（模块化思维提升）专题12-孙子定理-小升初数学思维拓展数论问题专项训练（通用版）

这是一份（模块化思维提升）专题12-孙子定理-小升初数学思维拓展数论问题专项训练（通用版），共10页。试卷主要包含了孙子定理的含义，中国剩余定理的结论，127，119等内容，欢迎下载使用。
（知识梳理+典题精讲+专项训练）
1、孙子定理的含义：也叫中国剩余定理．《孙子算经》中“物不知数”问题说：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”即被三除余二，被五除余三，被七除余二的最小整数．这个问题称作孙子问题，俗称韩信点兵．其正确解法叫做孙子剩余定理．
2、中国剩余定理的结论：
令任意固定整数为M，当M/A余a，M/B余b，M/C余c，M/D余d，…，M/Z余z时，这里的A，B，C，D，…，Z为除数，除数为任意自然数（如果为0，没有任何意义，如果为1，在孙子定理中没有计算和探讨的价值，所以，不包括0和1）时；余数a，b，c，d，z为自然整数时．
【典例一】某小学的六年级有一百多名学生．若按三人一行排队，则多出一人；若按五人一行排队，则多出二人；若按七人一行排队，则多出一人．该年级的人数是（ ）。
【分析】此题属于孙子定理，又叫同余定理，中国剩余定理，分组时，只要余数相同，求总数，就可以先求出分组时组员数目的最小公倍数，然后再加上余数；本题有两个余数，可分部求解．
【解答】解：因为按3人和7人一行排队都多出1人，所以总人数应该是3和7的公倍数多1人，即22、43、64、85、106、127、148、169、190、211、…
其中符合题意一百多名的只有106、127、148、169、190这五个数
同理，又因为按5人一行排队多2人，所以总人数应该是5的倍数多2，所以总人数的最后一位数字应该是2或7
最终符合题意的是127．
答：该年级的人数是127．
故答案为：127．
【点评】此题考查了孙子定理，根据已知条件，只要分组时余数相同，就求最小公倍数，然后加上余数，明白同余定理是解决此题的关键．
【典例二】甲、乙、丙三数分别是603，939，393．某数除甲数所得余数是除乙数所得余数的2倍，除乙数所得余数是除丙数所得余数的2倍．求是多少？
【分析】丙数扩大4倍，乙数扩大2倍，那么甲、乙、丙三数余数就相同了，即，，然后两两相减求出三个差，再求出三个差的不小于4的公因数即可．
【解答】解：根据分析可得，
所以，的值为17或
经验证，只有17符合题意．
答：是17．
【点评】本题考查了剩余定理的灵活应用，关键是统一余数，然后根据因数与倍数的关系解答即可．
【典例三】求满足除以7余5，除以8余4，除以9余3的最小自然数？满足条件的从小到大第二个数是多少？
【分析】除以7余5的数最小是，，，正好符合要求，然后加上7、8、9的最小公倍数，找到符合要求的第二个数即可．
【解答】解：除以7余5的数最小是
所以，满足除以7余5，除以8余4，除以9余3的最小自然数12．
7、8、9的最小公倍数是：
答：满足除以7余5，除以8余4，除以9余3的最小自然数12；满足条件的从小到大第二个数是516．
【点评】本题考查了孙子定理，本题是求出符合要求的最小自然数．
一．填空题
1．篮子里有鸡蛋若干个，每次取出3个，最后剩1个；每次取5个，最后剩下3个；每次取7个，最后剩下5个，则篮子里最少有 个鸡蛋．
2．一个数被3除余2，被4除余3，被5除余4，符合这个条件的500以内的最大数是 ．
3．有一些气球，不到20个，平均分给3个小朋友或5个小朋友，都剩下2个，想一想，有 个气球。
4．在小于1000的数中，被5除余4、被3除余2的最大奇数是 。
5．将618，516，448被某一数整除所得的余数相同（不能为，这个数最大是 ，余数是 ．
6．有个三位数，如果它加上1就能被5整除；如果它加上3就能被2整除；如果它加上5就能被3整除．这样的三位数最大是 ，最小是 ．
7．一个自然数了除以7余5，除以11余1，除以9余3，这个数最小是 ．
8．一个数被3除余2，被4除余2，被5除余4，符合条件的500以内的最大数是 ．
9．一个自然数除以3余2，除以5余4，除以7余6，这个自然数最小是 ．
10．有一筐苹果，每次从中取出3个，最后筐内还剩2个，每次从中取出5个，最后还剩3个，每次从中取出7个，最后还剩2个．这筐苹果至少有 个．
11．自然数390，369，425被某自然数（且大于除时余数相同，那么2014被 这个自然数除的余数是 ．
二．解答题
12．你知道吗？
《孙子算经》记载：“今有物不知其数：三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何？”它的意思是：有一些物品，如果3个3个地数，最后剩2个；如果5个5个地数，最后剩3个；如果7个7个地数，最后剩2个。这些物品一共有多少？这个问题人们通常把它叫作“孙子问题”，西方数学家把它称为“中国剩余定理”。
你知道怎样解答这个问题吗？
13．我国古代有一道韩信点兵的算术题：卫兵列队，列成五队余一人，列成六队余五人，列成七队余四人，列成十一队余十人，求韩信最少有多少卫兵？
14．有一堆棋子，三个三个地数，最后剩下2个；十三个十三个地数，最后剩下3个；十九个十九个地数，最后剩下5个．这堆棋子最少多少个？
15．银行有200个保险柜，分别编号号．为了保险起见，每个保险柜的钥匙不能编上与柜相同的号码．现在设计一种将钥匙编号的方法：每个保险柜的钥匙用四个数字来编号（首位数字可以是，从左起的四个数字依次是保险柜的编号除以2，3，5，7所得的余数，如8号保险柜的钥匙编号为0231．问编号为1233的钥匙是几号保险柜的？
16．一个自然数除以3余2，除以5余2，除以7余5，除以9余5，除以11余4，则满足这些条件的最小自然数是多少？
17．《孙子算经》中记载：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何？”它的意思是：有一些物品，如果3个3个地数，最后剩2个：如果5个5个地数，最后剩3个：如果7个7个地数，最后剩2个：这些物品至少有多少个？这个问题人们通常把它叫做“孙子问题”，西方数学家把它称为“中国剩余定理”你知道怎么解答这个问题吗？
18．一个三位数加5能被3整除，加2能被5整除，加1能被7整除，这个三位数最大是多少
19．一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数．
20．一个数用3除余1，用4除余2，用5除余3，这个数最小是多少？
参考答案
一．填空题
1．【分析】根据题意得出此题要求的数是能够被3、5、7整除还少2的数，由此求出3、5、7的最小公倍数再减去2即可．
【解答】解：因为3、5和7的最小公倍数是，
所以篮子里的鸡蛋最少有：（个，
答：篮子里最少有103个鸡蛋；
故答案为：103．
【点评】本题主要考查了利用求最小公倍数的方法解决生活中的实际问题．
2．【分析】根据“一个数被3除余2，被4除余3，被5除余4”，可知这个自然数是比3、4和5的公倍数少1的数，进而先求出3、4和5的最小公倍数，再求出符合这个条件的500以内，最大公倍数，然后再减去1即可．
【解答】解：3、4和5的最小公倍数是：
答：符合这个条件的500以内的最大数是 479．
故答案为：479．
【点评】解决此题关键是理解把这个数增加1，所得数就正好被3、4和5整除；从而得出该数是比3、4和5的公倍数少1的数．
3．【答案】17。
【分析】根据题意，求出3和5的最小公倍数，3和5互质，其最小公倍数是它们的乘积，即15，然后加上2就是气球的个数。
【解答】解：3和5的最小公倍数是：，
（个
答：有17个气球。
故答案为：17。
【点评】解答本题的关键是求出3和5的最小公倍数。
4．【答案】989
【分析】被5除余4、被3除余2，那么这个数加上1就是的倍数，先用1000除以求出商，然后结合商与这个数是奇数解答即可。
【解答】解：
答：被5除余4、被3除余2的最大奇数是989。故答案为：989。
5．【分析】根据同余定理，618，516，448这三个数两两的差都是这个整数的倍数，这个整数为这三个差的因数；然后把这三个差分解质因数，即可找出这个整数，进一步求出余数．
【解答】解：
所以这个整数为三个差的最大公因数：
所以余数是6；
答：这个数最大是34；余数是6．故答案为：34；6．
6．【分析】首先根据题意，可得这个数除以5余4，除以2余1，除以3余1；然后根据这个数除以5余4，可得这个数个位上的数字为4或9，再根据这个数除以2余1，可得这个数个位上的数字只能是9，所以满足的三位数为：109、119、129、139、、969、979、989、999；最后根据这个数除以3余1，求出这样的三位数最大、最小各是多少即可．
【解答】解：据题意，可得这个数除以5余4，除以2余1，除以3余1；
因为这个数除以5余4，
所以这个数个位上的数字为4或9，
又因为这个数除以2余1，
所以这个数个位上的数字只能是9，
所以满足的三位数为：109、119、129、139、、969、979、989、999；
因为这个数除以3余1，
所以满足的数为：109、139、169、、979，
所以这样的三位数最大是979，最小是109．
答：这样的三位数最大是979，最小是109．故答案为：979、109．
7．【分析】一个自然数了除以7余5，那么符合这一条件的最小的自然数是，然后再验证是否符合后两个条件，据此解答即可．
【解答】解：符合“除以7余5”的最小的自然数是，
，符合要求，
，符合要求， 所以，这个数最小是12．故答案为：12．
8．【分析】被5除余4，个位上的数是4或9，被4除余2，说明这个数是偶数，所以这个数的个位一定是4，符合条件的500以内的最大数百位一定是4，3的倍数中符合题意，所以这个数是494．
【解答】解：被5除余4，个位上的数是4或9，
被4除余2，说明这个数是偶数，所以这个数的个位一定是4，
符合条件的500以内的最大数百位一定是4，
被3除余2，个位减去2就是2，这个数就能被3整除，，十位上能填0、3、6、9，9最大，所以这个数是494．
故答案为：494．
9．【分析】一个自然数除以3余2，除以5余4，除以7余6，这个自然数就是比3、5、7的最小公倍数少1的数．据此解答．
【解答】解：3、5和7的最小公倍数
答：这个自然数最小是104．
故答案为：104．
10．【分析】先找到除以7余2的数；再在这些数中得到除以3余2的数；再在这些数中得到除以5余3的最小正整数．
【解答】解：除以7余2的数是：9，16，23，30，37，44，51，58，；
其中除以3余2的数有：23，44，；
其中除以5余3的数有：23．
所以23是符合题意的最小正整数．
答：这筐苹果至少有 23个．
故答案为：23．
11．【分析】可设是余数），，，，，能被这个自然数整除，两两相减之后，比如能被这个自然数整除，所以得到这个结论：这个数能同时能整除它们的差，然后求出公约数即可解答．
【解答】解：
21，56，35能同时被这个数整除，
21，56，35大于1的公约数为7，
答：2014被这个自然数除的余数是5．
故答案为：5．
二．解答题
12．【答案】23。【分析】根据题意可知，这些物品的个数减去2就是3和7的最小公倍数，减去3是5的倍数，因此，只要求出3和7的最小公倍数再加上2，然后除以5，看看余数是否是3解答即可。
【解答】解：因为3和7是互质数，所以3和7的最小公倍数是：
（个
，符合题意。
答：这些物品至少有23个。
【点评】此题解答关键是理解最小公倍数的意义，掌握求两个数的最小公倍数的方法。
13．【分析】根据题意，先求6、11的公倍数，求出其公倍数再减去1，再找到这些数中列成五队余一人，列成七队余四人即可．
【解答】解：
，65列成五队没有余数，不合题意；
，131列成七队余五人，不合题意；
，197列成五队余二人，不合题意；
，263列成五队余三人，不合题意；
，329列成五队余四人，不合题意；
，395列成五队余三人，不合题意；
，461列成七队余六人，不合题意；
，527列成五队余二人，不合题意；
，593列成五队余三人，不合题意；
，659列成五队余四人，不合题意；
，725列成五队没有余数，不合题意；
，791列成七队没有余数，不合题意；
，1121列成七队余一人，不合题意；
，1451列成七队余二人，不合题意；
，1781列成七队余三人，不合题意；
，2111列成五队余一人，列成七队余四人，符合题意．
答：韩信最少有2111卫兵．
14．【分析】根据中国剩余定理的方法分别求出3和13，3和19，13和19的最小公倍数，然后再用两两的最小公倍数去除以另一个数，把余数调整为与原数同余，则再把得到的三个数相加，去掉3、13、19的公倍数即是这堆棋子的最少数，据此解答．
【解答】解：3和13的最小公倍数是：，，余数扩大5倍，则3和13的最小公倍数也扩大5倍是；，符合要求；
同理，3和19的最小公倍数是：，，余数扩大11倍，则3和19的最小公倍数也扩大11倍是；，符合要求；
同理，13和19的最小公倍数是：，，余数扩大2倍，则13和19的最小公倍数也扩大2倍是；，符合要求；
，
3、13和19的最小公倍数是：，
，
，所以：被3除余2，被13除余3，被19除余5的数最小为575，所以，这堆棋子最少575个；
15．【解答】解：设这个数是，是除以2余数1，除以3余数是2，除以5余数是3，除以7余数是3的数．
如果减少3，则同时被2、5、7整除，并且被3除余2；
；
，余数是1，那么
余数就是2；所以符合条件的最小的一个数是：；
在范围内，只有143一个符合要求．答：这个钥匙是143号保险箱的钥匙．
16．【解答】解：同时满足被3除余2，被5除余2的数，最小是；
然后不断加上3、5的最小公倍数15，始终满足前两个条件，可以找到，同时满足前三个条件；
接下来不断加上3、5、7的最小公倍数105，可始终满足前三个条件，从而找到，同时满足前四个条件，恰好同时满足最后一个条件；
所以，满足条件的最小自然数是257．
17．【答案】23。【分析】根据题意可知，这些物品的个数减去2就是3和7的最小公倍数，减去3是5的倍数，因此，只要求出3和7的最小公倍数再加上2，然后除以5，看看余数是否是3解答即可。
【解答】解：因为3和7是互质数，所以3和7的最小公倍数是：，
（个，符合题意，答：这些物品至少有23个。
18．【分析】一个三位数加5能被3整除，加2能被5整除，加1能被7整除，即这个数被3除余1，被5除余3，被7除余6，则，然后根据孙子定理解答即可．
【解答】解：设这个数是，根据题意可得，
（1），
（2），
（3），
则， ，5，
则，
答：这个三位数最大是958．
19．【分析】由“一个自然数被3除余1，被5除余2，被7除余3”可知，将这个自然数乘以2后得：被3除余2，被5除余4，被7除余6；
由此可见将乘以2后的数加1就同时能被3，5，7整除；进而进行解答即可．
【解答】解：由题意可得：将乘以2后的数加1就同时能被3，5，7整除；
3，5，7的最小公倍数为
所以这个自然数最小是52
因为这个自然数在1000和1200之间，
所以符合条件的数是：
答：符合条件的数是1102．
【点评】此题较难，解答此题应先将这个自然数乘以2后，进行分析，进而得出结论．
20．【分析】如果这个数加上2，刚好是3、4、5的倍数．所以求3、4、5的最小公倍数减2就行了．3、4、5的最小公倍数是60，，这个数最小是58．
【解答】解：因为用3除余1，用4除余2，用5除余3，
，，，
所以这个数加上2，刚好是3、4、5的倍数．
3、4、5的最小公倍数是：，
，
答：这个数最小是58．
【点评】本题主要考查了求几个数的最小公倍数的方法，本题关键是分析出如果这个数加上2，刚好是3、4、5的倍数．