（数论问题专项讲义）专题12++孙子定理-小升初数学模块化思维提升（通用版）.zip

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（知识梳理+典题精讲+专项训练）
1、孙子定理的含义：也叫中国剩余定理．《孙子算经》中“物不知数”问题说：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”即被三除余二，被五除余三，被七除余二的最小整数．这个问题称作孙子问题，俗称韩信点兵．其正确解法叫做孙子剩余定理．
2、中国剩余定理的结论：
令任意固定整数为M，当M/A余a，M/B余b，M/C余c，M/D余d，…，M/Z余z时，这里的A，B，C，D，…，Z为除数，除数为任意自然数（如果为0，没有任何意义，如果为1，在孙子定理中没有计算和探讨的价值，所以，不包括0和1）时；余数a，b，c，d，z为自然整数时．
【典例一】有一些气球，不到20个，平均分给3个小朋友或5个小朋友，都剩下2个，想一想，有 个气球。
【分析】根据题意，求出3和5的最小公倍数，3和5互质，其最小公倍数是它们的乘积，即15，然后加上2就是气球的个数。
【解答】解：3和5的最小公倍数是：，
（个
答：有17个气球。
故答案为：17。
【点评】解答本题的关键是求出3和5的最小公倍数。
【典例二】你知道吗？
《孙子算经》记载：“今有物不知其数：三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何？”它的意思是：有一些物品，如果3个3个地数，最后剩2个；如果5个5个地数，最后剩3个；如果7个7个地数，最后剩2个。这些物品一共有多少？这个问题人们通常把它叫作“孙子问题”，西方数学家把它称为“中国剩余定理”。
你知道怎样解答这个问题吗？
【分析】根据题意可知，这些物品的个数减去2就是3和7的最小公倍数，减去3是5的倍数，因此，只要求出3和7的最小公倍数再加上2，然后除以5，看看余数是否是3解答即可。
【解答】解：因为3和7是互质数，所以3和7的最小公倍数是：
（个
，符合题意。
答：这些物品至少有23个。
【点评】此题解答关键是理解最小公倍数的意义，掌握求两个数的最小公倍数的方法。
【典例三】一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数．
【分析】由“一个自然数被3除余1，被5除余2，被7除余3”可知，将这个自然数乘以2后得：被3除余2，被5除余4，被7除余6；
由此可见将乘以2后的数加1就同时能被3，5，7整除；进而进行解答即可．
【解答】解：由题意可得：将乘以2后的数加1就同时能被3，5，7整除；
3，5，7的最小公倍数为
所以这个自然数最小是52
因为这个自然数在1000和1200之间，
所以符合条件的数是：
答：符合条件的数是1102．
【点评】此题较难，解答此题应先将这个自然数乘以2后，进行分析，进而得出结论．
一．填空题（共10小题）
1．被7除的余数是 4 。
【分析】：因为，，所以除以7的余数为1，而除以7同余除以7，而除以7的余数也为1，，所以除以7的余数为：，据此解答即可．
【解答】解：因为，，
所以除以7的余数为1，
而除以7同余除以7；
因为除以7的余数也为1，
，
所以除以7的余数为：．
答：除以7的余数是4．
故答案为：4．
【点评】解答此题的关键是熟练掌握同余定理，判断出除以7和除以7的余数相同．
2．一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，问满足条件的最小自然数 53 。
【分析】除以5余3，则末尾数字为3或8，则符合的数为：3、8、13、18、23、28、33、，然后去掉3和7的倍数以及除以3余1的数，再找出除以7余4的数，解决问题。
【解答】解：除以5余3，则末尾数字为3或8，则符合的数为：3、8、13、18、23、28、33、
去掉3和7的倍数：8、13、23、38、43、53、58、
去掉除以3余1的：23、38、43、53、
其中除以7余4的是：53
则符合条件的最小自然数为53。
故答案为：53。
【点评】此题也可这样解答：满足除以3余2，为；
满足除以5余3，且能被整除，最小为8，满足；
满足除以7余4，且能被整除，取3，最小为53。
3．将618，516，448被某一数整除所得的余数相同（不能为，这个数最大是 34 ，余数是 ．
【分析】根据同余定理，618，516，448这三个数两两的差都是这个整数的倍数，这个整数为这三个差的因数；然后把这三个差分解质因数，即可找出这个整数，进一步求出余数．
【解答】解：
所以这个整数为三个差的最大公因数：
所以余数是6；
答：这个数最大是34；余数是6．
故答案为：34；6．
【点评】本题解答的依据是同余定理之一：、对于模同余的充要条件是：与的差能被整除．
4．有个三位数，如果它加上1就能被5整除；如果它加上3就能被2整除；如果它加上5就能被3整除．这样的三位数最大是 979 ，最小是 ．
【分析】首先根据题意，可得这个数除以5余4，除以2余1，除以3余1；然后根据这个数除以5余4，可得这个数个位上的数字为4或9，再根据这个数除以2余1，可得这个数个位上的数字只能是9，所以满足的三位数为：109、119、129、139、、969、979、989、999；最后根据这个数除以3余1，求出这样的三位数最大、最小各是多少即可．
【解答】解：据题意，可得这个数除以5余4，除以2余1，除以3余1；
因为这个数除以5余4，
所以这个数个位上的数字为4或9，
又因为这个数除以2余1，
所以这个数个位上的数字只能是9，
所以满足的三位数为：109、119、129、139、、969、979、989、999；
因为这个数除以3余1，
所以满足的数为：109、139、169、、979，
所以这样的三位数最大是979，最小是109．
答：这样的三位数最大是979，最小是109．
故答案为：979、109．
【点评】此题主要考查了中国剩余定理，考查了分析推理能力，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确是2、3、5的倍数的特征．
5．有一类自然数，被8除余1，被7除余5，被6除余3。将这类数从小到大排列，第13个数是 2049 。
【分析】首先找出满足被8除余1和被6除余3的最小数，然后验证其是否满足被7除余5的条件。确定最小数后，后续的数依次加上6、7、8的最小公倍数，从而求出第13个数。
【解答】解：因为被8除余1可理解为8的倍数多9，被6除余3可理解为6的倍数多9，所以这个数是8和6的最小公倍数多9。
即8和6的最小公倍数为24
所以这个数最小是。
，正好满足被7除余5的条件。
7是质数
所以6、7、8的最小公倍数168。
即满足题意的33后面一个数就是33加上6、7、8的最小公倍数168。
第13个数就是
答：有一类自然数，被8除余1，被7除余5，被6除余3。将这类数从小到大排列，第13个数是2049。
故答案为：2049。
【点评】本题考查了孙子定理的应用。
6．某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是 61 。
【分析】根据某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，可知，这个两位数被3、4、5除余数都是1，即这个两位数比3、4、5的公倍数小1，求出3、4、5的最小公倍数找到符合两位数的即可解答。
【解答】解：3、4、5的最小公倍数是：，
即符合题意的两位数数只有61
答：这个两位数是61。
故答案为：61。
【点评】本题考查了中国剩余定理的应用，解题关键是该数是两位数。
7．一个数被3除余2，被4除余2，被5除余4，符合条件的500以内的最大数是 494 ．
【分析】被5除余4，个位上的数是4或9，被4除余2，说明这个数是偶数，所以这个数的个位一定是4，符合条件的500以内的最大数百位一定是4，3的倍数中符合题意，所以这个数是494．
【解答】解：被5除余4，个位上的数是4或9，
被4除余2，说明这个数是偶数，所以这个数的个位一定是4，
符合条件的500以内的最大数百位一定是4，
被3除余2，个位减去2就是2，这个数就能被3整除，，十位上能填0、3、6、9，9最大，所以这个数是494．
故答案为：494．
【点评】解答此题的关键是根据题意确定个位数，也可以根据3和4的最小公倍数来求解．
8．某班学生分组讨论，若每组3人，则最后余2人，若每组5人，则余3人，若每组7人，则余4人．这个班最少有 53 人．
【分析】先求出3、5、7两两的最小公倍数，3和5的最小公倍数是15，，把15扩大4倍是60，；同理可以求出，3和7的最小公倍数是21，，把21扩大3倍是63，；7和5的最小公倍数是35，；3、5、7的最小公倍数是，；所以这个班最少有53人．
【解答】解：
（1）3和5的最小公倍数是15，，把15扩大4倍是：，；
（2）同理可以求出，3和7的最小公倍数是21，，把21扩大3倍是：，；
（3）7和5的最小公倍数是：，；
3、5、7的最小公倍数是：，
；
所以这个班最少有53人．
故答案为：53．
【点评】本题是典型的不同余问题，即孙子定理（中国剩余定理），这种题比较繁难，关键是根据三个最小公倍数和倍数，调整余数使它成为符合题干要求的余数．
9．自然数390，369，425被某自然数（且大于除时余数相同，那么2014被 这个自然数除的余数是 5 ．
【分析】可设是余数），，，，，能被这个自然数整除，两两相减之后，比如能被这个自然数整除，所以得到这个结论：这个数能同时能整除它们的差，然后求出公约数即可解答．
【解答】解：
21，56，35能同时被这个数整除，
21，56，35大于1的公约数为7，
答：2014被这个自然数除的余数是5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了公约数的概念，通过同余得出它们的差能够被这个自然数整除是解答本题的关键．
10．一个自然数被7，8，9除的余数分别为1，2，3，并且三个商数的和是570，这个自然数是 1506 ．
【分析】“一个自然数被7，8，9除的余数分别为1，2，3，”，，就是说这个数加6后就能整除7，8，9；7，8，9的最小公倍数是504，所以这个数可以写成是大于0的自然数），这个数除以7，8，9的商分别是，，．它们的和，所以，那么这个数是；据此解答即可．
【解答】解：，就是说这个数加6后就能整除7，8，9，
7，8，9的最小公倍数是：
设这个数可以写成是大于0的自然数），
这个数除以7，8，9的商分别是，，，
即，
这个数是：．
故答案为：1506．
【点评】本题考查了孙子定理，本题关键是明确这个数加6后就能整除7，8，9．
二．解答题（共10小题）
11．你知道吗？
《孙子算经》记载：“今有物不知其数：三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何？”它的意思是：有一些物品，如果3个3个地数，最后剩2个；如果5个5个地数，最后剩3个；如果7个7个地数，最后剩2个。这些物品一共有多少？这个问题人们通常把它叫作“孙子问题”，西方数学家把它称为“中国剩余定理”。
你知道怎样解答这个问题吗？
【分析】根据题意可知，这些物品的个数减去2就是3和7的最小公倍数，减去3是5的倍数，因此，只要求出3和7的最小公倍数再加上2，然后除以5，看看余数是否是3解答即可。
【解答】解：因为3和7是互质数，所以3和7的最小公倍数是：
（个
，符合题意。
答：这些物品至少有23个。
【点评】此题解答关键是理解最小公倍数的意义，掌握求两个数的最小公倍数的方法。
12．有一批零件，3个3个地数多2个，7个7个地数少2个，8个8个地数多5个。这批零件至少有多少个？
【分析】3个3个地数多2个，相当于3个3个地数多5个，7个7个地数少2个，相当于7个7个地数多5个，求这批零件至少有多少个，就相当于求比，7，多5的数是多少；据此解答即可。
【解答】解：，7，
（个
答：这批零件至少有173个。
【点评】本题考查了余数定理的灵活运用，关键是统一余数。
13．银行有200个保险柜，分别编号号．为了保险起见，每个保险柜的钥匙不能编上与柜相同的号码．现在设计一种将钥匙编号的方法：每个保险柜的钥匙用四个数字来编号（首位数字可以是，从左起的四个数字依次是保险柜的编号除以2，3，5，7所得的余数，如8号保险柜的钥匙编号为0231．问编号为1233的钥匙是几号保险柜的？
【分析】四个数字依次是保险柜的编号除以2，3，5，7所得的余数，编号是1233，就找出除以2余数1，除以3余数是2，除以5余数是3，除以7余数是3的数即可．
【解答】解：设这个数是，是除以2余数1，除以3余数是2，除以5余数是3，除以7余数是3的数．
如果减少3，则同时被2、5、7整除，并且被3除余2；
；
，
余数是1，那么
余数就是2；
所以符合条件的最小的一个数是：；
在范围内，只有143一个符合要求．
答：这个钥匙是143号保险箱的钥匙．
【点评】根据这个数除以2，3，5，7的余数是1233进行求解，先找出能同时被其中的2、5、7三个数整除的数，由此时余数是2进行推算．
14．甲、乙、丙三数分别是603，939，393．某数除甲数所得余数是除乙数所得余数的2倍，除乙数所得余数是除丙数所得余数的2倍．求是多少？
【分析】丙数扩大4倍，乙数扩大2倍，那么甲、乙、丙三数余数就相同了，即，，然后两两相减求出三个差，再求出三个差的不小于4的公因数即可．
【解答】解：根据分析可得，
所以，的值为17或
经验证，只有17符合题意．
答：是17．
【点评】本题考查了剩余定理的灵活应用，关键是统一余数，然后根据因数与倍数的关系解答即可．
15．在200至300之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被3整除，中间的能被7整除，最大的能被13整除，那么这样的三个连续自然数分别是多少？
【分析】先找出两个连续自然数，第一个被3整除，第二个被7整除。例如，找出6和7，下一个连续自然数是8。3和7的最小公倍数是21，考虑8加上21的整数倍，使加得的数能被13整除。8＋21×12＝260，能被13整除，那么258，259，260这三个连续自然数，依次分别能被3，7，13整除，又恰好在200至300之间。由于3，7，13的最小公倍数为273，所以在200至300之间只有258，259，260这三个数满足条件。
【解答】根据分析可得：
8＋21×12
＝8＋252
＝260
所以，258，259，260这三个连续自然数，依次分别能被3，7，13整除；且在200至300之间。
【点评】解答此类题时，可以采用逐级满足法。
16．有连续的三个自然数、、，它们恰好分别是9、8、7的倍数，求这三个自然数中最小的数至少是多少？
【分析】由是8的倍数，得到被8除余7，由是7的倍数，得到被7除余5，现在相当于一个数除以9余0，除以8余7，除以7余5。运用中国剩余定理求（用逐步满足的方法也可以）可得：
7和8的公倍数中除以9余1的最小为280；7和9的公倍数中除以8余1的最小是441；8和9的公倍数中除以7余1的最小是288，根据中国剩余定理，符合各个余数条件，但4527不是最小的，还需要减去7、8、9的公倍数，可知是满足各个余数条件的最小值，所以至少是495。
【解答】根据分析可得：
7和8的公倍数中除以9余1的最小为280；7和9的公倍数中除以8余1的最小是441；8和9的公倍数中除以7余1的最小是288，
根据中国剩余定理可得：
答：至少是495。
【点评】正确理解剩余定理和运算的性质，是解答此题的关键。
17．一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数。
【分析】列出除以3余1的前面一部分数字，再列出除以5余2的前面一部分数字，最后列出除以7余3的前面一部分数字，这三列数中找出最小的共同数，这个数再加上[3，5，7]的倍数使这个数在1000－1200之间即为满足要求的数字。
【解答】被3除余1的数：
1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，40，43，46，49，52，…；
被5除余2的数：
2，7，12，17，22，27，32，37，42，47，52，57，…；
被7除余3的数：
3，10，17，24，31，38，45，52，…；
三个条件都符合的最小的数是52
[3，5，7]＝105，，
【点评】先求出满足要求最小的数字，在加上[3，5，7]的倍数满足数字范围即可。
18．不足100名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组5人，其他人按8人一组围在外圈；另一种是中间一组8人，其他人按5人一组围在外圈。问最多有多少名同学？
【分析】此题实际是一个不足100的整数，减去5能被8整除，即除以8余5，减去8能被5整除，即除以5余3，求其最大值。13除以8余5，除以5余3，8和5的最小公倍数为40，13＋2×40＝93，为满足条件的整数，即最多有93名同学。
【解答】13除以8余5，除以5余3，8和5的最小公倍数为40，
13＋2×40
＝13＋80
＝93
答：最多有93名同学。
【点评】正确理解剩余定理的意义，是解答此题的关键。
19．数119很奇特：当被2除时，余数为1；当被3除时，余数为2；当被4除时，余数为3；当被5除时，余数为4；当被6除时，余数为5。问：具有这种性质的三位数还有几个？
【分析】这个三位数加上1，就能同时被2、3、4、5、6整除，即这个数同时是2、3、4、5、6的倍数，而2、3、4、5、6的最小公倍数是60，设这个数为60x－1；根据3位数的条件有：100≤60x－1≤999；解得：2≤x≤16；因为这些三位数是60x－1，2≤x≤16，所以这些三位数是119，179，239，299，359，419，479，539，599，659，719，779，839，899，959；故具有这种性质的三位数还有179，239，299，359，419，479，539，599，659，719，779，839，899，959。
【解答】设具有这种性质的三位数还有x个，所以这个三位数是60x－1，可得：
100≤60x－1≤999；解得：2≤x≤16
16－2＝14（个）
答：具有这种性质的三位数还有14个。
【点评】[1，2，3，4，5，6]。三位数中60的倍数15个。所以，除了119外，还有（个）。
20．“民间流传着一则故事——‘韩信点兵’。秦朝末年，楚汉相争。一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人。忽有后军来报，说有楚军骑兵追来，韩信便急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。”根据故事中的条件，你能算出韩信有多少个将士么？
【分析】根据题意可知，一个自然数在1000和1100之间，除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的数；利用剩余定理解题即可。
【解答】根据题意，先找出被3除余2的数：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，41，44；
被5除余3的数：3，8，13，18，23，28，33，38，43，48，53，58；
被7除余2的数：2，9，16，23，32，37，44，51。
三个条件都符合的最小的数是23，以后的是一次加上3，5，7的公倍数，直到加到1000和1100之间。结果是：。
答：韩信有1073个将士。
【点评】正确理解剩余定理的意义，是解答此题的关键。7和8的公倍数
7和9的公倍数
8和9的公倍数
56
63
72
112
126
144
168
189
216
224
252
288
280
315
378
441
…
…
…