（模块化思维提升）专题10-同余定理-小升初数学思维拓展数论问题专项训练（通用版）

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（知识梳理+典题精讲+专项训练）
1、所谓的同余，顾名思义，就是许多的数被一个数d去除，有相同的余数．d数学上的称谓为模．如a=6，b=1，d=5，则我们说a和b是模d同余的．因为他们都有相同的余数1。
【典例一】一个两位数，除以3余1，除以5余3，这个两位数最大是（ ）
A、78 B、88 C、98 D、90
【分析】除以3余1，除以5余3，那么这个数不是3和5的倍数；由此用排除法求解．
【解答】解：除以3余1，除以5余3，那么这个数不是3和5的倍数；
A、7+8=15；15是3的倍数，所以78是3的倍数，故A错误；
D、5的倍数的个位数都是0或5的整数，90的个位数字是0，那么是5的倍数，故D错误；
BC、而这个数的末尾应是3或8；B和C都符合，只要再看哪个数除以3余1即可．
88÷3=29…1；
98÷3=32…2；
88除以3余1，所以88符合要求．
故选：B．
【点评】本题先根据余数的特点，找出这个数的可能性，再利用排除法进行求解．
【典例二】有一整数，除300，262，205得到的余数相同，这个整数是（ ）。
【分析】这个数除300、262，得到相同的余数，所以这个数整除300-262=38，同理，这个数整除262-205=57以及300-205=95，因此，求出38、57、95的最大公约数1即是所求结论．
【解答】解：300-262=38，2
62-205=57，
300-205=95．
38，57，95的最大公约数是19．这个整数是19．
故答案为：19．
【点评】此题考查了学生最大公约数的知识，以及整除的性质．
【典例三】动物宾馆来了不足30只小动物，每4只住一间或6只住一间最后都会余3只住一间，想一想，动物宾馆来了几只小动物？
【分析】先求出4和6的公倍数，然后加上3即可．
【解答】解：30以内，4的倍数有：4、8、12、16、20、24、28；
6的倍数有：6、12、18、24、
4和6的公倍数是：12、24
（只，（只．
答：动物宾馆来了15或27只小动物．
一．选择题（共3小题）
1．已知69，90，125分别除以一个大于1的自然数，它们的余数相同，那么81除以的余数为
A．3B．4C．5D．7
2．一筐桔子6个人平均分余1个，7个人平均分也余1个，这筐桔子至少有 个．
A．13B．21C．8D．43
3．一箱桃子有40多个，如果把这箱桃子每8个装一盒，还剩5个；如果每10个装一盒，也剩余5个，这箱桃子有 个。
A．40B．45C．48
二．填空题（共13小题）
4．有一个数，除300、262、205，都得到相同的余数，这个数是 ．
5．，，，，、均为非零自然数，则最小是 。
6．有一个自然数，被10除余7，被7除余4，被4除余1．这个自然数最小是 ．
7．用某数分别去除数560、906和1252，所得余数都相同，则这个数是 ．
8．一个大于1的整数分别除167，352，574得到相同的余数，则这个整数为 ．
9．除以5，余数是 ．
10．有甲、乙、丙、丁四个数．甲数除以4商2011余2，乙数除以8商2011余4，丙数除以12商2011余6，丁数除以16商2011余8．那么甲、乙、丙、丁四个数的总和除以4的商是 ．
11．与的和除以7的余数是 ．
12．有几十个苹果，三个一组，余2个，四个一组，余2个，5个一组余2个，共 个．
13．被10除余2，被11除余3，被12除余4，被13除余5的最小自然数是 ．
14．一个数除13511，13903，14589的余数都相同，这个数最大是 ．
15．一排士兵（不超过12人）报数，1、2、1、地报数，排尾的人报1；1、2、3、1、2、地报数，排尾的人报2；1、2、3、4、1、2、3、地报数，排尾的人报3。有 名士兵。
16．如果33、27与21分别除以同一个数，余数都是3，那么这个除数最大的是 ．
三．解答题
17．有一个数，它比30小，比20大，如果平均分成4份还余2，如果平均分成6份就余4，这个数是多少？
18．有一个两位数，除以2与除以3都余1，除以4与除以5都余3，求这个数．
19．用151、197、238分别除以同一个整数，所得3个余数的和是31，这个整数是几？
20．如果13511、13903、14589这3个自然数除以一个自然数，所得的余数相同，那么这个自然数最大是多少？
21．用某数去除425余5，去除500少4，去除300余6，这个数最大是多少？
22．一堆糖，第一次把它五等份后剩1块，第二次把其中的四份再五等份后还剩1块，第三次把第二次中的三份再五等份后还剩1块，第四次把第三次中的二份再五等份后还剩1块，这堆糖至少有多少块？
23．求被5除余2，被6除余5，在100至200之间所有这样的数．
24．把三个数24、56、104分别除以正整数时，它们都有相同的余数，试求的最大值？
25．某数被7除余1，被4除余3，求：（1）满足条件的最小整数；（2）100以内满足条件的所有这些数．
26．聪聪要把一堆小皮球分装成若干小袋，每6粒装一袋余5粒，每7粒装一袋也余5粒，每8粒装一袋还余5粒．这堆小皮球至少有多少粒？
27．有一个不等于1的整数，它除967、1000、2001，得到相同的余数，那么这个整数是多少？
28．有一堆苹果，3个3个地数多1个，4个4个地数多1个，5个5个地数少4个．这堆苹果最少有多少个？
29．有一个不等于1的整数，它除967，1000，2001得到相同的余数，那么这个整数是多少？
参考答案
一．选择题（共3小题）
1．【答案】
【分析】可设是余数），，，，，能被这个自然数整除，相减之后即能被这个自然数整除，所以得到这个结论：这个数能同时整除它们的差，然后求出公约数即可解答．
【解答】解：，
，
，
21，56，35能同时被这个数整除，
21，56，35大于1的公约数为7．
故选：。
2．【答案】
【分析】如果这筐桔子去掉一个，也就可以被6和7整除，由此求出6、7的最小公倍数加1即可得出答案．
【解答】解：6和7的最小公倍数是，
（个，
答：这筐桔子至少有43个．故选：。
3．【答案】
【分析】如果把这箱桃子每8个装一盒，还剩5个；如果每10个装一盒，也剩余5个，说明这个数减去5后，能被8和10整除，这个数就是8和10的公倍数再加上5，据此解答。
【解答】解：8和10的最小公倍数为40，
（个
符合题意。
答：这箱桃子有45个。故选：。
二．填空题（共13小题）
4．【分析】根据同余定理，300、262、205这三个数两两的差都是这个整数的倍数，这个整数最大为这三个差的最大公因数；然后把这三个差分解质因数，即可找出这个最大自然数．
【解答】解；
所以三个差的最大公因数为：19
答：这个数是19．
故答案为：19．
【点评】本题解答的依据是同余定理之一：、对于模同余的充要条件是：与的差能被整除．
5．【答案】31。
【分析】观察这几个算式，余数都是1，如果没有余数，那么被除数就是2，3，5的公倍数，再加上1，就是，要使最小就是2，3，5的最小公倍数加数1，由此求解。
【解答】解：2，3，5的最小公倍数是：
则。故答案为：31。
6．【分析】被10除余7，被7除余4，被4除余1，如果加上3，就都正好整除，所以只要求出10，7，4的最小公倍数再减去3就可以了．
【解答】解：10、7、4的最小公倍数是140，，故答案为：137．
7．【分析】因为560、906和1252被同一个数去除，所得的余数相同，根据同余定理可知，则其中任意两个数的差应是这个除数的整数倍，，，，，，所以这个数是346或173．
【解答】解：因为，，；
，，所以这个数是346或173．故答案为：346或173．
8．【分析】根据同余定理，167，352，574这三个数两两的差都是这个整数的倍数，这个整数为这三个差的因数；然后把这三个差分解质因数，即可找出这个整数．
【解答】解：，
，
；所以这个整数为三个差的公有因数：37；答：这个整数为37．故答案为：37．
9．【分析】（1）由题意得，然后根据同余定理解答．（2）判断某数是否为5的倍数只看此整数的个位数．123的一次方个位上数字是3，123的二次方个位上数字是9，123的三次方个位上数字是7，123的四次方个位上数字是1，123的五次方个位数字又回到3了，所以4个一循环，123除以4余3，因此123的123次方个位数字为7，7除以5余2；234的一次方个位上数字是4，234的二次方个位上数字是6，234的三次方个位上数字又回到4了，也就是234的奇数次方个位上数字是4，偶次方个位上数字是6，234偶数，所以234的234次方个位数字为6，6除以5余1；的能被5整除，余数是0，由此解答．
【解答】解：由分析和题意得：
，
所以123的123次方个位数字为7，，所以除以5余2；
234偶数，所以234的234次方个位数字为6，6除以5余1，所以除以5余4；
的能被5整除，余数是0；
则，所以除以5，余数是3．
故答案为：3．
【点评】灵活利用同余定理解决问题．
10．【分析】根据商除数余数被除数，分别表示出甲、乙、丙、丁四个数，又因为除数都是4的倍数，可以进行巧算；然后再用它们的和除以4即可．
【解答】解：
．
答：商是20115．
故答案为：20115．
【点评】本题关键是根据有余数的除法，分别表示出四个数，然后再根据数据特点进行巧算得出结果．
11．【分析】2的次方其实是有规律可循的，余2，余4，余1，余2，32除以7余4，余1，2的次方的余数是2，4，1循环的．余2，那么就是循环中第2个数，也就是4，余1，两个余数相加就是；由此得出2的2003次方与2003的2次方的和除以7的余数是5．
【解答】解：由2的次方的余数是2，4，1循环的可得：
，所以的余数是4；
因为，
余1，即余1，
所以与的和除以7的余数是，故答案为：5．
12．【分析】说明这堆苹果的个数是3、4、5的公倍数加2，3、4、5的最小公倍数是，又知这堆苹果有几十个，可确定这堆苹果有个，由此解决问题即可．
【解答】解：3、4、5是互质数，
3、4和5的最小公倍数是：，
（个，答：共有62个，故答案为：62．
13．【分析】从题中可以看出这个数加8就能被10，11，12，13整除，所以要先求10，11，12，13的最小公倍数，把10，11，12，13分解质因数，把它们公有的质因数和独有的质因数连乘所得的积就是它们的最小公倍数，再用这个数减8，可知符合条件的最小的自然数
【解答】解：，11和13是质数，，
所以，10，11，12，13的最小公倍数是：
最小自然数是：．
故答案为：8572．
14．【分析】根据同余定理，13511、13903、14589这三个数两两的差都是这个整数的倍数，这个整数最大为这三个差的最大公因数；然后把这三个差分解质因数，即可找出这个最大自然数．
【解答】解；
所以三个差的最大公因数为：
答：这个自然数最大是98．故答案为：98．
15．【答案】11。
【分析】根据题意可知，士兵的人数要同时符合下列条件：①士兵人数不超过12；②2个2个地数，余1；③3个3个地数，余2；④4个4个地数，余3。可以从7名士兵开始尝试计算，找出正确答案。
【解答】解：根据题意可知，士兵的人数要同时符合下列条件：①士兵人数不超过12；②2个2个地数，余1；③3个3个地数，余2；④4个4个地数，余3。
（1）假设有7名士兵，，，的余数不是2，不符合题意。
（2）假设有8名士兵，，无余数，不符合题意。
以此类推，假设有11名士兵，，，，符合题意。
答：有11名士兵。故答案为：11。
16．【分析】把33、27、21分别减去余数3可得30、24、18，再找出这三个数的最大公约数，就是除数最大值，由此可以解决．
【解答】解：，，，
，
，
，
30、24和18的最大公约数是，所以这个除数最大是6．故答案为：6．
三．解答题
17．【分析】如果平均分成4份还余2，如果平均分成6份就余4，如果这个数加上2之后就能被4和6整除，即是4和6的公倍数，然后分解质因数求出比30小，比20大的公倍数即可．
【解答】解：根据分析可得，
4和6的最小公倍数：
答：这个数是30．
18．【分析】根据题意，这个两位数应该是2和3的公倍数多1，即6的倍数多1，；同时又是4和5的公倍数多3，即20的倍数多3．根据两位数中20的倍数多3的数有：23、43、63、83，其中是6的倍数多1的只有43．所以这个数为43．
【解答】解：这个两位数应该是2和3的公倍数多1，
即6的倍数多1，；
同时又是4和5的公倍数多3，
即20的倍数多3．
根据两位数中20的倍数多3的数有：
23、43、63、83，
其中是6的倍数多1的只有43．
答：这个数为43．
【点评】本题主要考查同余定理，先根据余数的特点，找出这个数的可能性，再利用排除法进行求解．
19．【答案】450，24。
【分析】由题意，这三个数的和减去31后，得到的差一定能被这个整数整除，然后这个差分解质因数，即可得出结论。
【解答】解：由题意可得：
因为5做除数余数和最大是12，不符合题意，15做除数余数和是，不符合题意，
所以这个数是37。
答：这个整数是37。
【点评】本题考查同余问题的灵活运用，解题的关键是理解这三个数的和减去31后，得到的差一定能被这个整数整除。
20．【答案】98。
【分析】根据据同余定理，13511、13903、14589这三个数两两的差都是这个整数的倍数，这个整数最大为这三个差的最大公因数；然后用短除法即可找出这个最大自然数。
【解答】解：
答：这个自然数最大是98。
21．【分析】由于用它去除425余5，去除500少4，去除300余6，则这个最大自然数是，，的最大公因数．据此完成即可．
【解答】解：，，
即296、504和294的最大公约数是：．
答：这个数最大是42．
【点评】根据这个数除几余几求出这个数是哪些数的最大公因数是完成本题的关键．
22．【分析】采用逆推法，设最后一次5份，每份块，那分前为块，那第三次每份为块，分前为块，第二次每份为块，分前为块，第一次每份为块，分前为块，求最小值，就是能被24整除的最小值，必须奇数，且不能被3整除不能被3整除），，5，7，．代入后11合适．所以有糖296块；因此得解．
【解答】解：假设第四次五等份的一份是块，则由以上分析，则这一堆糖共有：
块，
要求它的值最小，且是整数，就是能被24整除的最小值，必须奇数，且不能被3整除不能被3整除），，5，7，．代入后11合适．所以有糖296块；
答：这堆糖至少296块．
【点评】此题采用逆推法，列出代数式，凑数得解．
23．【分析】被6除余5，余数是5，如果减去5，这个数就是6的倍数，且被5除还余2，这样从最小的6的倍数开始寻找，；那么，符合被5除余2，所以这个数最小是，然后根据以后每30个和6的最小公倍数）有这样一个数，找出在100至200之间所有这样的数即可．
【解答】解：被6除余5，余数是5，如果减去5，这个数就是6的倍数，且被5除还余2，
这样从最小的6的倍数开始寻找，，不符合要求；
那么，，符合被5除余2，
所以这个数最小是：，
起始的一个是17，自此以后每30个和6的最小公倍数）有这样一个数，
所以是：17，47，77，107，137，167，197，
所以，在100至200之间这样的数有：107，137，167，197．
答：在100至200之间所有这样的数是107，137，167，197．
【点评】本题先根据余数的特点，找出符合要求的最小的这个数，再利用5和6的最小公倍数30按规律进行求解．
24．【分析】根据同余定理，24，56，104这三个数两两的差都是这个整数的倍数，这个整数为这三个差的因数；然后把这三个差分解质因数，找出它们的最大公因数，即可找出这个整数．
【解答】解：；
；
；
；
；
；
32、80、48的最大公因数是：；
所以的最大值是16．
【点评】本题解答的依据是同余定理之一：、对于模同余的充要条件是：与的差能被整除．
25．【分析】我们先要找到一个除1外最小的满足条件的数；只看被7除余1，那么这个数是8，但8不满足被4除余3，于是加上7，再看，是15，15满足这两个条件；所以用15加上4和7的最小公倍数（即的任意整数倍，均可满足条件；所以，100以内的有：15，43，71，99．
【解答】解：根据分析可得，
（1）除1外最小的能满足被7除余1的数是8，但，不满足被4除余3，根据同余定理：被除数加上除数的倍数，再除以除数，余数不变；可得：
，，所以15是满足这两个条件的最小整数；
（2）4和7的最小公倍数是：，
所以100以内满足条件的所有这些数是：
，
，
；
100以内的所有满足此条件的数为：15、43、71、99．
【点评】本题考查了中国剩余定理（孙子定理）即同余定理第22个性质：被除数加上除数的倍数，再除以除数，余数不变；本题关键是求出最小的满足条件的数．
26．【分析】余数都是5，此题是同余问题，只要求出6、7、8的最小公倍数，然后加上5，即可得解．
【解答】解：，
，
6、7、8的最小公倍数是：
，
（粒；
答：这堆小皮球至少有173粒．
27．【分析】根据同余定理知：这个数能整除967，1000，2001，任意两个数的差，求出这几个数差，再分解质因数，这个数的公因数，就是这个整数．据此解答．
【解答】解：
因33、1001和1034的公因数是11，所以这个整数是11．
答：这个整数是11．
【点评】此题主要考查了同余问题的基本解法即：将几个具有相同余数的数两两相减，它们差的公因数即是这几个数的共同的除数．
28．【分析】5个5个地数少4个，也就是多一个，这样就是求出3、4、5三个数的最小公倍数多1的数；由此解答即可求解．
【解答】解：
（个
答：这堆苹果最少有61个．
【点评】此题考查了同余定理，只要余数相同，求出最小公倍数，加上余数就是总数．
29．【分析】根据同余定理知：这个数能整除967，1000，2001，任意两个数的差，求出这几个数差，再分解质因数，这个数的公因数，就是这个整数．据此解答．
【解答】解：
因33、1001和1034的公因数是11，所以这个整数是11．
答：这个整数是11．
【点评】此题主要考查了同余问题的基本解法即：将几个具有相同余数的数两两相减，它们差的公因数即是这几个数的共同的除数．