专题15 分类讨论思想在五种题型中的应用-2025年中考数学压轴训练

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通用的解题思路：
题型一、等腰三角形的存在问题分类讨论
1. 假设结论成立；
2. 找点：当所给定长未说明是等腰三角形的底还是腰时，需分情况讨论，具体方法如下：
① 当定长为腰时，找已知条件上满足直线的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，若所画弧与坐标轴或抛物有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为所求的点；若所画弧与坐标轴或抛物线无交点或交点是定长的另一端点时，满足条件的点不存在；
② 当定长为底边时，根据尺规作图作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线有交点时，那交点即为所求的点，若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线无交点时，满足条件的点不存在；以上方法即可找出所有符合条件的点.
3. 计算：在求点坐标时，大多时候利用相似三角形求解，如果图形中没有相似三角形，可以通过添加辅线构造相似三角形，有时也可利用直角三角形的性质进行求解
题型二、直角三角形的存在问题分类讨论
1. 设出所求点的坐标，用变量表示出所求三角形三边的长的平方的代数式，如本题，设点F（1，f），△BCF三边长为：BF2＝4＋f2，CF2=f2+6f+10，BC=18；
2. 找点：根据直角顶点的不确定性，分情况讨论：
① 当定长（已知的两个点连线所成的线段）为直角三角形的直边时（如本题（4）中的边BC），分别过定长的某一端点（B和C）做其垂线，与所求点满足的直线或抛物线（本题是抛物线对称轴）有交点时，此交点即为符合条件的点；
② 当定长为直角角形的斜边时，以此定长为直径作圆，圆弧与所有点满足条件的直线或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点.
3. 计算：把图形中的点的坐标用含有自变量的代数式表示出来，从而表示出三角形各边（表示线段时，注意代数式的符号），再利用相似三角形得比例线段关系或利用勾股定理进行计算.
题型三、不等式（组）中的分类讨论思想
分类讨论思想在不等式（组）中主要体现在含有字母系数的一元一次不等式（组）的解法问题，在求其解集时要对字母进行分类讨论。
对含字母系数的不等式或不等式组，在求解时一定要注意字母系数的取值范围，要进行分类讨论。
题型四、方程（组）和函数中的分类讨论思想
在函数问题中，分类有两种情况：一种是对概念进行分类，一 种是分情况讨论问题，对概念进行分类，是明确概念的一种逻辑方法，有助于对概念的理解与掌握；分情况讨论问题，可以帮助我们全面考察一个对象，得出可能的结论，也可以使问题更容易人手，分类思想方法对于中学生来是比较难掌握的一种数学思想方法，在对概念进行分类时，往往把握不住标准，不能坚持用同一个标准进行分类，出现“重"或“漏"的现象，从而容易导致错误的发生
题型五、圆中的分类讨论思想
由于圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，并且具有旋转不变性，因此有不少题目会出现多解问题。这类题目重在考查同学们对基础知识的掌握与运用情况，它有利于培养同学们严谨周密的逻辑思维能力。如果解题时考虑不严密，理解不透切，形成思维定势，就会漏解，从而造成错误。在圆中解这类问题时，需要利用分类讨论思想，在解题时可以多考虑将圆进行折叠或旋转。
题型一：等腰三角形中的分类讨论思想
1．（2023•广安）如图，一次函数为常数，的图象与反比例函数为常数，的图象在第一象限交于点，与轴交于点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）点在轴上，是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标．
【分析】（1）把点、的坐标分别代入一次函数解析式，列出关于、的方程组，通过解方程组求得它们的值；然后将点的坐标代入反比例函数解析式，求得的值即可；
（2）设，利用两点间的距离公式和勾股定理以及列出方程，借助于方程求解即可．
【解答】解：（1）将、分别代入一次函数，得
．
解得．
故．
将其代入反比例函数，得
．
解得．
故一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
（2）由（1）知，、，则．
设，
当时，．
解得或（舍去）．
故；
当时，．
解得或．
故或．
综上所述，符合条件的点的坐标为：或或．
【点评】本题属于反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求得一次函数和反比例函数解析式，勾股定理以及等腰三角形的性质，此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．
2．（2023•澄城县一模）如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，直线是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）在对称轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）运用待定系数法确定函数解析式即可；
（2）由于没有指明等腰的底边，所以需要分类讨论：，，，运用两点间距离的求法列出相应的方程，通过解方程求得答案．
【解答】解：（1）把点、点分别代入，得．
解得．
故该抛物线解析式为：；
（2）由（1）知，该抛物线解析式为：．
则该抛物线的对称轴为直线．
故设．
、点，
，，．
①若时，，
解得．
点的坐标为或；
②若时，，
解得或，
点的坐标为或．
当点的坐标为时，点、、共线，
点的坐标为；
③当时，，
解得，
点的坐标为．
综上所述，符合条件的点的坐标为或或或．
【点评】本题属于二次函数综合题型，主要考查了待定系数法确定函数解析式，两点间的距离公式，等腰三角形的性质，解题过程中，需要对等腰三角形的底边或腰进行分类讨论，以防漏解．
3．（2023•婺城区模拟）在矩形中，，，是上的一点，且，是直线上一点，射线交直线于点，交直线于点，连结、，直线交直线于点．
（1）①当点为中点时，求与的长；
②求的值．
（2）若为等腰三角形时，求满足条件的的长．
【分析】（1）①过点作于点，易得，为等腰直角三角形，进而得到为等腰直角三角形，，由可推出，则为等腰直角三角形，；
②过点作于点，易得，，易证，，得到，，于是，，进而可得，由等角加同角相等得，在中，；
（2）易得，得到，设，则，，，易证，根据相似三角形的性质可求得，，再分三种情况讨论：（Ⅰ）当时，过点作于点，则，，进而求出，，，再利用平行线分线段成比例得到，以此建立方程求解即可；（Ⅱ）当时，过点作于点，则，，，进而求出，由平行线的性质得到，于是，由等角的余角相等得，则，以此建立方程求解即可；（Ⅲ）当时，则，由平行线的性质可得，于是，由等角的余角相等得，进而得到，以此建立方程求解即可．
【解答】解：（1）①当点为中点时，如图，过点作于点，
则，
四边形为矩形，
，
四边形为矩形，
，
点为的中点，
，
，
，，
为等腰直角三角形，，
，
为等腰直角三角形，，
，
，
，
为等腰直角三角形，，
，；
②如图，过点作于点，
则，
，
，
，
，，，
，
，，
，即，
，即，
，，
，
，
，即，
；
（2），，
，
，即，
设，则，，
，
由（1）②可知，，
，
，
，
，
，
，即，
，，
（Ⅰ）当时，如图，过点作于点，
则，，
，
，
，
，
，即，
解得：，（舍去），
；
（Ⅱ）当时，如图，过点作于点，
则，，，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
；
（Ⅲ）当时，如图，
则，
，
，
，
，
，
，
解得：，
．
当时，同理可得，
，
综上，当或1或或时，为等腰三角形．
【点评】本题主要考查矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，解题关键是：（1）①熟练掌握等腰三角形的判定与性质；②利用相似三角形性质和锐角三角函数推出；（2）利用分类讨论和数形结合思想解决问题．
4．（2023•濮阳县模拟）在等腰直角三角形中，，，点为直线上一个动点，绕点将射线逆时针旋转，交直线于点．
在图1中，将绕点逆时针旋转得到，连接，
，，
，
又，，
．
请阅读上述过程，并完成以下问题：
（1）得出的依据是 ② （填序号）．
①
②
③
④
（2）在以上条件下，如图2，当点在线段的延长线上时，求证：．
（3）在等边三角形中，，点为射线上一个动点，将射线绕点逆时针旋转交直线于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，当为直角三角形时，请直接写出的长．
【分析】（1）根据判定的条件看判定的依据是什么即可做出选择；
（2）将绕点逆时针旋转得到，连接，根据旋转的性质得到，，，然后推出判定的条件，得到，在中推出，根据勾股定理得到等式，再代换即可得证；
（3）当点在线段上时，不可能是直角三角形，当点在线段延长线上时，分和两种情况，根据旋转的性质和直角三角形的性质以及全等三角形的性质分别进行计算即可求出结果．
【解答】（1）解：推理过程中判定的条件是两边和夹角对应相等，
得出的依据是，
故答案为：②；
（2）证明：如图1，将绕点逆时针旋转得到，连接，
，
，
，
，
，
，
又，，
，
，
，，
，
，
，
，
又，，
；
（3）分两种情况：①如图2，当时，
由旋转可知，
又，
，
，，
设，则，，
，
，，
，
，
即的长为；
②如图3，当时，
由旋转可知，
又，
，
，，
设，则，，
，
，
，
；
综上所述，的长为或．
【点评】本题是几何变换综合题，主要考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识点，深入理解题意是解决问题的关键．
5．（2023•武侯区校级模拟）如图，在矩形中，，将线段绕点逆时针旋转度得到线段，过点作的垂线交射线于点，交射线于点．
尝试初探
（1）当点在延长线上运动时，与始终相等，且与始终相似，请说明理由；
深入探究
（2）若，随着线段的旋转，点的位置也随之发生变化，当时，求的值；
拓展延伸
（3）连接，当为等腰三角形时，求的值（用含的代数式表示）．
【分析】（1）由矩形的四个角是直角，又，容易得到结果．
（2）连接，设，，求出，由得到，可求出，得到结果．
（3）分类讨论：①点在延长线上时，作，设，，，由勾股定理求出，，得到结果．②当在上时，设，由，求出，，得出结果．
【解答】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
又，
，
．
（2）解：，，
，
四边形是矩形，
，，，
，
设，
则，，，
连接，
由勾股定理得，
，
，
，
由（1）得，，
，
，
，，
．
（3）解：分两种情况讨论，
①如图2，当在的延长线上时，
过点作于，
，
，
，，
又，
，
，
，
设，则，，
，
由勾股定理得，
，
．
②如图3，当在上时，
设，
则，
由勾股定理得，
，
，
，
，
综上得，或．
【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识是一道综合题，正确分类讨论并画出图形，恰当添加辅助线，灵活运用所学知识是解题关键．
6．（2023•虹口区一模）如图，在中，，，点、分别在边、上，满足．点是延长线上一点，且．
（1）当点是的中点时，求的值；
（2）如果，求的值；
（3）如果是等腰三角形，求的长．
【分析】（1）过点作于点，过点作于点，利用等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，三角形的中位线定理解答即可；
（2）利用等腰三角形的判定与相似三角形的判定与性质解答即可；
（3）利用分类讨论的思想方法分①当时，②当时，③当时三种情形讨论解答：利用等腰三角形的性质，平行线的判定和三角形的内角和定理求得前两种情形不存在，对于③利用等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理和相似三角形的判定与性质解答即可．
【解答】解：（1）过点作于点，过点作于点，如图，
，
，
，，
．
．
．
，，
，
是的中点，
是的中位线，
，，
．
在中，
；
（2），
．
，
，
．
，
．
，，
，
．
，，
，
，
；
（3）如果是等腰三角形，
①当时，
则．
，
，
，这与已知条件不符，
此种情况不存在；
②当时，
则，
，
，
，
，
，
，
，
为钝角，
此种情况不存在；
③当时，
过点作于点，如图，
由题意得：，
，
，
，
．
．
，，
，
，
，
．
由（1）知：，
，
．
．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，三角形的内角和定理，相似三角形的判定与性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．
7．（2023•文成县一模）如图，点，分别为矩形边，上的点，以为直径作交于点，且与相切，连结．
（1）若，求证：．
（2）若，．
①求的长．
②连结，若是以为腰的等腰三角形，求所有满足条件的的长．
（3）连结，若的延长线经过点，且，求的值．
【分析】（1）利用圆周角定理和全等三角形的判定定理解答即可；
（2）①利用切线的性质定理，矩形的性质和相似三角形的判定与性质，通过证明得到，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论；
②利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：Ⅰ．当时，利用全等三角形的判定与性质得到，设，则，则，利用勾股定理列出方程解答即可；Ⅱ．当时，利用相似三角形的判定得到，进而得到，再利用（2）①的结论，利用勾股定理解答即可得出结论；
（3）利用全等三角形的判定定理证明得到和，得到，利用三角形的中位线得到，设，则，则，取的中点，连接，利用梯形的中位线定理得到，最后利用相似三角形的判定定理得到，由相似三角形的性质即可得出结论．
【解答】（1）证明：为直径，
．
在和中，
，
和；
（2）解：①与相切，
，
，
．
四边形为矩形，
，
，
，
，
，
．
在中，
，
，
；
②若是以为腰的等腰三角形，
Ⅰ．当时，
，
，
，
．
，
．
在和中，
，
，
．
设，则，
，
，
，
解得：，
；
Ⅱ．当时，
，
．
．
．
，，
，
，
，
．
由（2）知：，
，
，
．
综上，若是以为腰的等腰三角形，满足条件的的长为或；
（3）解：为圆的直径，
．
在和中，
，
，
，．
，，
．
在和中，
，
，
，，
，
．
，
．
为的中位线，
，
．
设，则，
．
取的中点，连接，如图，
则为梯形的中位线，
．
，
．
，
，
，
．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质三角形的中位线定理，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．
8．（2023•涪城区模拟）如图，已知：在中，，点是边上的动点，交于，以为直径的分别交，于点，．
（1）求证：．
（2）若，．
①当，求的长．
②当为等腰三角形时，请求出所有满足条件的的腰长．
（3）若，且，，在一条直线上，则与的比值为 ．
【分析】（1）利用切线的判定定理与弦切角定理解答即可；
（2）①利用直角三角形的边角关系解答即可；
②利用分类讨论的方法分三种情况讨论解答：当时，通过证明，利用直角三角形的边角关系解答即可；当时，利用垂径定理和直角三角形的边角关系解答即可；当时，利用等腰三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系和勾股定理解答即可；
（3）画出符合题意的图形，通过证明，得出比例式，利用等腰直角三角形的判定与性质，通过等量代换得到关于与的一元二次方程，解方程即可得出结论．
【解答】（1）证明：为的直径，，
为的切线，
；
（2）解：①，，
，
．
．
，，
．
，
；
②当时，
，
，
，
．
为的直径，
．
，
在和中，
，
，
．
，
，
；
当时，
，
，
为的直径，
，
，
．
，
，
．
，，
，
，
．
．
．
．
，
；
当时，
，
．
，，
，
．
．
，
，
．
设，
，
．
，
．
．
，
．
．
．
．
综上，当为等腰三角形时，满足条件的的腰长为或或．
（3）解：当，，在一条直线上时，
为的直径，
，
，
，
．
，
．
，
．
，
．
，．
．
，
．
解得：或（不合题意，舍去）．
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定与性质，弦切角定理，求得三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，特殊角的三角函数值，一元二次方程的解法，勾股定理，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．
9．（2023•河南模拟）如图所示，在中，，点为射线上一动点，作，过点作，交于点，连接．（点、在的两侧）
【问题发现】
（1）如图1所示，若时，、的数量关系为 ，直线、的夹角为 ；
【类比探究】
（2）如图2所示，若时，（1）中的结论是否成立，请说明理由；
【拓展延伸】
（3）若，，且是以为腰的等腰三角形时，请直接写出线段的长．
【分析】（1）证，由全等三角形的性质得，，即可解决问题；
（2）证，由相似三角形的性质得，再证，得，即可得出结论；
（3）分两种情况，①当时，②当时，由直角三角形的性质及相似三角形的性质分别求出的长即可．
【解答】解：（1），，
是等腰直角三角形，
，，
同理：，，
，
，
即，
，
，，
，
故答案为：，；
（2）不成立，，理由如下：
，，
，
又，
，
，
又，
，
即，
，
，
在中，，
，
；
（3），，
，，，
分两种情况：
①如图3，当时，
同（2）可知，，
，
；
②如图4，当时，
则，
，，
，
，
，
，
，
，
同（2）可知，，
，
即，
解得：；
综上所述，的长为或3．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
题型二：直角三角形中的分类讨论思想
1．（2022•大连模拟）如图，中，，，，点在边上，过点作的垂线与边或相交于点，将点绕点顺时针旋转得点，过点作的垂线与边或相交于点．设的长为，四边形的面积为．
（1）求的长；
（2）求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．
【分析】（1）根据勾股定理求解即可．
（2）根据正切函数可知，，分点，在线段上，点在上，点在上，或者点，都在线段上三种情况分析，再分别表示出，，，根据梯形面积公式即可求解．
【解答】解：（1）在中，，，．
根据勾股定理得，，
．
（2）当点，在边上时，如图所示；
在中，，
，．
又于点，
．
在中，，
．
．
．
于点，
，
在中，，
．
当点落在点时，，
即，
解得，
当时，
．
当点落在上，点落在上时，如图所示；
．
在中，．
．
当点落在点时，．
即，
解得．
当时，
．
当点，落在上时，如图所示；
，
，，．
，
，
即．
在中，，
．
当，
．
综上所述：
【点评】本题主要考查勾股定理，解直角三角形，求函数关系式相关知识点，分类讨论是解决本题的关键．
2．（2022•莲池区校级二模）如图，中，，，．动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿方向绕行一周，与垂直的动直线从开始．以每秒1个单位长度的速度向右平移，分别交，于，两点．当点运动到点时，直线也停止运动，设点的运动时间为秒．
（1）当点在上运动时，过点作于，
①当时，求证：；
②设的面积为，用含的代数式表示，并求当为何值时，有最大值；
（2）当直线等分的面积时求的值，并判断此时点落在的哪条边上；
（3）直接写出时的值．
【分析】（1）①由，，，即可证明；
②由，可得，求出，则，再由求的最大值即可；
（2）分别求出，，再由题意可得，求出的值即可；
（3）分两种情况讨论：当点在上时，过点作交于，由，可得方程，解得；当点在上时，过点作交于，由，可得方程，解得．
【解答】（1）①证明：，
，
，
，
，
；
②解：点在上运动，，
，
由题意可知，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
时，有最大值；
（2）解：由②可知，，，
，，
直线等分的面积，
，
解得或，
，
，
，
点在边上；
（3）解：当点在上时，，
过点作交于，
，
，
，
，
解得；
当点在上时，过点作交于，
，
，
，
，
，
，
解得；
综上所述：的值为或．
【点评】本题是三角形的综合题，熟练掌握直角三角形的性质，平行线的性质是解题是关键．
3．（2022•济南二模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点坐标为，四边形为平行四边形，反比例函数的图象经过点，与边交于点，若，．
（1）求反比例函数解析式；
（2）点是轴上一动点，求最大时的值；
（3）连接，在反比例函数图象上是否存在点，平面内是否存在点，使得四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先确定出，即可得出点坐标，最后用待定系数法即可得出结论；
（2）先求出解析式，由平行四边形的性质可得，，，利用待定系数法可求解析式，求出点的坐标，再根据三角形关系可得出当点，，三点共线时，最大，求出直线的解析式，令即可求解；
（3）若四边形为矩形，则是直角三角形且为一条直角边，根据直角顶点需要分两种情况，画出图形分别求解即可．
【解答】解：（1）如图，过点作轴于，
，
，
，
，
，
，
点在反比例函数图象上，
，
反比例函数解析式为；
（2）点，点，
解析式为：，
四边形是平行四边形，
，，，
点，
设解析式为：，
，
，
解析式为：，
联立方程组可得：，
或（舍去），
点；
在中，，则当点，，三点共线时，，此时，取得最大值，
由（1）知，，设直线的解析式为：，
，解得，
直线的解析式为：，
令，即，得，
最大时的值为6．
（3）存在，理由如下：
若四边形为矩形，则是直角三角形，
则①当点为直角顶点时，如图2，过点作的垂线与交于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为点，，
由“一线三等角”模型可得，
则，
，，
，，
，即，
设，则，
，
点在反比例函数的图象上，
则，
解得，（负值舍去），
，；
②当点为直角顶点时，这种情况不成立；
综上，点的坐标为，．
【点评】本题考查了反比例函数综合问题，涉及矩形的判定与性质，相似三角形的性质与判定．第一问的关键是求出点的坐标，第二问的关键是知道当点，，三点共线时，取得最大值，第三问的关键是利用矩形的内角是直角进行分类讨论，利用相似三角形的性质建立等式．
4．（2022•海口模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点从点出发，在线段上以每秒3个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设的面积为，点运动时间为秒，试求与的函数关系，并求的最大值；
（3）在点运动过程中，是否存在某一时刻，使为直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把点、的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数、的解析式，通过解方程组求得它们的值；
（2）设运动时间为秒，利用三角形的面积公式列出与的函数关系式，利用二次函数的图象性质进行解答；
（3）分当和两种情况，据余弦函数，可得关于的方程，解方程，可得答案．
【解答】解：（1）把点、点分别代入得：
，
解得，
所以该抛物线的解析式为：；
（2）设运动时间为秒，则，，
，
由题意得，点的坐标为，
在中，，
如图，过点作于点，
，
，
，即，
，
，
，，、中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，
当存在时，，
当时，，
答：运动1秒使的面积最大，最大面积是；
（3）存在，理由：如图，在中，，
设运动时间为秒，则，，，
当时，，即，
化简，得：，
解得：；
当时，，
（即在图中，当时，
化简，得：，
解得，
综上所述：或时，为直角三角形．
【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法，解题关键是在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围．
5．（2023•乳山市二模）过四边形的顶点作射线，为射线上一点，连接．将绕点顺时针方向旋转至，记旋转角，连接．
（1）【探究发现】如图1，数学兴趣小组探究发现，如果四边形是正方形，且．无论点在何处，总有，请证明这个结论．
（2）【类比迁移】如图2，如果四边形是菱形，，，连接．当，时，求的长；
（3）【拓展应用】如图3，如果四边形是矩形，，，平分，．在射线上截取，使得．当是直角三角形时，请直接写出的长．
【分析】（1）利用正方形性质和旋转变换证明，即可证得结论；
（2）如图2，过点作于点，连接，先证明，可得，，再证明：是等边三角形，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，利用解直角三角形即可求得答案；
（3）分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求出的长．
【解答】（1）证明：如图1，四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
将绕点顺时针方向旋转至，
，
，
．
（2）解：如图2，过点作于点，连接，
四边形是菱形，
，
由旋转得：，
，
即，
，
，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：①当时，如图3，连接，，过点作于点，
设交于点，过点作于点，
四边形是矩形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，即，
平分，，，
，
在中，，
，
，
，
，
，，
在中，，
，，
，
，即，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②当时，如图4，过点作于点，于点，
则，，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
在中，，
，
解得：；
③当时，
由②知：，，，
，
，
解得：或，均不符合题意；
综上所述，的长为或．
【点评】本题考查了正方形和菱形的性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形性质，等腰直角三角形的判定和性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用前面所学的知识解答后面的题目，运用分类讨论思想和数形结合思想，具有很强的综合性，是中考常考题型．
题型三：不等式（组）中的分类讨论思想
1．（2023•淄博）某古镇为发展旅游产业，吸引更多的游客前往游览，助力乡村振兴，决定在“五一”期间对团队旅游实行门票特价优惠活动，价格如下表：
题中的团队人数均不少于10人．
现有甲、乙两个团队共102人，计划利用“五一”假期到该古镇旅游，其中甲团队不足50人，乙团队多于50人．
（1）如果两个团队分别购票，一共应付5580元，问甲、乙团队各有多少人？
（2）如果两个团队联合起来作为一个“大团队”购票，比两个团队各自购票节省的费用不少于1200元，问甲团队最少多少人？
【分析】（1）设甲团队有人，乙团队人，但需要考虑乙团队人数是否大于100，所以分类讨论即可．甲团队按票价是每人80元，乙团队按票价是每人60元，如果乙超过100人，大概需要缴纳4000多元，但是5580元减去4000多元，剩下的钱不足以构成甲的人数，因为此时甲的人数只能是1人，所以这种情况省略；所以甲人数在50以下，乙人数在51到100之间，联列方程即可；
（2）两个团队要合起来购票的话，每人40元，列出一共购票的钱和各自购票的钱之和，然后建立不等式即可求解；
【解答】解：（1）设甲人数人，乙人数人；
当乙大于100人时，此时甲人数只能是1人，共花的价格不够5580元；
乙人数在51到100之间，甲人数在10到50之间；
列方程得：；
解之得：，；
甲48人，乙54人；
答：甲团队48人，乙团队54人．
（2）设甲人数人，乙人数人；
甲乙一起买价格：（元；
甲乙分开买价格：；
；
解之得：．
甲最少18人；
答：甲团队最少18人．
【点评】本题考查学生不等式的基本应用，属于基础题．
2．（2021•商河县校级模拟）阅读下面材料，根据要求解答问题：求不等式的解集．
解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：①或②
解不等式组①得：．解不等式组②得．
不等式的解集为或．
请你仿照上述方法解决下列问题：
（1）求不等式的解集．
（2）求不等式的解集．
【分析】（1）将不等式转换为两个不等式组①或②，分别求解；
（2）将不等式转换为两个不等式①或②，分别求解；
【解答】解：（1）可得：
①或②，
解不等式①得：无解；
解不等式组②得：；
不等式的解集为：；
（2）可得：
①或②，
解不等式①得：；
解不等式组②得：；
不等式的解集为：或；
【点评】本题考查二元一次不等式的解法；能够将二元一次不等式转化为一元一次不等式组是解题的关键．
3．（2024•江门校级一模）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式．
解：，
可化为，．
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得
①，②，
解不等式组①，得，解不等式组②，得，
的解集为或，即一元二次不等式的解集为或．
（1）一元二次不等式的解集为 或 ；
（2）分式不等式的解集为 ；
（3）解一元二次不等式．
【分析】（1）先把不等式的左边分解因式，然后根据”两数相乘，同号相乘得正“得两个不等式组，解各个不等式组即可；
（2）根据“两数相除，同号得正”得两个不等式组，解各个不等式组即可；
（3）把不等式的左边分解因式，根据据”两数相乘，异号相乘得负“得两个不等式组，解各个不等式组即可．
【解答】解：（1），
，
，
解不等式组①得：，
解不等式②得：，
一元二次不等式的解集为：或，
故答案为：或；
（2），
，
解不等式组①得：，
解不等式组②得：，
分式不等式的解集为：或，
故答案为：或；
（3），
，
，
不等式组①得：，
解不等式组②无解，
不等式的解集为：．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握把特殊不等式转化成一元一次不等式组的方法和技巧．
4．（2022•泰安三模）某公司推出一款桔子味饮料和一款荔枝味饮料，桔子味饮料每瓶售价是荔枝味饮料每瓶售价的倍．4月份桔子味饮料和荔枝味饮料总销售60000瓶，桔子味饮料销售额为250000元，荔枝味饮料销售额为280000元．
（1）求每瓶桔子味饮料和每瓶荔枝味饮料的售价；
（2）五一期间，该公司提供这两款饮料12000瓶促销活动，考虑荔枝味饮料比较受欢迎，因此要求荔枝味饮料的销量不少于桔子味饮料销量的；不多于桔子味饮料的2倍．桔子味饮料每瓶7折销售，荔枝味饮料每瓶降价2元销售，问：该公司销售多少瓶荔枝味饮料使得总销售额最大？最大销售额是多少元？
【分析】（1）根据题意找到等量关系，根据等量关系列分式方程求解即可．
（2）根据题意找不等关系列出不等式组，求出解集，再列出销售数量与销售额的函数关系，在求出的解集的范围内求销售额的最大值即可．
【解答】解：（1）设每瓶荔枝味饮料的售价为元，则每瓶桔子味饮料的售价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：每瓶桔子味饮料的售价为10元，每瓶荔枝味饮料的售价为8元．
（2）设销售荔枝味饮料瓶，则销售桔子味饮料瓶，
根据题意得：，
解得：，
设总销售额元，则，
是的一次函数，且，
当时，销售额最大，最大值是76800元．
【点评】本题考查了分式方程的应用、不等式组的应用和一次函数求最值的应用问题，能找出等量关系和不等关系，列出分式方程和不等式组是出本题的关键．
题型四:方程（组）和函数中的分类讨论思想
1．（2024•钟楼区校级模拟）共享电动车是一种新理念下的交通工具；主要面向的出行市场，现有，两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费（元与骑行时间之间的对应关系，其中品牌收费方式对应，品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）说出图中函数、的图象交点表示的实际意义；
（2）求、关于的函数解析式；
（3）①如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为那么小明选择 品牌共享电动车更省钱？（填“”或“”
②当为何值时，两种品牌共享电动车收费相差3元？
【分析】（1）根据函数图象可得交点的坐标，结合，所表示的实际意义即可解答；
（2）利用待定系数法即可求解，注意为分段函数；
（3）①先根据“时间路程速度”求出小明从家骑行到工厂所需时间，再分别求出选择和品牌共享电动车所需费用，比较即可求解；
②分两种情况讨论：当时，；当时，或．以此列出方程，求解即可．
【解答】解：（1）由图象可得，，
交点表示的实际意义是：当骑行时间为时，，两种品牌的共享电动车收费都为8元；
（2）设，
将点代入得，，
解得：，
，
由图象可知，当时，，
设当时，，
将点，代入得，，
解得：，
当时，，
；
（3）①小明从家骑行到工厂所需时间为，
品牌所需费用为（元，
品牌所需费用为（元，
，
选择品牌共享电动车更省钱；
故答案为：；
②当时，，
，
解得：，
当时，或，
或，
解得：（舍去）或，
综上，当的值为7.5或35时，两种品牌共享电动车收费相差3元．
【点评】本题主要考查一次函数的应用、用待定系数法求一次函数解析式、解一元一次方程，利用待定系数法正确求出函数解析式，并学会利用分类讨论思想解决问题．
2．（2023•西华县三模）如图1，抛物线与轴交于、两点（点在点左边），与轴交于点．直线经过、两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是抛物线上的一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及轴分别交于点、．设．
①点在抛物线上运动，若点恰为线段 的中点，求此时的值；
②当点在抛物线上运动时，是否存在一点，使．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先利用直线求出、两点坐标，再利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）①对点的位置进行分类，一类在点下方，一类在点上方，列方程解答；
②根据条件，对点的位置进行分类，将几何代数化，列方程解答．
【解答】解：（1）在中，当时，，
，
令，则，
，
，将点，的坐标代入抛物线中，得
，
，
抛物线的解析式为．
（2）① 轴，，
，，，
Ⅰ、当点在点下方时，有，
或，
当时，点，，三点重合，舍去，
．
Ⅱ、当点在点上方时，有，
或，
当时，点，，三点重合，舍去；当时，点在点下方，舍去．
综上所述：当时，点恰为线段的中点．
②当在第四象限时：
在中，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
（舍或，
．
当在第一象限时：
，，
，
，
设，则，
在中，，
，
，
，，
设直线的表达式为，代入，得，
，
，
（舍或，
将代入得，
点坐标为，．
综上，或，．
【点评】本题考查了一次函数和二次函数的综合应用，将几何代数化，利用方程解决，还涉及了分类和数形结合的思想，关键是让点动起来，分类时不要漏情况．
3．（2023•池州三模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上．
（1）若，，求抛物线的解析式；
（2）已知点，在该抛物线上，且．
①比较，，0的大小，并说明理由；
②将线段沿水平方向平移得到线段，若线段与抛物线有交点，直接写出点的横坐标的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）①利用分类讨论的方法分和两种情形讨论解答：分别求得抛物线对称轴，利用抛物线的对称性和二次函数性质，数形结合的思想方法解答即可；
②结合函数的图象利用平移的性质分别求得的横坐标的最小值与最大值即可得出结论．
【解答】解：（1），，
点和点在抛物线上．
，
解得：，
抛物线的解析式为．
（2）①，
或．
当时，
抛物线的开口方向向下，经过，，
抛物线的对称轴为，
为抛物线的顶点，
为函数的最大值且大于0，
点在轴上，
点在轴的下方，
，
，，0的大小关系为：；
当时，
抛物线的开口方向向下，经过，，
抛物线的对称轴为，
当时，随增大而增大，
由抛物线性质可知：在抛物线上，
，
，
综上，当时，，当时，，
②点的横坐标的取值范围为：当时，，当时，．理由：
由①可知：当时，抛物线的对称轴为，此时向右平移到相切时是最大值，
把，代入可得：，则，，
抛物线解析式可简化为，经过，的直线解析式为，
设平移后解析式为，
直线与抛物线相切时得：
，
整理得：，令△，
则，
解得：，
所以最大值为，
即时，的横坐标的取值范围为：．
由①可知：当时，抛物线的对称轴为，
点，关于对称轴对称的点的坐标为，，
将线段沿水平方向向左平移至与重合时，线段与抛物线有交点，再向左平移就没有交点了，而由平移到平移了2个单位，
的横坐标的最小值为，
将线段沿水平方向向右平移至与重合时，线段与抛物线有交点，再向右平移就没有交点了，而由平移到平移了4个单位，
的横坐标的最大值为，
即时，的横坐标的取值范围为：．
综上，点的横坐标的取值范围为：当时，，当时，．
【点评】本题考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，平移的点坐标的特征，数形结合法，利用待定系数法和数形结合法解答是解题关键．
4．（2023•河北模拟）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴相交于、两点点在点的右侧）．
（1）判断点是否在抛物线上，并说明理由；
（2）若点到轴的距离为5，求的值；
（3）若线段的长小于等于4，求的取值范围．
【分析】（1）将点代入抛物线进行验证即可；
（2）将已知抛物线解析式利用配方法转化为顶点式，求得顶点坐标；然后由“点到轴的距离为5”列出方程并解答；
（3）分和两种情况下求得线段的长度，结合“线段的长小于等于4”列出不等式并求得的取值范围．
【解答】解：（1）点在抛物线上，
当时，，
点在抛物线上；
（2），点到轴的距离为5，
当时，，
解得，；
当时，，
解得，；
综上所述，的值为或；
（3）①当时，抛物线开口向下．
由（1）知，抛物线与轴的交点为，
抛物线的对称轴为直线，
，，
，
，
此种情况不符合题意；
②当时，抛物线的开口向上，在轴上关于抛物线的对称轴对称且距离为4的两点的坐标为，，
，
当时，，
，
抛物线与轴有两个交点，
，
，
．
综上所述，的取值范围为：．
【点评】本题属于二次函数综合题型，综合考查了二次函数的三种形式，抛物线与轴的交点坐标，两点间的距离公式，二次函数图象上点的坐标特征以及抛物线的轴对称性质，难度不是很大．
5．（2023•盐城二模）已知点，，，在二次函数的图象上，且满足．
（1）如图，若二次函数的图象经过点．
①求这个二次函数的表达式；
②若，此时二次函数图象的顶点为点，求的正切值；
③在、之间的二次函数图象上的最低点的纵坐标为，请直接写出此时点、的坐标；
（2）当时，二次函数的最大值与最小值的差为3，点，在对称轴的异侧，则的取值范围为 ．
【分析】（1）①将点代入二次函数中求出即可．
②根据题意，，关于抛物线的对称轴对称，求出，的坐标，如图，在中，，求出、即可解答．
③根据在、之间的二次函数图象上的最低点的纵坐标为，列出方程，求解，在分，，，在对称轴左右侧两种情况求解即可．
（2）根据二次函数得到顶点坐标，函数最大值为2，结合最大值与最小值的差为3，确定函数的最小值为，根据函数的增减性分类计算即可．
【解答】解：（1）①二次函数的图象经过点，
，
．
二次函数的表达式为：．
答：二次函数的表达式为：．
②，
，关于抛物线的对称轴对称，
对称轴是直线，顶点为，且，
，
，解得，
，，，，
如图，在中，，
，，
，
答：的正切值为．
③在、之间的二次函数图象上的最低点的纵坐标为，
或，
当，在对称轴左侧时，
抛物线随的增大而增大，且，在、之间的二次函数图象上的最低点的纵坐标为，
，，
当时，，
，；
当，在对称轴右侧时，
抛物线随的增大而减小，且，在、之间的二次函数图象上的最低点的纵坐标为，
，，
当时，，
，．
综上，，或，．
答：，或，．
（2）二次函数，顶点为，函数的最大值为2，
当时，如图，
最大值与最小值的差为3，
，
设，的对称点为，，
二次函数的对称轴为直线，
，
，
，，
根据题意得，
解得，
，
，
，
，
解得，
，
解得；
当时，如图，
最大值与最小值的差为3，
，
设，的对称点为，，
二次函数的对称轴为直线，
，
，
，，
根据题意得，
解得，
，
，
，
，
解得，
，
解得；
综上，的取值范围为．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的性质和最值是解题的关键．
6．（2023•锦州）如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，，顶点为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点在第一象限内对称轴右侧的抛物线上，四边形的面积为，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点是对称轴上一点，点是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形，且，如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）把点和点，代入求抛物线的表达式；
（2）将四边形分割，，利用建立方程求点的坐标；
（3）对，，，四个点按顺时针和逆时针排成菱形，分别求解．
【解答】解：（1）抛物线过点和点，，
，
，
抛物线的表达式．
（2）设抛物线的对称轴与轴交于点，过点作轴于点，如图．
设，
，，
，
四边形的面积为，
，
，
，
，．
（3）存在点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形，且，满足条件的坐标为，或，．理由如下：
如图，连接，，
四边形是菱形，且，
是等边三角形，
是等边三角形，
，
，
直线的表达式为，
，
，；
如图，连接、、，
四边形是菱形，且，
是等边三角形，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
直线的表达式为，
，
，，
综上，，或，．
【点评】本题考查了二次函数解析式的求法，与四边形面积和菱形结合，对于（2）关键是分割，对于（3）关键是找清分类标准．
7．（2024•肇东市模拟）综合与实践
如图，二次函数的图象与轴交于点和，点的坐标是，与轴交于点．．点在抛物线上运动．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2．当点在第四象限的抛物线上运动时，连接，，，当的面积最大时，求点的坐标及的最大面积；
（3）当点在轴上运动时，借助图1探究以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，并直接写出点的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）连接，过点作于点，设点的坐标为，利用，求得的面积关于的函数关系式，利用配方法和二次函数的性质解答即可；
（3）利用分类讨论的思想方法分两种情形解答：当时，四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质求得线段即可；②当时，四边形为平行四边形时，利用平行四边形的性质求得线段即可求得结论．
【解答】解：（1）由题意得：
，
解得：．
抛物线的表达式为；
（2）连接，过点作于点，如图，
点的坐标是，点．，
，．
点在第四象限的抛物线上，
设点的坐标为，
则，．
，
，
，
当时，的面积最大，最大值为6．
此时点的坐标为；
（3）点的坐标为或或，或，．理由：
①当时，四边形为平行四边形，如图，
轴，
令，则，
解得：或3．
．
．
四边形为平行四边形，
．
．
；
四边形为平行四边形，如图，
同理可得：，
；
②当时，四边形为平行四边形时，如图，
过点作轴于点，
四边形为平行四边形，
，．
．
在和中，
，
．
，．
令，则，
解得：．
，
，．
．
．
，；
如图，
同理可得：，
，．
令，则，
解得：．
，
．
，．
．
．
．
，．
综上，点的坐标为或或，或，．
【点评】本题主要考查了待定系数法确定二次函数的解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，抛物线上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
8．（2023•扶余市二模）如图，抛物线与轴交于点，，顶点为．
（1）求该抛物线的解析式，并直接写出点的坐标；
（2）如图，把原抛物线轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，将翻折得到的部分与原抛物线轴上方的部分记作图形，在图形中，回答：
①点，之间的函数图象所对应的函数解析式为 ；
②当时，求的取值范围；
③当，且时，若最高点与最低点的纵坐标的差为，直接写出的值．
【分析】（1）将，代入，即可求得其解析式和顶点坐标；
（2）根据顶点的变换（关于轴对称）和变换后开口向下，可以写出变换后的函数解析式；
（3）根据二次函数的图象和性质分类讨论进行求解．
【解答】解：（1）将，代入，得：
，
解得：，
抛物线的解析式为：，
，
点的坐标为．
（2）①变换后的顶点为，
，
故答案为：；
②当时，；
当 时，，
的取值范围为；
③当时，得：
，
解得：（舍去），
当时，得：
，
解得：（舍去），；
由，得：
，，
当时，
或，
解得：（舍去），，（舍去），；
当时，
，
解得：（舍去）；
的值为 或 或．
【点评】本题主要考查二次函数解析式的求法及其性质和图象的变换等，综合性较强，数形结合分类讨论是解决问题的关键．
9．（2024•南丹县一模）如图，抛物线与轴交于点，点，点是抛物线的顶点，过点作轴的垂线，垂足为点．
（1）求抛物线所对应的函数解析式；
（2）如图1，点是抛物线上一点，且位于轴上方，横坐标为，连接，
若，求的值；
（3）如图2，将抛物线平移后得到顶点为的抛物线．点为抛物线上的一个动点，过点作轴的平行线，交抛物线于点，过点作轴的平行线，交抛物线于点．当以点，，为顶点的三角形与全等时，请直接写出点的坐标．
【分析】（1）根据、两点的坐标用待定系数法求出解析式；
（2）如图，当点在轴上方时，若，则，先求直线的解析式，由点的坐标可求出直线的解析式，联立直线和抛物线方程可求出点的坐标，当点在轴下方时，由轴对称的性质可求出直线的解析式，同理联立直线和抛物线方程则求出点的坐标；
（3）先求出的解析式，可设出点坐标，表示、坐标及、，根据以，，为顶点的三角形与全等，分类讨论对应边相等的可能性即可求点坐标．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得．
抛物线所对应的函数解析式为；
（2）当时，，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
如答图1，当点在轴上方时，
，
，
设直线的解析式为，
直线经过点，
，
解得：，
直线的解析式为，
，
解得：，（舍去），
，
综合以上可得的值为；
（3）抛物线平移后得到，且顶点为，
，
即．
设，则，
，
①如答图2，当在点上方时，
，，
与全等，
当且时，，
，，
当且时，无解；
②如答图3，当点在点下方时，
同理：，，，
，
则，．
综合可得点坐标为或．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质、待定系数法求函数的解析式，三角形全等的判定，应用了数形结合和分类讨论的数学思想．
10．（2022•长春二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点为，过点作直线垂直于轴．
（1）求抛物线的对称轴（用含的式子表示）；
（2）将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，组成图形，点，，，为图形上任意两点．
①当时，若，判断与的大小关系，并说明理由；
②若对于，，都有，求的取值范围；
（3）当图象与直线恰好有3个公共点时，直接写出的取值范围．
【分析】（1）直接利用对称轴公式即可求出；
（2）①利用图象法，根据函数的增减性判断即可；
②通过计算可知，点、、为抛物线上关于对用轴对称的两点，分类讨论当变化时，轴与点、的相对位置：当轴在点左侧时（含点，作出图形，即可得出经翻折后，得到点，的纵坐标相同，此时，不符题意；当轴在点右侧时（含点，作出图形，即可得出点、分别和点、重合，此时，不符题意；当轴在点、之间时（不含、，作出图形，即可得出经翻折后，点在下方，点、重合，在上方，此时，符合题意，即有．即；
（3）当时，图象与直线恰好有3个公共点时，可列不等式组，当时，图象与直线恰好有3个公共点时，可列不等式组，分别解出即可得到结果．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线；
（2）①当时，二次函数解析式是，对称轴为轴，
图形如图1所示：
：图形上的点的横纵坐标和，满足随的增大而减小，
，
；
②通过计算可得，，为抛物线上关于对称轴对称的两点，
下面讨论当变化时，轴与点、的相对位置：
如图2所示：当轴在点左侧时（含点，
经翻折后，得到点、的纵坐标相同，，不符合题意；
如图3所示：当轴在点右侧时（含点，
点，分别和点、重合，，不符合题意；
如图4所示：当轴在点、之间时（不含、，
经翻折后，点在下方，点、重合，在上方，，符合题意，
此时有，
，
综上所述：的取值范围为；
（3）当时，如图所示
抛物线翻折后，
图象与直线：恰好有3个公共点在点、之间，
，
解得；
当时，如图所示，
图象与直线恰好有3个公共点时，
，
解得：．
综上所述，的取值范围为：或．
【点评】本题为二次函数综合题，考查抛物线的对称轴，二次函数图象的性质等知识，较难，利用数形结合与分类讨论的思想是解答本题的关键．
题型五：圆中的分类讨论思想
1．（2023•花都区一模）如图1，已知，在射线、上分别截取点、，使．
（1）求证：；
（2）如图2，以为直径在的上方作一个半圆，点为半圆上的一个动点，连接交于点．
①当时，求的长．
②在线段上取一点，连接交于点，若，当点在半圆上从点运动到点时，求点经过的路径长．
【分析】（1）证明是等边三角形即可得到结果．
（2）连接，则，，先求出，再利用勾股定理即可求出．
（3）分类讨论：当时，证明得到，点在边的中垂线上，求出的高即可．②当时，，此时点经过的路径为图中以为弦的弧长，求出弧的圆心角，半径，再求出弧长即可．
【解答】（1）证明：，，
是等边三角形，
．
（2）解：如图2，连接，
，
，
是等边三角形，
，，
，
点为半圆上的一个动点，
，
，
，
．
（3）解：是等边三角形，
，，
①如图3，当时，
，，
，
，
，
点在边的中垂线上，
此时点经过的路径为．
②如图4，时，即时，
，，
，
，
此时点经过的路径为图中以为弦的弧长，
最高点在边中垂线上，线段的处．
．
设弦所在圆的半径为，由垂径定理得，
，
解得，，
弦所对的圆心角为
弧的长．
综上得，点经过的路径长为或．
【点评】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，弧长计算公式等知识，合理进行分类讨论，准确找到点的运动轨迹是解题关键．
2．（2023•裕华区二模）如图1，平行四边形中，，，，点在延长线上且，为半圆的直径且，，如图2，点从点处沿方向运动，带动半圆向左平移，每秒个单位长度，当点与点重合时停止平移，如图3，停止平移后半圆立即绕点逆时针旋转，每秒转动，点落在直线上时，停止运动，运动时间为秒．
（1）如图1， 12 ；
（2）如图2，当半圆与边相切于点，求的长；
（3）如图3，当半圆过点，与边交于点，
①求平移和旋转过程中扫过的面积；
②求的长；
（4）直接写出半圆与平行四边形的边相切时的值．（参考数据：，
【分析】（1）连接，根据勾股定理可表示出，代入求解即可．
（2）连接、，根据角平分线的定理可得是的角平分线，根据平行线的性质求出，根据度角的直角三角形的性质及勾股定理即可求解．
（3）①作辅助线，根据度角的直角三角形的性质，即可求出平移中的面积；根据勾股定理及全等三角形的性质与判定，即可求出旋转中的面积．
②作辅助线，结合①，根据锐角三角函数求出，，即可求解．
（4）分类讨论：当半圆与边相切于点时；当半圆与边相切时，即点与点重合；当半圆与边相切于点时，根据旋转的角求解即可．
【解答】（1）如图，连接，
在中，，
，
，
故答案为：12．
（2）如图，连接，，
半圆与边相切于点，，
，，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
在中，，
．
答：的长为．
（3）①如图，连接，，过点作于点，
由题意可知，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在平移中：，
．
在旋转中：，
．
答：平移过程中扫过的面积为，旋转过程中扫过的面积为．
②如图，过点作于点，
由①可得，，
，，
，，
，
即，
解得，
，
．
答：的长为．
（4）当半圆与边相切于点时，；
当半圆与边相切时，即点与点重合，
此时，
；
当半圆与边相切于点时，如图，
，，
点到直线的距离为，
即此时点与点重合，，
，
，
，
综上，的值为1或2或14．
【点评】本题考查了圆的综合应用，熟练掌握勾股定理及锐角三角函数的性质是解题的关键．
3．（2022•顺平县二模）如图1，将半径为2的剪掉一个的扇形之后，得到扇形，将扇形放置在数轴上，使点与原点重合且垂直于数轴，然后将图形沿数轴正方向滚动，直至点落在数轴上时停止滚动．记优弧与数轴的切点为点．过点作直线平行于数轴，当与弧有两个公共点时，记另一个公共点为点，将直线绕点顺时针旋转，得到直线，交数轴于点．
（1）当点落在数轴上时，其对应数轴上的实数为 ；
（2）当直线经过圆心时，线段的长度为 ；
（3）当与扇形所在圆相切于圆的左侧时，求弦的长及点对应数轴上的实数；
（4）直接写出整个运动过程中长度的最大值．
【分析】（1）利用圆的弧长公式计算优弧的长即可得出结论；
（2）利用分类讨论的思想方法分两种情况解答：①当点在点的右侧时，连接，过点作于点，利用矩形的性质和直角三角形的边角关系定理解答即可；②当点在点的右侧时，连接，过点作于点，利用①的方法解答即可；
（3）连接，，与交于点，过点作于点，利用切线的性质定理与已知条件求得为圆的直径，连接，利用圆周角定理和直角三角形的边角关系定理即可求得的长；利用圆的弧长公式求出点对应的数值，再利用矩形的判定与性质，垂径定理和直角三角形的边角关系定理求得的长，则点对应数轴上的实数为点对应的数值；
（4）整个运动过程中当与相切于圆的右侧时，的长度最大，连接并延长交于点，过点作于点，利用的性质定理，垂径定理和矩形的判定与性质解答即可．
【解答】解：（1）将半径为2的剪掉一个的扇形之后，得到扇形，
优弧的所对的圆心角的度数为，
优弧的长，
点与原点重合且垂直于数轴，
点落在数轴上时，其对应数轴上的实数为，
故答案为：；
（2）①当点在点的右侧时，
连接，过点作于点，如图，
优弧与数轴的切点为点，
，
，，
四边形为矩形，
，，．
．
，
；
②当点在点的右侧时，
连接，过点作于点，如图，
优弧与数轴的切点为点，
，
，，
四边形为矩形，
，
，
，
；
综上，直线经过圆心时，线段的长度为或，
故答案为：或；
（3）连接，，与交于点，过点作于点，如图，
当与扇形所在圆相切，
，
．
，
．
，
，
，
，
为的直径，
连接，
，
．
优弧与数轴的切点为点，
，
，
，
．
，
．
，，，
四边形为矩形，
，．
，，
，
，
．
所对的圆心角为，
的长为，
点对应的实数为，
点对应数轴上的实数为；
（4）整个运动过程中当与相切于圆的右侧时，的长度最大，如图，
连接并延长交于点，过点作于点，
优弧与数轴的切点为点，
，，，
四边形为矩形，
，，．
．
连接，
与扇形所在圆相切，
，
．
，
．
，，
，．
．
，
．
，
的最大值．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，圆周角定理，垂径定理，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
4．（2022•永嘉县三模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，，以为直径构造圆，点在运动，点在上，交于点，且．
（1）求的长．
（2）求证：．
（3），交圆于另一点，连结．若为等腰三角形，求所有满足条件的点的坐标．
【分析】（1）求出点的坐标即可得到的长；
（2）连结，，证明，即可得到结论；
（3）分三种情况：①当时，设，则，在中，利用勾股定理列出关于的方程，解方程即可求得结论；②当时，设圆心为，交于点，延长交于点，设，则，在中，利用勾股定理列出关于的方程，解方程即可求得结论；③当，设圆心为，作于点，，垂足为，于，延长交于点，连接，利用勾股定理，直角三角形的边角关系定理，矩形的判定与性质和相似三角形的判定与性质求得线段，则结论可求．
【解答】（1）解：对于，令，
则得：，
解得：，
，
，
，
；
（2）证明：连结，，如图，
，都是所对的圆周角，
．
，
，
．
在和中，
．
；
（3）解：①当时，如图，
则，
，
四边形为矩形，
又，
点，重合，
设，则，
对于，
令，则得：，
，
．
在中，由勾股定理得：
，
解得：．
；
②当时，如图，
设圆心为，交于点，延长交于点，
，
，
，
，
，
，
是的中位线，
，
，
，
，，
设，则，
在中，由勾股定理得：
，
解得：，
；
③当时，设圆心为，作于点，，垂足为，于，延长交于点，连接，如图，
则，
，
，
，
，
．
，
，
，
．
，，，
四边形为矩形，
，
，，
，
，
．
，
．
综上，满足条件的点的坐标为：或或．
【点评】此题考查了圆与一次函数的综合题，求一次函数与坐标轴的交点，圆的垂径定理，勾股定理，锐角三角函数，等腰三角形的定义，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键．
5．（2022•温州模拟）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以为直径的与轴的正半轴交于点．点是劣弧上的一动点．
（1）求的值．
（2）当中有一边是的两倍时，求相应的长．
（3）如图2，以为边向上作等边，线段分别交和于点，．连结，．点在运动过程中，与存在一定的数量关系．
【探究】当点与点重合时，求的值；
【探究二】猜想：当点与点不重合时，【探究一】的结论是否仍然成立．若成立，给出证明：若不成立，请说明理由．
【分析】（1）利用点的坐标表示出线段，，利用相似三角形的性质和勾股定理求出，，利用直角三角形的边角关系定理即可求得结论；
（2）利用分类讨论的方法分两种情况解答：①当时，利用（1）的结论和勾股定理即可求解；②当时，过点作，交的延长线于点，利用圆内接四边形的性质和直角三角形的性质求得，设，则，，，利用勾股定理在直角中，利用勾股定理列出方程即可求得的值，最后再利用勾股定理即可求得的值；
（3）【探究】利用直角三角形的边角关系定理和勾股定理分别求得线段，，即可得出结论；
【探究二】连接，利用【探究】中的结论，依据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似证明，利用相似三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）点的坐标为，点的坐标为，
，．
．
为的直径，
，
，
．
．
．
．
，．
．
（2）①当时，
由（1）知：，
．
为的直径，
．
；
②当时，
过点作，交的延长线于点，如图，
，
．
．
四边形是圆的内接四边形，
．
．
设，则，，
．
，
．
．
．
．
．
综上，当中有一边是的两倍时，的长为或；
（3）【探究】当点与点重合时，
连接，，如图，
，，
为的垂直平分线．
．
，
．
．
为等边三角形，
．
．
．
；
【探究二】当点与点不重合时，【探究一】的结论仍然成立．理由：
连接，如图，
由以上【探究】可知：，
，，
．
，
．
．
当点与点不重合时，【探究一】的结论仍然成立，．
【点评】本题主要考查了点的坐标的特征，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，特殊角的三角函数值，等腰三角形 的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，分类讨论的思想方法，利用点的坐标表示出相应线段的长度和利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．
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