
fr单调递增，即半径越大，利润越高；当半径r