新高考数学三轮冲刺临考逐题练习 导数及其切线方程（2份，原卷版+解析版）

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八大常用函数的求导公式
（为常数）
；例：，，，
，，
，，
导数的四则运算
和的导数：
差的导数：
积的导数：（前导后不导前不导后导）
商的导数：，
复合函数的求导公式
函数中，设（内函数），则（外函数）
导数的几何意义
导数的几何意义
导数的几何意义是曲线在某点处切线的斜率
直线的点斜式方程
直线的点斜式方程：已知直线过点，斜率为，则直线的点斜式方程为：
1．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
【答案】
【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.
【详解】∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,
整理得：,
∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,
故答案为：
2．（2022·新高考Ⅱ卷高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
【答案】
【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；
【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求
分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；
解： 因为，
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；
[方法二]：根据函数的对称性，数形结合
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
因为是偶函数，图象为：
所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可.
[方法三]：
因为，
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
故答案为：；.
3．（2021·新高考Ⅰ卷高考真题）函数的最小值为______.
【答案】1
【分析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.
【详解】由题设知：定义域为，
∴当时，，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递增；
又在各分段的界点处连续，
∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；
∴
故答案为：1.
4．（2021·新高考Ⅱ卷高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．
【答案】
【分析】结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，，化简即可得解.
【详解】由题意，，则，
所以点和点，,
所以，
所以，
所以，
同理,
所以.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件，消去一个变量后，运算即可得解.
1．（2023·江苏·二模）已知曲线与在处的切线互相垂直，则 __________
【答案】
【分析】求导得切线斜率，根据切线垂直的斜率关系建立方程即可得解．
【详解】由，得，则曲线在处的切线斜率为，
由，得，则曲线在处的切线斜率为，
则根据题意有 ，
即，
得．
故答案为：.
2．（2023·江苏南通·二模）过点作曲线的切线，写出一条切线的方程_______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】设切点坐标，利用导数求切线斜率，代入点求出未知数即可得到切线方程.
【详解】，，
设切点坐标为，则切线斜率为，得方程，
代入点，得，即，解得或，
当时，切线方程为；当时，切线方程为.
故答案为：（或）.
3．（2023·广东梅州·统考二模）已知函数的图象在处的切线在y轴上的截距为2，则实数____________．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.
【详解】函数，求导得：，，而，
因此函数的图象在处的切线方程为：，
令，得，于是，解得，
所以.
故答案为：
4．（2023·重庆·统考模拟预测）已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线互相垂直，则________．
【答案】
【分析】先利用导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率，进而可对函数求导，然后根据条件列方程求.
【详解】由曲线得，，
曲线在点处的切线斜率为，
曲线得，
由已知可得，
解得.
故答案为：.
5．（2023·辽宁鞍山·校联考一模）若函数的图像在点处的切线方程为，则实数______．
【答案】
【分析】利用导数和切线斜率间的关系求实数的值.
【详解】，则，依题意有，则实数.
故答案为：-2
6．（2023·浙江·统考二模）与曲线和都相切的直线方程为__________.
【答案】
【分析】分别设出直线与两曲线相切的切点，然后表示出直线的方程，再根据切线是同一条直线建立方程求解.
【详解】设直线与曲线相切于点，
因为，所以该直线的方程为，即，
设直线与曲线相切于点，
因为，所以该直线的方程为，即，
所以，解得，
所以该直线的方程为，
故答案为：.
7．（2023·广东汕头·统考一模）已知是定义在上的偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程为______．
【答案】
【分析】根据是定义在上的偶函数，以及当时，等条件求出时，的导数为,进而求出时， ,代入即可求出答案.
【详解】解：由是定义在上的偶函数，
当时，，
可得时，，
所以当时，的导数为，
则曲线在点处的切线的斜率为，切点为，
则切线的方程为，所以
8．（2023·福建莆田·统考二模）直线l经过点，且与曲线相切，写出l的一个方程_______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】先对求导，再假设直线l与的切点为，斜率为，从而得到关于的方程组，解之即可求得直线l的方程.
【详解】因为，
所以，
不妨设直线l与的切点为，斜率为，
则，解得或或，
当时，直线l为；
当时，直线l为，即；
当时，直线l为，即；
综上：直线l的方程为或或.
故答案为：（答案不唯一）.
9．（2023·山东德州·统考一模）过点与曲线相切的直线方程为______．
【答案】
【分析】由导数的几何意义得出切线方程，进而由切点的位置得出，从而得出切线方程.
【详解】设切点坐标为，，.
则切线方程为，因为在切线上，
所以，即
又，所以，
令，，当时，，
所以在上单调递增，
所以方程只有唯一解为.
即切点坐标为，故所求切线方程为，即.
故答案为：
10．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）已知定义在上的函数，，设曲线与在公共点处的切线相同，则实数______．
【答案】5
【分析】由于两曲线与在公共点处的切线相同，设公共点，则，列方程组可求出的值
【详解】解：依题意设曲线与在公共点处的切线相同.
∵，
∴，
∴，即，即
∵，∴，
故答案为：
11．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知直线是曲线与的公切线，则直线与轴的交点坐标为______．
【答案】
【分析】利用导数求得函数的切线方程，由题意，建立方程组，可得答案.
【详解】设直线与曲线和分别相切于，两点，
分别求导，得，，
故，整理可得．
同理得，整理可得．
因为直线为两曲线的公切线，
所以，解得，
所以直线的方程为，令，则．
则直线与轴的交点坐标为．
故答案为：.
12．（2023·浙江·统考一模）若曲线存在两条互相垂直的切线，则a的取值范围是________．
【答案】
【分析】先求导函数，由题可得，分类讨论和时，是否存在符合的值即可判断.
【详解】由题知，令，
则．
若函数曲线存在两条互相垂直的切线
则可得，，．
当时，，，与题目矛盾；
当时，由，
可得的值域是
故，使得，
，．
故答案为：．
13．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，若，且与交于点M，则的面积的最小值为________.
【答案】1
【分析】由直线垂直可构造出斜率关系，得到，通过直线与抛物线方程联立，根据根与系数关系求得；联立两切线方程，可用表示出，代入点到直线距离公式，从而得到关于的面积的函数关系式，求得所求最值．
【详解】解：抛物线的方程为，即，所以，
设,，,，则，
所以切线方程，，
由于，所以，
由题意可设直线方程为，抛物线方程联立，得，
所以，则，，即
即，
联立方程得，即，
点到直线的距离，，
所以．
当时，面积取得最小值1．
故答案为：1.
14．（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知直线与曲线和均相切，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为___________.
【答案】2
【分析】由基本初等函数的导数及其的几何意义解得直线的解析式即可求得结果.
【详解】由已知得的导函数分别为：，设上的切点分别为，则有：，
解之得：，故：，
与坐标轴交点分别为，围成的三角形面积为：.
故答案为：2.
15．（2023·江苏常州·校考二模）已知函数的图像关于直线对称，且时，，则曲线在点处的切线方程为___________.
【答案】
【分析】先求出当时，，利用导数的几何意义求出切线斜率，写出切线方程.
【详解】设分别为函数的图像上关于直线对称的两点，不妨设，则.
所以，所以
所以.
所以当时，.
所以.
而，所以.
所以曲线在点处的切线方程为，即.
故答案为：.
16．（2023·广东佛山·佛山一中校考一模）已知函数，，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别与轴交于两点，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】利用导数的几何意义可求得在处的切线方程，并得到；根据切线互相垂直可得，由此得到，令，可得，利用分离常数法可求得的范围，即为的范围.
【详解】当，时，
，，
在处的切线方程为，即，
；
当，，，
同理可求得：在处的切线方程为：，
，
两条切线互相垂直，，，，
令，
设，，
则在上单调递增，，即．
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够利用导数的几何意义求得，将表示为关于变量的函数的形式，从而利用函数值域的求解方法求得结果.
17．（2023·江苏·统考一模）直线与曲线：及曲线：分别交于点A，B.曲线在A处的切线为，曲线在B处的切线为.若，相交于点C，则面积的最小值为____________.
【答案】2
【分析】利用导数的几何意义，设出直线，求出交点的横坐标，从而求出，再利用基本不等式即可求出结果.
【详解】设，
由，得到，由，得到
所以由导数的几何意义得：，
，联立方程解得：
的面积，
令，所以，
当且仅当，即时取等号.
故答案为：2
18．（2023·安徽安庆·安庆市第二中学校考模拟预测）已知F为抛物线的焦点，由直线上的动点P作抛物线的切线，切点分别是A，B，则与（为坐标原点）的面积之和的最小值是_________.
【答案】
【分析】根据题意直线AB斜率存在，设其方程为，利用导数可得出抛物线在点A、B处的切线方程，联立即可得出点P的坐标，联立直线AB的方程与抛物线的方程，根据韦达定理及点P在直线上，即可求出的值，再利用面积公式结合基本不等式得出最小值.
【详解】根据题意直线AB斜率存在，设其方程为，设，，
由，得，求导得，
则抛物线在点A处的切线方程为，整理得：，
同理得抛物线在点B处的切线方程为，
则由，解得，即两切线的交点，
由消去y整理得，
则，，则，
点P在直线上，则，
则直线AB的方程为，过定点，
且，
设，则，
则，
，
，
，
当且仅当，即时等号成立，
则与的面积之和的最小值为.
故答案为：.
19．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．
【答案】
【分析】法一：依题可知，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.
【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点
因为，所以方程的两个根为，
即方程的两个根为，
即函数与函数的图象有两个不同的交点，
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
所以当时，，即图象在上方
当时，，即图象在下方
，图象显然不符合题意，所以．
令，则，
设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，
则切线的斜率为，故切线方程为，
则有，解得，则切线的斜率为，
因为函数与函数的图象有两个不同的交点，
所以，解得，又，所以，
综上所述，的取值范围为．
[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导
=0的两个根为
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
设函数，则，
若，则在上单调递增，此时若，则在
上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数
且的极小值点和极大值点，则，不符合题意；
若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以.
【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解；
法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法．
20．（2023·广东·校联考模拟预测）曲线与的公共切线的条数为________．
【答案】2
【分析】设公切线关于两函数图像的切点为，则公切线方程为：
，则
，则公切线条数为零点个数.
【详解】设公切线关于两函数图像的切点为，则公切线方程为：
，则，
注意到，，则由，可得
.
则公切线条数为方程的根的个数，
即函数的零点个数.
，令，则，
得在上单调递增.因，
则，使得.则在上单调递减，在上单调递增，
故，
又注意到，
，则，
使得，得有2个零点，即公共切线的条数为2.
故答案为：2
【点睛】关键点点睛：本题涉及研究两函数公切线条数，难度较大.
本题关键为将求公切线条数转化为求相关函数零点个数，又由题有范围，故选择消掉，构造与有关的方程与函数.