人教A版（2019）高中数学高考一轮复习第一章集合与逻辑用语重点07对数不等式与集合（原卷版+解析版）

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\l "_Tc192085359" 2知识点02对数不等式 PAGEREF _Tc192085359 \h 2
\l "_Tc192085360" 3知识点03对数与集合的交并补 PAGEREF _Tc192085360 \h 4
\l "_Tc192085361" 4题型一、对数的运算 PAGEREF _Tc192085361 \h 5
\l "_Tc192085362" 5题型二、对数不等式 PAGEREF _Tc192085362 \h 9
\l "_Tc192085363" 6题型三、对数与集合的交并补 PAGEREF _Tc192085363 \h 15
知识点01对数与对数运算
对数的定义
一般地，如果ax=N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=lgaN(N>0)，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数(N>0)．
常见对数
①一般对数：以a(a>0且a≠1)为底，记为lgaN(N>0)，读作以a为底N的对数；
②常用对数：以10为底，记为lgN；(N>0)
③自然对数：以e为底，记为lnN；(N>0)
对数运算公式
①lga1=0；其中a>0且a≠1
②lgaa=1；其中a>0且a≠1
③algaN=N (其中a>0且a≠1，N>0)
④对数换底公式：lgab=lgcblgca
⑤lga(MN)=lgaM+lgaN
⑥lgaMN=lgaM-lgaN
⑦lgambn=nmlgab(m，n∈R)
⑧algab=b
⑨lgaab=b
⑩lgab=1lgba
知识点02对数不等式
底数a>1
【例题1】lg2x≤1
对数要求真数大于0，故： x>0
换底，底数变为相同： lg2x≤lg22
底数a>1，不等号不用变方向，解得： x≤2
最后令x>0和x≤2取交集得到不等式得解集：00⇒x>2
换底，底数变为相同： lg2(x-2)>lg22
底数a>1，不等号不用变方向： x-2>2⇒x>4
最后令x>2和x>4取交集得到不等式得解集：x>4
【例题3】lgx>0
对数要求真数大于0，故： x>0
换底，底数变为相同：lgx>lg1
底数a>1，不等号不用变方向，解得： x>1
最后令x>0和x>1取交集得到不等式得解集：x>1
【例题4】lgx0
换底，底数变为相同： lgx1，不等号不用变方向，解得： x0和x>1取交集得到不等式得解集：00⇒x>2
换底，底数变为相同： lg(x-2)>lg1
底数a>1，不等号不用变方向： x-2>1⇒x>3
最后令x>2和x>3取交集得到不等式得解集：x>3
【例题6】lnx≥1
对数要求真数大于0，故：x>0
换底，底数变为相同：lnx≥lne
底数a>1，不等号不用变方向： x≥e
最后令x>0和x≥e取交集得到不等式得解集：x≥e
【例题7】ln(x-1)≥0
对数要求真数大于0，故： x-1>0⇒x>1
换底，底数变为相同： ln(x-1)≥ln1
底数a>1，不等号不用变方向x-1≥1⇒x≥2
最后令x>1和x≥2取交集得到不等式得解集：x≥2
底数00
换底，底数变为相同：lg12x>lg121
底数0