2025年中考第一次模拟考试卷：数学（南京卷1）（解析版）

这是一份2025年中考第一次模拟考试卷：数学（南京卷1）（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．6的算术平方根是（ ）
A．2B．6C．6D．2+2
1．C
【分析】根据算术平方根的定义进行计算即可．
【详解】解：6的算术平方根为6，
故选：C．
【点睛】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
2．若（a+3）（a+2b）＝a2﹣2a﹣15，则b等于（ ）
A．5B．−52C．2D．﹣2
2．B
【分析】把（a+3）（a+2b）变成a2+（3+2b）a+6b，再根据（a+3）（a+2b）＝a2﹣2a﹣15即可求解．
【详解】解：（a+3）（a+2b）＝a2+3a+2ab+6b＝a2+（3+2b）a+6b，
∵（a+3）（a+2b）＝a2﹣2a﹣15，
∴3+2b＝﹣2或6b＝﹣15，
解得：b=−52，
故选：B．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，掌握运算法则是解题的关键．
3．截至10月30日，某市累计新冠疫苗接种共完成1015000人次，将1015000用科学记数法表示应为（ ）
A．10.15×106B．1.015×106
C．0.1015×107D．1.015×107
3．B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：1015000＝1.015×106．
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
4．若x1，x2是一元二次方程x2﹣13x﹣14＝0的两根，则x1+x2的值是（ ）
A．13B．﹣13C．14D．﹣14
4．A
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．
【详解】解：∵x2﹣13x﹣14＝0，
∴x1+x2=−ba=−−131=13．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知若x1，x2为方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，则x1，x2与系数的关系式：x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca是解题的关键．
5．用一个平面截下列几何体，截面形状不可能出现三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．B
【分析】利用截一个几何体的截面形状进行判断即可．
【详解】解：A、用平行于三棱柱的底面的平面截三棱柱时，截面的形状是三角形，故A不符合题意；
B、圆柱从哪个方向截，截面不可能是三角形，故B符合题意；
C、沿着圆锥中心轴去截圆锥，截面的形状为三角形，故C不符合题意；
D、过四棱锥的顶点竖直截四棱锥，截面的形状为三角形，故D不符合题意；
所以，用一个平面截上列几何体，截面形状不可能出现三角形的是圆柱，
故选：B．
【点睛】本题考查了截一个几何体，熟练掌握每一个几何体的截面形状是解题的关键．
6．如图，在水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向的坐标系中标记了4个格点，已知网格的单位长度为1，若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过其中的3个格点，则a的最大值为（ ）
A．34B．1C．43D．32
6．D
【分析】根据开口向上，开口越小a越大，进而建立坐标系，求解析式求得a的值，即可求解．
【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，
依题意，经过点A，B，C时，抛物线开口向上，a的值最大，
∵A（﹣1，0），B（2，0），C（1，﹣3），
设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣2），将C（1，﹣3）代入得，
﹣3＝﹣2a，
解得：a=32，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数图象的性质，不共线三点确定抛物线解析式，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．−11的绝对值是 11 ，5−3的相反数是 3−5 ．
7．11；3−5．
【分析】根据绝对值的意义可得出−11的绝对值，根据相反数的定义可得出5−3的相反数．
【详解】解：−11的绝对值是：|−11|=11，
∴5−3的相反数是：−(5−3)=3−5，
故答案为：11；3−5．
【点睛】此题主要考查了绝对值与相反数，理解绝对值与相反数的意义是解决问题的关键．
8．若2x+1x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥−12且x≠2 ．
8．x≥−12且x≠2．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解：根据题意，得：
2x+1≥0x−2≠0，
解得x≥−12且x≠2．
故答案为：x≥−12且x≠2．
【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
9．把多项式3ax2﹣3ay2分解因式的结果是 3a（x+y）（x﹣y） ．
9．3a（x+y）（x﹣y）．
【分析】先提公因式，然后利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：3ax2﹣3ay2
＝3a（x2﹣y2）
＝3a（x+y）（x﹣y），
故答案为：3a（x+y）（x﹣y）．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法分解因式是解题的关键．
10．设α、β是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则α+β﹣αβ＝ 2 ．
10．2．
【分析】先根据根与系数的关系得α+β＝﹣1，αβ＝﹣3，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：根据根与系数的关系得α+β＝﹣1，αβ＝﹣3，
所以α+β﹣αβ＝﹣1﹣（﹣3）＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
11．已知线段点P是线段AB上的一点，AB长8厘米且BP2＝AP•AB，那么AP的长是 12−45 厘米．
11．12−45．
【分析】根据黄金分割点的定义，知BP是较长线段，得出BP=5−12AB，再根据BP2＝AP•AB可得出AP=(5−12)2AB，再将AB的值代入计算即可．
【详解】解：根据P为线段AB的黄金分割点，且BP是较长线段可得：
∴BP=5−12AB，
∴AP=(5−12)2AB，
∵AB＝8厘米，
∴AP=6−254×8=12−45（厘米），
故答案为：12−45．
【点睛】本题考查了黄金分割的概念，正确根据公式进行计算是解题关键．
12．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝120°，点E是AD上一动点，将△ABE沿BE折叠得到△A′BE，当点A′恰好落在EC上时，DE的长为 37−3 ．
12．37−3
【分析】解法一：过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F，由平行四边形的性质可得DC＝AB＝6，∠ABC＝∠ADC＝120°，AD∥BC，由平角的定义∠CDF＝60°，利用含30度角的直角三角形性质得DF=12DC＝3，CF=3DF=33，由平行线的性质得∠A＝60°，∠DEC＝∠A′CB，由折叠可知AB＝A′B＝6，∠A＝∠BA′E＝60°，于是可通过AAS证明△A′BC≌△DCE，得到BC＝CE＝8，再利用勾股定理求得EF=37，则DE＝EF﹣DF．
解法二：过点B作BF⊥AD于点F，过点C作CG⊥BE于点G，由题意易得∠A＝60°，在Rt△ABF中，AF＝AB•csA＝3，BF＝AB•sinA=33，由折叠可知∠AEB＝∠A′EB，由平行线的性质可得∠AEB＝∠CBE，进而得到∠CBE＝∠A′EB，于是△CBE为直角三角形，BC＝CE＝8，EG＝BG=12BE，易证△BEF∽△CEG，由相似三角形的性质得到BE2＝2EF•CE，设EF＝x（0＜x＜8），则BE2＝2x•8＝16x，在Rt△BEF中，利用勾股定理建立方程，求解即可．
【详解】解：解法一：如图，过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F，
∵四边形ABCD为平行四边形，AB＝6，
∴DC＝AB＝6，∠ABC＝∠ADC＝120°，AD∥BC，
∴∠CDF＝180°﹣∠ADC＝60°，
∵CF⊥AD，
∴∠CFD＝90°，∠DCF＝90°﹣∠CDF＝30°，
∴DF=12DC＝3，CF=3DF=33，
∵AD∥BC，
∴∠A＝180°﹣∠ABC＝60°，∠DEC＝∠A′CB，
根据折叠的性质可得，AB＝A′B＝6，∠A＝∠BA′E＝60°，
∴A′B＝DC＝6，∠BA′C＝180°﹣∠BA′E＝120°＝∠CDE，
在△A′BC和△DCE中，
∠A'CB=∠DEC∠BA'C=∠CDEA'B=DC，
∴△A′BC≌△DCE（AAS），
∴BC＝CE＝8，
在Rt△CEF中，EF=CE2−CF2=82−(33)2=37，
∴DE＝EF﹣DF=37−3．
解法二：当点A′恰好落在EC上时，如图，过点B作BF⊥AD于点F，过点C作CG⊥BE于点G，
∵四边形ABCD为平行四边形，BC＝8，
∴AD∥BC，AD＝BC＝8，
∵∠ABC＝120°，
∴∠A＝60°，
在Rt△ABF中，AF＝AB•csA＝6×12=3，BF＝AB•sinA＝6×32=33，
根据折叠的性质可得，∠AEB＝∠A′EB，
∵AE∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠CBE＝∠A′EB，即∠CBE＝∠CEB，
∴△CBE为等腰三角形，BC＝CE＝8，
∵CG⊥BE，
∴EG＝BG=12BE，
∵∠BEF＝∠CEG，∠BFE＝∠CGE＝90°，
∴△BEF∽△CEG，
∴EFEG=BECE，即EF12BE=BECE，
∴BE2＝2EF•CE，
设EF＝x（0＜x＜8），
∴BE2＝2x•8＝16x，
在Rt△BEF中，EF2+BF2＝BE2，
∴x2+(33)2=16x，
整理得：x2﹣16x+27＝0，
解得：x1=8+37（舍去），x2=8−37，
∴EF=8−37，
∴DE＝AD﹣AF﹣EF＝8﹣3−(8−37）=37−3．
故答案为：37−3．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、解直角三角形、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是根据题意正确画出图形，再添加合适的辅助线，构造直角三角形和全等三角形解决问题．
13．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm，圆心角为120°扇形，则该圆锥的侧面面积为 4π3 cm2．
13．4π3．
【分析】利用扇形面积公式计算即可．
【详解】解：120360π×22=4π3（cm2），
∴该圆锥的侧面面积为4π3cm2．
故答案为：4π3．
【点睛】本题考查圆锥的计算，掌握扇形的面积计算公式是解题的关键．
14．如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，对角线AE为⊙O的直径，连接HE，则∠AEH的度数为 22.5° ．
14．22.5°．
【分析】根据正八边形的性质求出其中心角的度数，再根据圆周角定理求出∠AEH即可．
【详解】解：如图，连接OH，
∵正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，
∴∠AOH=360°8=45°，
∵对角线AE为⊙O的直径，
∴∠AEH=12∠AOH＝22.5°．
故答案为：22.5°．
【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正八边形的性质以及圆周角定理是正确解答的关键．
15．如图，反比例函数y=2x的图象经过△ABO的顶点A，点D是OA的中点，若反比例函数y=kx的图象经过点D，则k的值为 12 ．
15．12．
【分析】设A（a，2a），由点D是OA的中点可知D（a2，1a），代入反比例函数y=kx，求出k的值即可．
【详解】解：∵反比例函数y=2x的图象经过△ABO的顶点A，点D是OA的中点，
∴设A（a，2a），则D（a2，1a），
∵反比例函数y=kx的图象经过点D，
∴k＝xy=a2•1a=12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E是边BC上的动点，连接AE，过点E作EF⊥AE，与CD边交于点F，连接AF，则AF的最小值为 263 ．
16．263．
【分析】根据垂直的定义得到∠ABC＝∠AEF＝∠DCB＝90°，再根据等角的余角相等得到∠A＝∠CEF，根据三角形相似的判定得到Rt△ABE∽Rt△ECF，利用相似比得到y与x之间的函数关系式，由关系顶点式即可求得．
【详解】解：BE的长为x，则CE＝BC﹣BE＝8﹣x，CF的长为y，
∵AB⊥BC，EF⊥AE，DC⊥BC，
∴∠ABE＝∠ECF＝∠AEF＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠CEF＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴Rt△ABE∽Rt△ECF，
∴ABCE=BECF，即68−x=xy，
∴y=−16x2+43x=−16（x﹣4）2+83，（0＜x＜8）
∴y最大=83，
当CF=83时，DF＝6−83=103，此时AF为最小，
AF=AD2+DC2=82+(103)2=6769=263．
故答案为：263．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和二次函数的最大值，关键在于数形结合的熟练应用．
三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（4分）计算：（a2a−3+93−a）÷a+3a．
17．a
【分析】首先计算括号内的分式，把除法转化为乘法，然后进行约分即可．
【详解】解：原式=a2−9a−3•aa+3
=(a+3)(a−3)a−3•aa+3
＝a．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，正确对分式的分子和分母进行分解因式是关键．
18．（10分）（1）解方程：x2﹣4x﹣1＝0；
（2）解不等式：2x−(x−1)≥1，1+x3＜2．．
18．（1）x1＝2+5，x2＝2−5；
（2）0≤x＜5．
【分析】（1）利用配方法得到（x﹣2）2＝5，然后利用直接开平方法解方程；
（2）分别解两个不等式得到x≥0和x＜5，然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集．
【详解】解：（1）x2﹣4x﹣1＝0，
x2﹣4x＝1，
x2﹣4x+4＝5，
（x﹣2）2＝5，
x﹣2＝±5，
所以x1＝2+5，x2＝2−5；
（2）2x−(x−1)≥1①1+x3＜2②，
解不等式①得x≥0，
解不等式②得x＜5，
所以不等式组的解集为0≤x＜5．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．也考查了解一元一次不等式组．
19．（8分）计划用若干天生产一批零件，若甲单独做则恰好如期完成，若乙单独做则要超期10天才能完成．实际生产中，先由甲、乙合作10天，剩余的零件由乙单独做，结果比计划提前了5天完成．求原计划完成的天数．
19．原计划完成的天数为20天．
【分析】设原计划完成的天数为x天，则甲单独做需要x天完成，乙单独做需要（x+10）天完成，根据先由甲、乙合作10天，剩余的零件由乙单独做，结果比计划提前了5天完成．列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：设原计划完成的天数为x天，则甲单独做需要x天完成，乙单独做需要（x+10）天完成，
由题意得：10x+x−5x+10=1，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意，
答：原计划完成的天数为20天．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
20．（8分）某校甲、乙两个班级各有23名学生进行校运动会入场式的队列训练，为了解这两个班级参加队列训练的学生的身高情况，测量并获取了这些学生的身高（单位：cm），数据整理如下：
a．甲班23名学生的身高：
163，163，164，165，165，166，166，165，166，167，167，168，169，169，170，171，171，172，173，173，174，179，180．
b．两班学生身高的平均数、中位数、众数如表所示：
（1）写出表中m，n的值；
（2）在甲班的23名学生中，高于平均身高的人数为p1，在乙班的23名学生中，高于平均身高的人数为p2，则p1 ＜ p2（填“＞”“＜”或“＝”）；
（3）若每班只能有20人参加入场式队列表演，首先要求这20人与原来23人的身高平均数相同，其次要求这20人身高的方差尽可能小，则甲班未入选的3名学生的身高分别为 163、164、180 cm．
20．（1）m＝168；n＝165或n＝166；
（2）＜；
（3）163、164、180．
【分析】（1）分别根据中位数和众数的定义解答即可；
（2）根据中位数的意义解答即可；
（3）根据平均数和方差的定义解答即可．
【详解】解：（1）把甲班23名学生的身高从小到大排列，排在中间的数是168，故中位数m＝168；
甲班23名学生的身高中165和166出现的次数最多，故众数n＝165或n＝166；
（2）由题意得，p1＝9，p2＝12，
∴p1＜p2．
故答案为：＜；
（3）∵163+164+1803=169，
∴甲班未入选的3名学生的身高分别为163、164、180cm．
故答案为：163、164、180．
【点睛】本题考查了平均数，中位数，众数，方差，掌握统计量的确定方法或计算公式是解题的关键．
21．（8分）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，AO＝CO．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC⊥BD，AB＝10，求BC的长．
21．(1)见试题解答内容 (2)10
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠DCO＝∠BAO，根据全等三角形的判定得出△DCO≌△BAO，根据全等三角形的性质得出DO＝BO，根据平行四边形的判定得出即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质得出AB＝BC，代入求出即可．
【详解】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠DCO＝∠BAO，
在△DCO和△BAO中
∠DCO=∠BAOCO=AO∠DOC=∠BOA
∴△DCO≌△BAO（ASA），
∴DO＝BO，
∵AO＝CO，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵由勾股定理得：BC2＝CO2+OB2，AB2＝AO2+OB2，
又∵AO＝CO，
∴AB2＝BC2，
∴AB＝BC，
∵AB＝10，
∴BC＝AB＝10．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
22．（8分）某省运动会如期举行，其中第二个比赛日包含排球、足球、体操以及艺术体操4个项目．现有四张关于运动项目的门票，门票的正面分别印有的图案为A．“排球”、B．“足球”、C．“体操”和 D．“艺术体操”．将这四张卡片背面朝上（这四种门票的背面完全相同，ABCD作为代号），洗匀：
（1）从中抽取一张后放回再抽取一张，两张门票分别是A和D的概率为 18 ；
（2）从中随机抽取两张，请你用合适的方法，求两张门票是B和D的概率．
22．（1）18．
（2）16．
【分析】（1）列表可得出所有等可能的结果数以及两张门票分别是A和D的结果数，再利用概率公式可得出答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及两张门票是B和D的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：（1）列表如下：
共有16种等可能的结果，其中两张门票分别是A和D的结果有2种，
∴从中抽取一张后放回再抽取一张，两张门票是A和D的概率为216=18．
故答案为：18．
（2）列表如下：
共有12种等可能的结果，其中两张门票是B和D的结果有2种，
∴两张门票是B和D的概率为212=16．
【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
23．（8分）小明家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小明利用相关数学知识测量了这个路灯的高．如图1所示，路灯顶部A处发光，光线透过窗子DC照亮地面的长度为EF，小明测得窗户距离地面高度DO＝1m，窗高CD＝1.5m，某一时刻，OE＝1m，EF＝4m，其中B、O、E、F四点在同一条直线上，C、D、O三点在同一条直线上，且AB⊥BE，CO⊥OE．
（1）求出路灯的高度AB．
（2）现在小明想让光线透过窗子DC照亮地面的最远端位置离右墙角点F的距离为2m，如图2所示，需将路灯AB的高度升高多少米？此时光线照亮地面的最近端位置离O点的距离是多少？（画出图形并解答）
23．（1）路灯的高度AB为4m；
（2）需将路灯AB的高度升高1米，此时光线照亮地面的最近端位置离O点的距离是34m．
【分析】（1）证△DOE∽△ABE，△COF∽△ABF，得DOAB=OEBE，COAB=OFBF，即可解决问题；
（2）证△CON∽△HBN，△DOM∽△HBM，得COHB=ONBN，DOHB=OMBM，即可解决问题．
【详解】解：（1）∵AB⊥BE，CO⊥OE，
∴AB∥CO，
∴△DOE∽△ABE，△COF∽△ABF，
∴DOAB=OEBE，COAB=OFBF，
即1AB=1BE，1.5+1AB=1+4BE+4，
解得：AB＝BE＝4（m），
答：路灯的高度AB为4m；
（2）由（1）得：AB＝4m，BE＝4m，
∴BF＝BE+EF＝4+4＝8（m），
∴BO＝BF﹣OE﹣EF＝8﹣1﹣4＝3（m），
如图2，将路灯AB的高度升高至BH，
由题意得：NF＝2m，
∴BN＝BF﹣NF＝8﹣2＝6（m），
∴ON＝BN﹣BO＝6﹣3＝3（m），
同（1）得BH∥CO，
∴△CON∽△HBN，△DOM∽△HBM，
∴COHB=ONBN，DOHB=OMBM，
即1.5+1HB=36，1HB=OMOM+3，
解得：HB＝5（m），OM=34（m），
∴AH＝BH﹣AB＝5﹣4＝1（m），
答：需将路灯AB的高度升高1米，此时光线照亮地面的最近端位置离O点的距离是34m．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用、平行线的判定等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
24．（8分）如图，在△ABC中，AB＞AC，
（1）请用尺规作图法在边BC上求作一点D，使S△ABD：S△ACD＝AB：AC；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，连接AD，F是AD的反向延长线上一点，过点F作 EF⊥BC 交线段BC于点E．若∠B＝35°，∠C＝60°，求∠AFE的度数．
24．（1）见解答；
（2）12.5°．
【分析】（1）利用基本作图，作∠BAC的平分线交BC于D点，则根据角平分线的性质得到点D到AB和AC的距离相等，然后根据三角形面积公式可得到S△ABD：S△ACD＝AB：AC；
（2）先根据题意画出几何图形，再利用三角形内角和计算出∠BAC＝85°，则利用角平分线的定义得到∠BAD=12∠BAC＝42.5°，接着根据三角形外角性质求出∠ADC＝77.5°，然后利用互余计算出∠AFE的度数．
【详解】解：（1）如图，点D为所作；
（2）如图，
∵∠B＝35°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝85°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=12∠BAC＝42.5°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝35°+42.5°＝77.5°，
∵FE⊥BC，
∴∠FED＝90°，
∴∠AFE＝90°﹣∠ADE＝90°﹣77.5°＝12.5°．
【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形的面积．
25．（8分）如图，在⊙O中，AB是弦，AC与⊙O相切于点A，AB＝AC，连接BC，点D是BC的中点，连接AD交⊙O于点E，连接OE交AB于点F．
（1）求证：OE⊥AB；
（2）若AD＝4，ACBC=32，求⊙O的半径．
25．见试题解答内容
【分析】（1）连接OA、OB，根据切线的性质可得出∠OAC＝90°，设∠EAC＝α，则∠OAE＝90°﹣α，由OA＝OE可得出∠OEA＝∠OAE＝90°﹣α，利用三角形内角和定理可得出∠AOE＝2α，由AB＝AC利用等腰三角形的三线合一可得出∠BAE＝∠EAC＝α，进而可得出∠BOE＝2∠BAE＝2α，即∠AOE＝∠BOE，再利用等腰三角形的三线合一可证出OE⊥AB；
（2）由ACBC=32可设AC=3x，BC＝2x，则CD=12BC＝x，由勾股定理结合AD＝4可求出x的值，进而可得出AB、AC、BD、CD、AF的值，由∠EFA＝∠BDA＝90°、∠FAE＝∠DAB可得出△FAE∽△DAB，利用相似三角形的性质可求出EF的长度，设⊙O的半径为r，则OA＝r，OF＝OE﹣EF＝r−3，利用勾股定理可求出r的长度，此题得解．
【详解】（1）证明：连接OA、OB，如图所示．
∵AC与⊙O相切于点A，
∴∠OAC＝90°．
设∠EAC＝α，则∠OAE＝90°﹣α．
∵OA＝OE，
∴∠OEA＝∠OAE＝90°﹣α，
∴∠AOE＝180°﹣∠OEA﹣∠OAE＝2α．
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴∠BAE＝∠EAC＝α，
∴∠BOE＝2∠BAE＝2α，
∴∠AOE＝∠BOE．
又∵OA＝OB，
∴OE⊥AB．
（2）解：∵ACBC=32，
∴可设AC=3x，BC＝2x．
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴CD=12BC＝x，AD⊥BC，
∴AD2+CD2＝AC2．
∵AD＝4，
∴42+x2＝（3x）2，解得：x＝22，
∴AB＝AC=3x＝26，BD＝CD＝x＝22．
∵OE⊥AB，
∴AF=12AB=6．
∵∠EFA＝∠BDA＝90°，∠FAE＝∠DAB，
∴△FAE∽△DAB，
∴EFBD=AFAD，即EF22=64，
∴EF=3．
设⊙O的半径为r，则OA＝r，OF＝OE﹣EF＝r−3，
∵OF⊥AB，
∴OA2＝OF2+AF2，即r2＝（r−3）2+（6）2，
解得：r=332，
∴⊙O的半径为332．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、圆周角定理以及切线的性质，解题的关键是：（1）通过角的计算找出∠AOE＝∠BOE；（2）利用勾股定理求出⊙O的半径．
26．（9分）已知二次函数y＝x2﹣2（a﹣1）x+a+1：
（1）如果直线y＝x+1经过二次函数y＝x2﹣2（a﹣1）x+a+1图象的顶点P，求此时a的值；
（2）随着a的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由；
（3）将该二次函数以x＝3为对称轴翻折后的图象过（a，b）（a未知，b为常数），求原函数与y轴的交点纵坐标．
26．（1）a＝0或2．
（2）y＝﹣x2+x+2．
（3）92．
【分析】（1）由题意得y＝x2﹣2（a﹣1）x+a+1＝（x﹣a+1）2﹣a2+3a，得顶点坐标为P（a﹣1，﹣a2+3a）．又点P在直线y＝x+1图象上，故﹣a2+3a＝a﹣1+1．再计算即可．
（2）由顶点P的坐标为（a﹣1，﹣a2+3a），可设x＝a﹣1，故y＝﹣a2+3a＝﹣（a﹣1）2+（a﹣1）+2．得y＝﹣x2+x+2，
（3）由原抛物线的顶点坐标为P（a﹣1，﹣a2+3a），又x＝3为对称轴翻折后的图象过（a，b），故a−1+a2=3，再计算即可．
【详解】解：（1）由题意，∵y＝x2﹣2（a﹣1）x+a+1＝（x﹣a+1）2﹣a2+3a，
∴P（a﹣1，﹣a2+3a）．
又∵点P在直线y＝x+1图象上，
∴﹣a2+3a＝a﹣1+1．
∴a＝0或2．
（2）顶点P是在抛物线y＝﹣x2+x+2图象上，理由如下：
∵顶点P的坐标为（a﹣1，﹣a2+3a），
又令x＝a﹣1，
∴y＝﹣a2+3a＝﹣（a﹣1）2+（a﹣1）+2．
∴y＝﹣x2+x+2，
∴二次函数图象的顶点P是在抛物线y＝﹣x2+x+2图象上，
（3）∵原抛物线的顶点坐标为P（a﹣1，﹣a2+3a），
又x＝3为对称轴翻折后的图象过（a，b），
∴a−1+a2=3，
∴a=72，
∴原函数与y轴的交点纵坐标为a+1=92．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，一次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数解析式，掌握这些知识是解题关键．
27．（9分）将图形特殊化是发现结论和探索方法的重要途径．
如图，在△ABC中，AD是中线，E是AC边上一点，∠BAD＝∠DEC＝45°，作AD的垂直平分线分别交AD、DE于点O、F，探究下列问题．
【特殊化】
（1）当点A与点E重合时，
①在图中，画出此特殊情形的图；
②此情形下，点F与点 O 重合，此时FD与AC满足的数量关系为 AC=22FD ．
（2）当点F与点E重合时，在图中，用尺规作出点A的位置；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
【一般化】
（3）当点A、E、F中，任意两点不重合时，如图，判断（1）问中FD与AC所满足的数量关系在此情形下是否仍然成立？说明理由．
27．（1）①图见解析；②O；AC=22FD；
（2）作图见解析；
（3）成立，理由见解析．
【分析】（1）①根据题意，当点A与点E重合时，由等腰直角三角形判定与性质即可作出图形即可；②由①中所在图形及等腰直角三角形的判定与性质即可得到答案；
（2）根据题意，利用基本尺规作图﹣垂直平分线作出图形即可得到答案；
（3）取AB中点G，连接BG，过点D作DH⊥AB，垂足为H，如图所示，由三角形中位线的判定与性质得到DG∥AC，DG=12AC，进而判断△AHD是等腰直角三角形，再由三角形相似的判定与性质利用相似比代值求解即可得到答案．
【详解】解：（1）①∵点A与点E重合，在△ABC中，AD是中线，∠BAD＝∠DEC＝45°，
∴∠BAC＝90°，BD＝CD，则AD=12BC=BD=CD，
∴△ABC是等腰直角三角形，
如图所示：
②当点A与点E重合时，
∵ED与AD重合，
∴点F与点O重合，
由①可知，△ABC是等腰直角三角形，AD是△ABC中线、高线和顶角平分线，
∴△ADC是等腰直角三角形，且AD＝DC，则AC=2AD，
∵AF＝DF，
∴FD与AC满足的数量关系为AC=22FD；
故答案为：O；AC=22FD；
（2）作BD、CD的垂直平分线，在两条垂直平分线上，以BD、CD中点G，H为圆心，12BD为半径画弧，在两条垂直平分线上的交点分别为I，O′，再分别以I，O′为圆心，O′D为半径作圆I，O′，再以圆O′和垂直平分线的交点M为圆心MD为半径作圆，交圆I于A，如图所示：
∴点A即为所求；
（3）成立．
证明如下：取AB中点G，连接BG，过点D作DH⊥AB，垂足为H，如图所示：
∵D、G分别是BC、AB的中点，
∴DG∥AC，DG=12AC，
∴∠GDE＝∠DEC＝45°，
∵DH⊥AB，∠BAD＝45°，
∴△AHD是等腰直角三角形，
∴∠HDA=45°，AD=2HD，
∴∠HDG+∠GDA＝∠ODF+∠GDA＝45°，
∴∠HDG＝∠ODF，
∵∠DHG＝∠DOF＝90°，
∴△HDG∽△ODF，
∵O是AD的中点，
∴AD＝2OD，则ODHD=12ADHD=22，
∴FDDG=ODHD=22，即FD=22DG，
∴FD=22×12AC=24AC，即AC=22FD．
【点睛】本题考查作图，涉及等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质、尺规作图﹣中垂线、作圆等知识，熟练掌握基本尺规作图准确作出图形是解决问题的关键．班级
平均数
中位数
众数
甲
169
m
n
乙
169
170
167
A
B
C
D
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
（D，D）
A
B
C
D
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）