中考数学一轮复习备考知识清单21 正方形

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正方形的定义及其性质
1.正方形：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
【注意】
（1）正方形必须具备三个条件：①是平行四边形；②有一组邻边相等；③有一个角是直角.这三个条件缺一不可.
（2）正方形的四条边都相等，说明正方形时特殊的菱形；正方形的各个角都是直角，说明正方形时特殊的矩形.即正方形不仅是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形和菱形.
2.正方形的性质
正方形具有平行四边形、矩形和菱形的所有性质.
【注意】
（1）矩形、菱形，正方形都是特殊的平行四边形，它们之间的关系如图所示.
（2）正方形的面积=边长的平方=两条对角线长乘积的一半.
（3）正方形被两条对角线分成四个全等的等腰直角三角形，因此，在正方形中解决问题时常用到等腰三角形和直角三角形的性质.
【辨析】平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质对比
正方形的判定
1.先证明是矩形，再从矩形出发：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；（2）对角线互相垂直的矩形是正方形.
2.先证明是菱形，再从菱形出发：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线相等的菱形是正方形.
【注意】
（1）由上面的判定方法可以得到判定一个四边形为正方形的一般顺序为：先判定四边形是平行四边形，再判定该平行四边形是矩形或菱形，最后判定该矩形或菱形是正方形.
（2）四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的转化关系如图所示.
方法点拨
1.正方形性质的应用问题
正方形既是特殊的平行四边形，又是特殊的矩形、菱形，因此正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.
掌握正方形性质的特殊性，对求与正方形有关角的度数及线段的长度问题非常有用，如正方形对角线与边的夹角为；正方形的一条对角线把正方形分成两个完全相同的等腰直角三角形；两条对角线把正方形分成4个完全相同的等腰直角三角形.
2.正方形的判定问题
判定一个四边形是正方形通常先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等；或者先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角；还可以先判定四边形是平行四边形，再判定这个平行四边形有一个角为直角和一组邻边相等.
元素
性质
边
对边平行，四条边都相等
角
四个角都是直角
对角线
两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
对称性
是轴对称图形，有四条对称轴
类型
平行四边形
矩形
菱形
正方形
边
共性
对边平行且相等
特性
四条边都相等
角
共性
对角相等且邻角互补
特性
四个角都是直角
四个角都是直角
对角线
共性
对角线互相平分
特性
对角线相等
对角线互相垂直
对角线相等且互相垂直
对称性
特性
轴对称图形
2条对称轴
2条对称轴
4条对称轴