高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册离散型随机变量的数字特征第2课时学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册离散型随机变量的数字特征第2课时学案及答案，共8页。学案主要包含了均值的性质，均值的实际应用，决策问题等内容，欢迎下载使用。
学习目标 1.掌握离散型随机变量的均值的性质.2.会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题．
一、均值的性质
问题 若X，η都是离散型随机变量，且η＝aX＋b(其中a，b是常数)，那么E(η)与E(X)有怎样的关系？
知识梳理
离散型随机变量的均值的性质
若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝________________.
例1 已知随机变量X的分布列为
若Y＝－2X，则E(Y)＝________.
反思感悟 求线性关系的随机变量η＝aξ＋b的均值的方法
(1)定义法：先列出η的分布列，再求均值．
(2)性质法：直接套用公式，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，求解即可．
跟踪训练1 (1)已知Y＝5X＋1，E(Y)＝6，则E(X)的值为( )
A.eq \f(6,5) B．5 C．1 D．31
(2)已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E(η)＝34，若ξ的分布列如表所示，则m的值为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,8)
二、均值的实际应用
例2 某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘．由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：
若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务．无雨时收益为20万元；有雨时收益为10万元．额外聘请工人的成本为a万元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36.
(1)若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益(即X的均值)；
(2)该基地是否应该外聘工人，请说明理由．
反思感悟 解答概率模型的三个步骤
(1)建模：即把实际问题概率模型化．
(2)解模：确定分布列，计算随机变量的均值．
(3)回归：利用所得数据，对实际问题作出判断．
跟踪训练2 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如表所示：
将频率视为概率，解答下列问题：
(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；
(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；
(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该生产哪种品牌的轿车？说明理由．
三、决策问题
例3 甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：
甲公司送餐员送餐单数频数表：
乙公司送餐员送餐单数频数表：
若将频率视为概率，回答下列两个问题：
(1)记乙公司送餐员日工资为X(单位：元)，求X的分布列和均值；
(2)小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．
反思感悟 (1)求分布列的关键是根据题意确定随机变量的所有可能取值和取每一个值时的概率，然后列成表格的形式即可．
(2)根据统计数据做出决策时，可根据实际情况从均值的大小关系作出比较后得到结论．
跟踪训练3 某地盛产脐橙，该地销售脐橙按照等级分为四类：珍品、特级、优级和一级(每箱重量为5 kg)，某采购商打算在该地采购一批脐橙销往外地，并从采购的这批脐橙中随机抽取50箱，利用脐橙的等级分类标准得到的数据如表：
(1)用分层随机抽样的方法从这50箱脐橙中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，ξ表示随机抽取的3箱中是特级的箱数，求ξ的分布列及均值E(ξ)；
(2)利用样本估计总体，该地提出两种购销方案供采购商参考：
方案一：不分等级卖出，价格为20元/kg；
方案二：分等级卖出，分等级的脐橙价格如表：
从采购商节约资金的角度考虑，应该采用哪种方案？
1．知识清单：
(1)离散型随机变量的均值的性质．
(2)离散型随机变量的均值的实际应用．
2．方法归纳：建模思想．
3．常见误区：不会应用均值对实际问题作出正确分析．
1．已知Y＝4X＋7，E(Y)＝15，则E(X)等于( )
A．67 B．11 C．2 D．1
2．若p为非负实数，随机变量X的分布列为
则E(X)的最小值为( )
A．1 B.eq \f(3,2) C.eq \f(2,3) D．2
3．某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率为eq \f(2,3)，则此人试验次数X的均值是( )
A.eq \f(4,3) B.eq \f(13,9) C.eq \f(5,3) D.eq \f(13,7)
4．利用下列盈利表中的数据进行决策，
应选择的方案是________．
参考答案与详细解析
问题 X，η的分布列为
则E(η)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn
＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b.
知识梳理
aE(X)＋b
例1 eq \f(17,15)
解析 由分布列的性质，得
eq \f(1,4)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,5)＋m＋eq \f(1,20)＝1，
解得m＝eq \f(1,6)，
∴E(X)＝(－2)×eq \f(1,4)＋(－1)×eq \f(1,3)＋0×eq \f(1,5)＋1×eq \f(1,6)＋2×eq \f(1,20)＝－eq \f(17,30).
由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)，
即E(Y)＝－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,30)))＝eq \f(17,15).
跟踪训练1 (1)C [因为E(Y)＝E(5X＋1)＝5E(X)＋1＝6，所以E(X)＝1.]
(2)A [因为η＝12ξ＋7，E(η)＝34，
则E(η)＝12E(ξ)＋7，
即E(η)＝12×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1×\f(1,4)＋2×m＋3×n＋4×\f(1,12)))＋7＝34.
所以2m＋3n＝eq \f(5,3)，①
又eq \f(1,4)＋m＋n＋eq \f(1,12)＝1，所以m＋n＝eq \f(2,3)，②
由①②，解得m＝eq \f(1,3).]
例2 解 (1)设下周一无雨的概率为p，
由题意得，p2＝0.36，则p＝0.6，基地收益X的可能取值为20,15,10,7.5，
则P(X＝20)＝0.36，P(X＝15)＝0.24，P(X＝10)＝0.24，P(X＝7.5)＝0.16，
所以基地收益X的分布列为
基地的预期收益
E(X)＝20×0.36＋15×0.24＋10×0.24＋7.5×0.16＝14.4(万元)，
所以基地的预期收益为14.4万元．
(2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，
则其预期收益E(Y)＝20×0.6＋10×0.4－a＝(16－a)万元，
E(Y)－E(X)＝1.6－a，
综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人；
成本低于1.6万元时，外聘工人；
成本恰为1.6万元时，是否外聘工人均可以．
跟踪训练2 解 (1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝eq \f(2＋3,50)＝eq \f(1,10).
(2)依题意得，X1的分布列为
X2的分布列为
(3)由(2)得E(X1)＝1×eq \f(1,25)＋2×eq \f(3,50)＋3×eq \f(9,10)＝2.86(万元)．
E(X2)＝1.8×eq \f(1,10)＋2.9×eq \f(9,10)＝2.79(万元)．
∵E(X1)>E(X2)，∴应生产甲品牌轿车．
例3 解 (1)设乙公司送餐员送餐单数为a，
当a＝38时，X＝38×6＝228，P＝eq \f(5,50)＝eq \f(1,10)；
当a＝39时，X＝39×6＝234，P＝eq \f(10,50)＝eq \f(1,5)；
当a＝40时，X＝40×6＝240，P＝eq \f(10,50)＝eq \f(1,5)；
当a＝41时，X＝40×6＋1×7＝247，P＝eq \f(20,50)＝eq \f(2,5)；
当a＝42时，X＝40×6＋2×7＝254，P＝eq \f(5,50)＝eq \f(1,10)，
故X的所有可能取值为228,234,240,247,254，
故X的分布列为
故E(X)＝228×eq \f(1,10)＋234×eq \f(1,5)＋240×eq \f(1,5)＋247×eq \f(2,5)＋254×eq \f(1,10)＝241.8(元)．
(2)甲公司送餐员日平均送餐单数为
38×0.2＋39×0.3＋40×0.2＋41×0.2＋42×0.1＝39.7，
则甲公司送餐员日平均工资为80＋4×39.7＝238.8(元)，
因为乙公司送餐员日平均工资为241.8元，238.8