专题14 几何综合六种模型-2025年中考数学压轴训练

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通用的解题思路：
题型一：两垂一圆构造直角三角形模型
平面内有两点A，B，再找一点C，使得ABC 为直角三角形
分类讨论:
若∠A=90°,则点C在过点A 且垂直于AB 的直线上(除点A外);
若∠B=90°,则点C在过点B且垂直于AB的直线上(除点B外);
若∠C=90°,则点C在以AB为直径的圆上(除点A,B外).
以上简称“两垂一圆”.
“两垂一圆”上的点能构成直角三角形,但要除去A,B两点.
题型二：两圆一中垂构造等腰三角形模型
分类讨论:
若AB=AC,则点C在以点A 为圆心,线段AB的长为半径的圆上;
若BA=BC,则点C在以点B为圆心,线段AB的长为半径的圆上;
若CA=CB,则点C在线段AB的垂直平分线PQ上以上简称“两圆一中垂”
“两圆一中垂”上的点能构成等腰三角形,但是要除去原有的点A,B,还要除去因共线无法构成三角形的点MN以及线段AB中点E(共除去5个点)需要注意细节
题型三：胡不归模型
【模型解读】一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V11，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。
【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。
题型四：阿氏圆模型
【模型解读】如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？
如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值，
其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。如图3所示：
注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：
在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。
题型五：瓜豆原理模型（点在直线上）
【模型解读】
瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。
动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，本专题受教学进程影响，估只对瓜豆原理中的直线型轨迹作讲解。
主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。
古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。
模型1、运动轨迹为直线
1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？

解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．
理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．
2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？

解析：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。
理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。
【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。
1）当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值；
2）当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。
3）确定动点轨迹的方法（重点）
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；
④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑；
⑤若动点轨迹用上述方法不都合适，则可以将所求线段转化（常用中位线、矩形对角线、全等、相似）为其他已知轨迹的线段求最值。
题型六：瓜豆原理模型（点在圆上）
【模型解读】
模型1、运动轨迹为圆弧
模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？

如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
模型1-2. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？

如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
模型1-3. 定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中）
如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，
则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。

模型1-4. 定边对定角（或直角）模型
1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。
2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。

【模型原理】动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。
题型一：两垂一圆构造直角三角形模型
1．（2023•安溪县二模）如图，是半圆的直径，，与半圆相切于点，连接并延长，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若的半径为5，，求的长．
2．（2023•平房区二模）如图1，内接于中，为直径，点在弧上，连接，．
（1）求证：；
（2）如图2，连接交于点，若，求证：；
（3）在（2）的条件下，如图3，点在线段上，连接，交于点，若，，，求线段的长．
3．（2022•蔡甸区校级模拟）如图，点是正方形边上一点（点不与、重合），连接交对角线于点，的外接圆交边于点，连接、．
（1）求的度数；
（2）若，求．
4．（2023•怀化）如图，是的直径，点是外一点，与相切于点，点为上的一点．连接、、，且．
（1）求证：为的切线；
（2）延长与的延长线交于点，求证：；
（3）若，，求阴影部分的面积．
5．（2023•广陵区二模）如图，顶点为的二次函数图象经过原点，点在该图象上，交其对称轴于点，点、关于点对称，连接，．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点的坐标是，求的面积；
（3）当点在对称轴左侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：
①求证：；
②若为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
6．（2024•宝安区二模）“海之跃”摩天轮是某地区的城市名片．滨城学校九年级（3）班的项目式学习团队计划在摩天轮上测量一座写字楼的高度．
【素材一】如图1，“海之跃”摩天轮共有24个轿厢，均匀分布在圆周上．拟测算的写字楼与摩天轮在同一平面内．
【素材二】自制工具：使用直角三角板教具和铅锤，制作测角仪器（如图．
【素材三】若学生身高和轿厢大小忽略不计，如图3，摩天轮的最高高度为128米，半径为60米，该团队分成三组分别乘坐1号、4号和10号轿厢，当1号轿厢运动到摩天轮最高点时，三组队员同时使用测角仪观测写字楼最高处点，观测数据如表（观测误差忽略不计）．
【任务一】初步探究，获取基础数据
（1）如图3，请连接、，则 ；
（2）求出1号轿厢运动到最高点时，4号轿厢所在位置点的高度．（结果保留根号）
【任务二】推理分析，估算实际高度
（3）根据观测数据，计算写字楼的实际高度．（结果用四舍五入法取整数，
7．（2022•江北区一模）如图1，四边形是的内接四边形，其中，对角线、相交于点，在上取一点，使得，过点作交于点、．
（1）证明：．
（2）如图2，若，且恰好经过圆心，求的值．
（3）若，，设的长为．
①如图3，用含有的代数式表示的周长．
②如图4，恰好经过圆心，求内切圆半径与外接圆半径的比值．
题型二：两圆一中垂构造等腰三角形模型
1．（2022•开州区模拟）如图，在等腰中，，是的中点，为边上任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，交于点．
（1）如图1，若，，求的长；
（2）如图2，点恰好是的中点，连接，求证：；
（3）如图3，若，连接，当取得最小值时．请直接写出的值．
2．（2023春•璧山区校级期中）如图，直线经过点和两点，将沿直线对折使点和点重合，直线与轴交于点与交于点，点的纵坐标为2，连接．
（1）求直线的解析式；
（2）若点在轴的负半轴上，且的面积为10，求的周长；
（3）已知轴上有一点，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出所有满足条件的点的坐标．
题型三：胡不归模型
1．（2023•湘潭县校级三模）如图，抛物线与轴相交于点，，与轴交于点，连接．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点为轴上一个动点，连接，求的最小值；
（3）连接，在轴上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2023•徐州二模）抛物线与直线相交于、两点，与轴相交于点，点在轴的负半轴上．
（1）求抛物线的函数表达式及顶点的坐标；
（2）如图1，直线上方的抛物线上有一动点，过点作于点，求垂线段的最大值；
（3）如图2，当点运动到抛物线对称轴右侧时，连接，交抛物线的对称轴于点，当最小时，直接写出此时的长度．
3．（2023•丘北县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是线段上方抛物线上一动点，点是轴上的动点，连接、，当的面积最大时，求的最小值．
4．（2019•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），交轴于点，点为抛物线的顶点，对称轴与轴交于点．
（1）连接，点是线段上一动点（点不与端点，重合），过点作，交抛物线于点（点在对称轴的右侧），过点作轴，垂足为，交于点，点是线段上一动点，当取得最大值时，求的最小值；
（2）在（1）中，当取得最大值，取得最小值时，把点向上平移个单位得到点，连接，把绕点顺时针旋转一定的角度，得到△，其中边交坐标轴于点．在旋转过程中，是否存在一点，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2023•江城区三模）如图，抛物线交轴于，两点（点在点左侧），交轴于点，直线经过点、，点是线段上的一动点（不与点，重合）．
（1）求，两点的坐标；
（2）当点，关于抛物线的对称轴对称时，求的最小值及此时点的坐标；
（3）连接，当与相似时，求出点的坐标．
6．（2024•宿迁模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），交轴于点，点的坐标为，点为抛物线的顶点，对称轴与轴交于点．
（1）填空： ，点的坐标是 ；
（2）连接，点是线段上一动点（点不与端点，重合），过点作，交抛物线于点（点在对称轴的右侧），过点作轴，垂足为，交于点，点是线段上一动点，当的周长取得最大值时，求的最小值；
（3）在（2）中，当的周长取得最大值时，取得最小值时，如图2，把点向下平移个单位得到点，连接，把绕点顺时针旋转一定的角度，得到△，其中边交坐标轴于点．在旋转过程中，是否存在一点，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2023•南山区三模）如图，在中，，，经过点，且圆的直径在线段上．
（1）试说明是的切线；
（2）若中边上的高为，试用含的代数式表示的直径；
（3）设点是线段上任意一点（不含端点），连接，当的最小值为6时，求的直径的长．
题型四：阿氏圆模型
1．（2024•长沙模拟）阅读材料，回答下列小题．
阅读材料
调和是射影几何重要不变量交比的一种特殊形式，早在古希腊，数学家们便发现了一组具有特殊比例关系的点列：调和点列．
我们定义：若一直线上依次存在四点，，，，满足，则称，，，为调和点列．从直线外一点引射线，，，，则称，，，为调和线束．
（1）如图1，过圆外一点作圆的切线，，并引圆的割线，设与交于点．
①求证：，，，是调和点列．
②求证：．
阅读材料2：阿波罗尼斯圆：对于平面上的两定点，和平面上一动点，若到和的距离之比为定值，则点的轨迹是一个圆，我们称该圆是点关于的“阿氏圆”．
（2）根据阅读材料1，2，回答①②小题．（本题图未给出）
①证明阿波罗尼斯圆，并确定该圆圆心的位置．
②若点关于的“阿氏圆”交于，，求证：，，，为调和点列．
（3）如图2，是平行四边形，是三角形的重心，点，在直线上，满足与垂直，与垂直．求证：平分．
2．（2024•莱芜区校级模拟）在中，，．若点为上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，交于点．
（1）如图1，若，，求的长；
（2）如图2，点为的中点，连接交于点．若，猜想线段与线段的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，若，为的中点，将绕点旋转得△，连接、，当最小时，求．
3．（2023•万州区模拟）如图，在等腰直角三角形中，，过点作交过点的直线于点，，直线交于．
（1）如图1，若，求的长；
（2）如图2，过点作交于点，交的延长线于，取线段的中点，连接，求证：．
（3）在（2）的条件下，过点作交于点，若点是线段上任一点，连接，将沿折叠，折叠后的三角形记为△，当取得最小时，直接写出的值．
4．（2022•从化区一模）已知，是的直径，，．
（1）求弦的长；
（2）若点是下方上的动点（不与点，重合），以为边，作正方形，如图1所示，若是的中点，是的中点，求证：线段的长为定值；
（3）如图2，点是动点，且，连接，，一动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿线段匀速运动到点，再以每秒1个单位的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动，求点的运动时间的最小值．
5．（2022•市中区校级模拟）如图，在 与中，，，，点在上．
（1）如图1，若点在的延长线上，连接，探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，若点与点重合，且，，将绕点旋转，连接，点为的中点，连接，在旋转的过程中，求的最小值；
（3）如图3，若点为的中点，连接、交于点，交于点，且，请直接写出的值．
题型五：瓜豆原理模型（点在直线上）
1．（2022•沈阳）【特例感知】
（1）如图1，和是等腰直角三角形，，点在上，点在的延长线上，连接，，线段与的数量关系是 ；
【类比迁移】
（2）如图2，将图1中的绕着点顺时针旋转，那么第（1）问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由．
【方法运用】
（3）如图3，若，点是线段外一动点，，连接．
①若将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最大值是 ；
②若以为斜边作，，三点按顺时针排列），，连接，当时，直接写出的值．
2．（2021•武进区模拟）如图①，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，连接，点是抛物线上一动点．
（1）求二次函数的表达式．
（2）当点不与点、重合时，作直线，交直线于点，若的面积是面积的4倍，求点的横坐标．
（3）如图②，当点在第一象限时，连接，交线段于点，以为斜边向外作等腰直角三角形，连接，的面积是否变化？如果不变，请求出的面积；如果变化，请说明理由．
题型六：瓜豆原理模型（点在圆上）
1．（2023•崖州区一模）若，以点为圆心，2为半径作圆，点为该圆上的动点，连接．
（1）如图1，取点，使为等腰直角三角形，，将点绕点顺时针旋转得到．
①点的轨迹是 （填“线段”或者“圆” ；
②的最小值是 ；
（2）如图2，以为边作等边（点、、按照顺时针方向排列），在点运动过程中，求的最大值．
（3）如图3，将点绕点逆时针旋转，得到点，连接，则的最小值为 ．
2．（2024•昆山市一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴的另一交点为．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点为轴下方抛物线上一动点，当点运动到某一位置时，的面积等于面积的，求此时点的坐标；
（3）如图2，以为圆心，2为半径的与轴交于、两点在右侧），若点是上一动点，连接，以为腰作等腰，使、、三点为逆时针顺序），连接．求长度的取值范围．
3．（2023•海淀区校级三模）在平面直角坐标系中，给定图形和点，若图形上存在两个点，满足且，则称点是图形的关联点．
已知点，，．
（1）在点，，，，，中， 是线段的关联点；
（2）是以点为圆心，为半径的圆．
①当时，若线段上任一点均为的关联点，求的取值范围；
②记线段与线段组成折线，若存在，使折线的关联点都是的关联点，直接写出的最小值．
4．（2023•沙坪坝区校级模拟）在中，，，，点是边上任意一点，点是直线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转，旋转角为，得到线段，连接．
（1）如图1，，，点在射线上，求的长；
（2）如图2，，于点，，猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，，点在射线上，点是上一点且满足，连接，直接写出当最小时，点到的距离．
1号轿厢测量情况
4号轿厢测量情况
10号轿厢测量情况