专题11 全等三角形六种基本模型 (学生版)-2025年中考数学压轴训练

这是一份专题11 全等三角形六种基本模型 (学生版)-2025年中考数学压轴训练，共44页。试卷主要包含了等边三角形手拉手-出全等，等腰直角三角形手拉手-出全等等内容，欢迎下载使用。
通用的解题思路：
模型一：一线三等角模型
一线三等角指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。或叫 “K字模型”。
三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：
当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。
一般类型：
基本类型：
同侧“一线三等角” 异侧“一线三等角”
模型二：手拉手模型——旋转型全等
一、等边三角形手拉手-出全等
二、等腰直角三角形手拉手-出全等
两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有：[来源:Z#xx#k.Cm]
△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE；
题型三：倍长中线模型构造全等三角形
倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用）。
三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.
主要思路：倍长中线（线段）造全等
在△ABC中 AD是BC边中线

延长AD到E， 使DE=AD，连接BE

作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延长线于E 连接BE

延长MD到N， 使DN=MD，连接CD
题型四：平行线+线段中点构造全等模型
题型五：等腰三角形中的半角模型
过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。
解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。
题型六：角平分线+垂直构造全等模型
类型一、角平分线垂两边
角平分线+外垂直
当已知条件中出现为的角平分线、于点时，辅助线的作法大都为过点作即可.即有、≌等，利用相关结论解决问题.
类型二、角平分线垂中间
角平分线+内垂直
当已知条件中出现为的角平分线,于点时，辅助线的作法大都为延长交于点即可.即有是等腰三角形、是三线等，利用相关结论解决问题.
模型一：一线三等角模型
1．（2023•石家庄模拟）如图①，矩形与以为直径的半圆在直线的上方，线段与点、都在直线上，且，，．点以1个单位秒的速度从点处出发，沿射线方向运动，矩形随之运动，运动时间为秒．
（1）如图②，当时，求半圆在矩形内的弧的长度；
（2）在点运动的过程中，当、都与半圆相交时，设这两个交点为、．连接、，若为直角，求此时的值．
2．（2023•怀化三模）如图所示，工人赵师傅用10块高度都是的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙和，点在上，已知，．
（1）求证：；
（2）求的长．
3．（2023•承德二模）如图1，经过的三个顶点，圆心在斜边上，，直径所对的弧长为长的3倍，将等腰的直角顶点放置在边上，于点．
（1） ；
（2）求证：；
（3）如图2，当点落在上时，求的长．
4．（2023•凤台县校级二模）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型．
应用：（1）如图2，中，，，直线经过点，过作于点，过作于点．求证；．
（2）如图3，在中，是上一点，，，，，求点到边的距离．
（3）如图4，在中，为边上的一点，为边上的一点．若，，，求的值．
5．（2023•鄂伦春自治旗二模）如图1，二次函数的图象交坐标轴于点，，点为轴上一动点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）过点作轴分别交线段，抛物线于点，，连接．当时，求的面积；
（3）如图2，将线段绕点逆时针旋转得到线段．
①当点在抛物线上时，求点的坐标；
②点在抛物线上，连接，当平分时，直接写出点的坐标．
6．（2023•潍坊三模）如图1，将一个等腰直角三角尺的顶点放置在直线上，，，过点作于点，过点作于点．
观察发现：
（1）如图1，当，两点均在直线的上方时
①猜测线段，与的数量关系并说明理由；
②直接写出线段，与的数量关系；
操作证明：
（2）将等腰直角三角尺绕着点逆时针旋转至图2位置时，线段，与又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并写出证明过程；
拓广探索：
（3）将等腰直角三角尺绕着点继续旋转至图3位置时，与交于点，若，，请直接写出的长度．
7．（2023•尤溪县校级模拟）在矩形中，连接，线段是线段绕点逆时针旋转得到，平移线段得到线段（点与点对应，点与点对应），连接，分别交，于点，，连接．
（1）求证：；
（2）求的大小；
（3）若，，求矩形的面积（用含有，的式子表示）．
8．（2024•龙马潭区一模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若在线段上存在一点，使得，过点作交的延长线于点，求点的坐标；
（3）点是轴上一动点，点是在对称轴上一动点，是否存在点，，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2023•太康县二模）在正方形中，是边上一点（点不与点，重合），，垂足为点，与正方形的外角的平分线交于点．
（1）如图1，若点是的中点，猜想与的数量关系是 ；证明此猜想时，可取的中点，连接．根据此图形易证．则判断的依据是 ．
（2）点在边上运动．
①如图2，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由．
②如图3，连接，，若正方形的边长为1，直接写出的周长的取值范围．
模型二：手拉手模型——旋转型全等
1．（2023•巴中）综合与实践．
（1）提出问题．如图1，在和中，，且，，连接，连接交的延长线于点．
①的度数是 ．
② ．
（2）类比探究．如图2，在和中，，且，，连接、并延长交于点．
①的度数是 ；
② ．
（3）问题解决．如图3，在等边中，于点，点在线段上（不与重合），以为边在的左侧构造等边，将绕着点在平面内顺时针旋转任意角度．如图4，为的中点，为的中点．
①说明为等腰三角形．
②求的度数．
2．（2024•武汉模拟）如图，在和中，，，，点在边上，是的中点．连接，是的中点．
（1）求证：；
（2）如图（2），若点在上，直接写出的值；
（3）如图（1），判定以，，为顶点的三角形的形状，并证明你的结论．
3．（2023•市中区校级四模）问题提出如图1，在等边内部有一点，，，，求的度数．
数学思考当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分数的条件集中起来解决问题．
尝试解决将绕点逆时针旋转，得到△，连接，则为等边三角形．
，又，，．
△为 三角形，
的度数为 ．
类比探究如图2，在中，，，其内部有一点，若，，，求的度数．
联想拓展如图3，在中，，，其内部有一点，若，，，求的度数．
4．（2023•深圳模拟）如图，是边长为3的等边三角形，是上一动点，连接，以为边向的右侧作等边，连接．
（1）【尝试初探】
如图1，当点在线段上运动时，与相交于点，在运动过程中发现有两个三角形始终保持全等，请你找出这对全等三角形，并说明理由．
（2）【深入探究】
如图2，当点在线段上运动时，延长，交的延长线于点，随着点位置的变化，点的位置随之发生变化，当时，求的值．
（3）【拓展延伸】
如图3，当点在的延长线上运动时，、相交于点，设的面积为，的面积为，当时，求的长．
5．（2023•岱岳区二模）如图，正方形边长为7．、在半径为4的上，且，连接、、、．
（1）试探求线段、的数量和位置关系；
（2）求证：，并求的值．
6．（2023•苏州一模）如图，是边长为3的等边三角形，是上一动点，连接，以为边向的右侧作等边三角形，连接．
（1）【尝试初探】
如图1，当点在线段上运动时，，相交于点，在运动过程中发现有两个三角形始终保持全等，请你找出这对全等三角形，并说明理由．
（2）【深入探究】
如图2，当点在线段上运动时，延长，交的延长线于点，随着点位置的变化，点的位置随之发生变化，当时，求的值．
（3）【拓展延伸】
如图3，当点在的延长线上运动时，，相交于点，设的面积为，的面积为，当时，求的长．
7．（2023•灌云县校级模拟）在中，，，点是平面内不与点，重合的任意一点，连接，将线段绕点旋转得到线段，连接，，．
（1）当时，
①如图1，当点在的边上时，线段绕点顺时针旋转得到线段，则与的数量关系是 ．
②如图2，当点在内部时，线段绕点顺时针旋转得到线段，①中与的数量关系还成立吗？若成立，请证明结论，若不成立，说明理由；
（2）当时，
①如图3，线段绕点顺时针旋转得到线段．试判断与的数量关系，并说明理由；
②若点，，在一条直线上，且，线段绕点逆时针旋转得到线段，求的值．
8．（2024•邳州市校级一模）（1）问题发现：
如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接．
①线段，之间的数量关系为 ；
②的度数为 ．
（2）拓展探究：
如图2，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，连接，求的值及的度数；
（3）解决问题：
如图3，在正方形中，，若点满足，且，请直接写出点到直线的距离．
9．（2023•酒泉一模）（1）感知：如图①，四边形和均为正方形，与的数量关系为 ；
（2）拓展：如图②，四边形和均为菱形，且，请判断与的数量关系，并说明理由；
（3）应用：如图③，四边形和均为菱形，点在边上，点在延长线上．若，，的面积为8，求菱形的面积．
10．（2023•海淀区校级四模）在平面直角坐标系中，的半径为1，为上一点，点．
对于点给出如下定义：将点绕点顺时针旋转，得到点，点关于点的对称点为，称点为点关于点，的“中旋点”．
（1）如图1，已知点，点为点关于点，的“中旋点”．
①若点，在图中画出点，并直接写出的长度为 ；
②当点在上运动时，直线上存在点关于点，的“中旋点” ，求的取值范围；
（2）点，当点在上运动时，若上存在点关于点，的“中旋点” ，直接写出的取值范围．
11．（2023•黑龙江模拟）在中，，，为直线上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接．
（1）当点在线段上时，如图①，求证：；
（2）当点在的延长线上时，如图②；当点在的延长线上时，如图③，线段，，之间又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想，不必证明．
12．（2024•东城区一模）在中，，，点，是边上的点，，连接．过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点．连接交于点．
（1）如图1，当点与点重合时，直接写出与之间的数量关系；
（2）如图2，当点与点不重合（点在点的左侧）时，
①补全图形；
②与在（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，直接用等式表示线段，，之间的数量关系．
13．（2023•天宁区校级模拟）在平面直角坐标系中，点，点在轴正半轴上，点在第一象限内．
（1）如图1，．
①若是以为斜边的直角三角形，且．请在图（1）中利用圆规、无刻度直尺作出点的位置（不写作法，保留作图痕迹），写出点的坐标： ；
②若是等边三角形．求点的坐标；
（2）如图2，是等边三角形，点在以，为圆心，半径为的圆上．若存在两个满足条件，求的取值范围．
14．（2023•牡丹区校级一模）有共同顶点的与中，，，且，连接，，线段，相交于点．
（1）如图①，当时，的值是 ，的度数是 ；
（2）如图②，当时，求的值和的度数，并说明理由；
（3）如果，，当点与的顶点重合时，请直接写出的值．
15．（2023•泰州）已知：、为圆上两定点，点在该圆上，为所对的圆周角．
知识回顾
（1）如图①，中，、位于直线异侧，．
①求的度数；
②若的半径为5，，求的长；
逆向思考
（2）如图②，若为圆内一点，且，，．求证：为该圆的圆心；
拓展应用
（3）如图③，在（2）的条件下，若，点在位于直线上方部分的圆弧上运动．点在上，满足的所有点中，必有一个点的位置始终不变．请证明．
题型三：倍长中线模型构造全等三角形
1．（2023•兴宁区校级模拟）【模型启迪】
（1）如图1，在中，为边的中点，连接并延长至点，使，连接，则与的数量关系为 ，位置关系为 ；
【模型探索】
（2）如图2，在中，为边的中点，连接，为边上一点，连接交于点，且．求证：；
【模型应用】
如图3，在（2）的条件下，延长至点，使，连接，交的延长线于点．若，，，求线段的长．
2．（2023•抚州三模）课本再现：
（1）我们研究平行四边形时，常常把它分成几个三角形，利用三角形全等的性质研究平行四边形的有关问题，同时也可以利用平行四边形研究三角形的有关问题，如探究三角形中位线的性质．
如图（1），在中，点，分别是，的中点，连接．则与的关系是 ．
定理证明
（2）请根据（1）中内容结合图（1），写出（1）中结论的证明过程．
定理应用
（3）如图（2），在四边形中，点，，分别为，，的中点，，的延长线交于点．若，则的度数是 ．
（4）如图（3），在矩形中，，，点在边上，且．将线段绕点旋转一定的角度，得到线段，点是线段的中点，求旋转过程中线段长的最大值和最小值．
3．（2023•蜀山区校级一模）如图，在中，，，于点，点是的中点，连接．
（1）若，，求的长；
（2）求证：；
（3）求证：．
4．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，中，在上，在上，，在上，．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，若，在上，，求证：；
（3）如图3，若，，，当周长最小时，请直接写出的面积．
5．（2023•南关区校级二模）【提出问题】兴趣小组活动中老师提出了如下问题：如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使得，，再连接（或将绕点逆时针旋转得到，把、、集中在中，利用三角形的三边关系可得，则．
【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”，把一条过中点的线段延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法．
【解决问题】如图②，在中，点是边的中点，点在边上，过点作，交边于点，连接．
（1）求证：．
（2）若，则线段、、之间的等量关系为 ．
（3）【应用拓展】如图③，在中，，点为边的中点，点和点分别在边、上，点为线段的中点．若，，则的长为 ．
题型四：平行线+线段中点构造全等模型
1．（2023•射洪市校级一模）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，菱形的面积为40．求的长．
2．（2022•前进区校级一模）已知：是的角平分线，点为直线上一点，，过点作交直线于点，当点在边的延长线上时，如图①易证；当点在边上，如图②；当点在边的延长线上，是的外角平分线时，如图③．写出、与的数量关系，并对图②进行证明．
3．（2022•寿光市一模）如图，在矩形中，，，为边的一动点（不与端点重合），连接并延长，交的延长线于点，延长至点，使；分别连接，，．
（1）在点的运动过程中，四边形能否成为菱形？请判断并说明理由．
（2）若与相似，求的长．
4．（2022•九江三模）（1）化简并求值：，其中．
（2）如图，在中，点是的中点，点在边的延长线上，连接并延长交的延长线于点，分别与、交于点、．求证：．
5．（2023•薛城区校级模拟）【感知】小亮遇到了这样一道题：已知如图①在中，，在上，在的延长线上，交于，且，求证：，小亮仔细分析了题中的已知条件后，如图②过点作交于，进而解决了该问题．（不需证明）
【探究】如图③，在四边形中，，为边的中点，，与的延长线相交于点．试探究线段与、之间的数量关系，并证明你的结论．
【应用】如图④，在正方形中，为边的中点，、分别为，边上的点，若，，，则的长为 ．
6．（2022•婺城区校级模拟）如图，点，是上的点，且，过点作，连接交于点，点是的中点．
（1）求的度数；
（2）求的值．
7．（2022•丰泽区校级模拟）在四边形中，平分，点是上任意一点，连接，且，，点为延长线上一点，连接，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当时，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，点在上，连接，，，，求线段的长．
题型五：等腰三角形中的半角模型
1．（2023•昌平区二模）在等边中，点是中点，点是线段上一点，连接，，将射线绕点顺时针旋转，得到射线，点是射线上一点，且，连接，．
（1）补全图形；
（2）求度数；
（3）用等式表示，的数量关系，并证明．
2．（2023•大连模拟）综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，在中，点在边上，于交于，．求证．
独立思考：（1）请解答王师提出的问题．
实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面条件，并提出新问题，请你解答．“如图2，作于点，若，探究线段与之间的数量关系，并证明．”
问题解析：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当点与点重合时，连接，若给出的值，则可求出的值．该小组提出下面的问题，请你解答．”
如图3，在（2）的条件下，当点与点重合时，连接，若，求的长”．
3．（2023•南岗区校级二模）圆内接，是圆的切线，点为切点，．
（1）如图1，连接，求证：；
（2）如图2，当为直径，点在弧上，连接、、时；求证：．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接与交于点，连延长与交于点，，，求的长．
题型六：角平分线+垂直构造全等模型
1．（2024•平谷区一模）如图，在中，，，点为边中点，于，作的平分线交于点，过点作的垂线交于点，交于点．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：；
（3）判断线段、与之间的数量关系，并证明．
2．（2024•金华一模）已知：如图，在中，于点，为上一点，且，．
（1）求证：．
（2）已知，，求的长．
3．（2023•武陟县一模）如图，在中，，点是边上一点，，于点，交于点，若，，求的长．
4．（2023•沙坪坝区校级一模）如图，在中，，点为边上一点，连接．
（1）如图1，若，，，求线段的长；
（2）如图2，若，为边上一点且，为上一点且，为的中点，连接，，，．猜想与之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，当，时，将绕着点沿顺时针方向旋转得到，连接．点、点分别是线段、上的两个动点，连接、．点为延长线上一点，连接，将沿直线翻折到同一平面内的，连接．在、运动过程中，当取得最小值且，时，请直接写出四边形的面积．
题型六：正方形中的半角模型
1．（2023•增城区二模）在正方形中，点、分别在边、上，且，连接．
（1）如图1，若，，求的长度；
（2）如图2，连接，与、分别相交于点、，若正方形的边长为6，，求的长；
（3）判断线段、、三者之间的数量关系并证明你的结论．
2．（2023•明水县二模）已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于点、．当绕点旋转到时（如图，易证．
（1）当绕点旋转到时（如图，线段、和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；
（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段、和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
3．（2023•昆明模拟）综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，杨老师出示了教材上的一个问题：
如图1，四边形是正方形，是上的任意一点，于点，，交于点，求证：．
数学兴趣小组的小明同学做出了回答，解题思路如下：
由正方形的性质得到，，
再由垂直和平行可知，
再利用同角的余角相等得到，
则可根据“”判定，
得到，所以．
【建立模型】
该数学小组小芳同学受此问题启发，对上面的问题进行了改编，并提出了如下问题：
（1）如图2，四边形是正方形，，是对角线上的点，，连接，．
求证：四边形是菱形；
【模型拓展】
该兴趣小组的同学们在杨老师的指导下大胆尝试，改变图形模型，发现并提出新的探究点；
（2）如图3，若正方形的边长为12，是对角线上的一点，过点作，交边于点，连接，交对角线于点，，求的值．
4．（2022•绥化三模）已知，正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边长分别交、（或它们的延长线）于点、，于点．
（1）如图①，当点旋转到时，请你直接写出与的数量关系： ；
（2）如图②，当绕点旋转到时，（1）中发现的与的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；
（3）如图③，已知，于点，且，，求的长．
5．（2022•集贤县模拟）已知正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点，，于点．
（1）如图①，当绕点旋转到时，请你直接写出与的数量关系： ；
（2）如图②，当绕点旋转到时，（1）中发现的与的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；
（3）如图③，已知，于点，且，，求的长．（可利用（2）得到的结论）