中职高考数学一轮复习讲练测8.7 抛物线（讲）（2份，原卷版+解析版）

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1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l (F ∉ )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 ．
2．抛物线的标准方程及几何性质
考点一 抛物线的定义及标准方程
【例题】（1）到直线与到定点的距离相等的点的轨迹是（ ）
A．椭圆B．圆C．抛物线D．直线
（2）过点，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
（3）顶点在原点，准线方程为的抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
（4）焦点在轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为的抛物线的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
（5）若抛物线的焦点与双曲线的左焦点重合，则抛物线方程为 .
【变式】（1）已知抛物线的准线方程是，则抛物线的标准方程是 ．
（2）顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点的抛物线方程为（ ）
A． B． C． D．
（3）以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为 ．
（4）已知某抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，且经过点，则该抛物线的标准方程是 .
（5）抛物线上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线方程为（ ）
A．B．xC．D．x
考点二 抛物线的性质
【例题】（1）抛物线的准线方程是（ ）
A．B．C．D．
（2）抛物线的焦点到其准线的距离为（ ）
A．B．C．2D．4
（3）下列关于抛物线的说法正确的是（ ）．
A．开口向下，准线方程为B．开口向左，准线方程为
C．开口向下，准线方程为D．开口向左，准线方程为
（4）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，，则点的横坐标为（ ）
A．6B．5C．4D．2
（5）已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且，则 .
（6）已知抛物线的焦点为F，则抛物线上的动点P到点与F距离之和的最小值为 .
【变式】（1）已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为（1，0），则p=（ ）
A．2B．3C．5D．7
（2）已知抛物线上的一点到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为（ ）
A．6B．4C．3D．2
（3）在抛物线的方程中，p表示（ ）
A．焦点到准线的距离B．焦点到准线的距离的一半
C．焦点到准线的距离的2倍D．焦点到顶点的距离
（4）抛物线上有两个点，焦点，已知，则线段的中点到轴的距离是（ ）
A．1B．C．2D．
（5）在抛物线上，则到直线的距离与到直线的距离之和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（6）抛物线的焦点为，第一象限的点在上，且，则的坐标是 ．
【方法总结】
1．抛物线的定义、标准方程和性质是解决有关抛物线问题的基础，应当熟练掌握．
2．求抛物线的标准方程的常用方法是待定系数法或轨迹法．若抛物线的开口不确定，为避免多种情况分类求解的麻烦，可以设抛物线方程为y2＝mx或x2＝ny(m≠0，n≠0)．若m＞0，开口向右；若m＜0，开口向左．m有两解时，则抛物线的标准方程有两个．对n＞0与n＜0，有类似的讨论．
3．抛物线的离心率e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题时，要看到焦点想准线(看到准线想焦点)，优先考虑利用抛物线的定义，将其转化为点到准线的距离，这样往往可以使问题简单化．
4．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
5．抛物线的几个常用结论
(1)焦半径：抛物线上的点P(x0，y0)与焦点F之间的线段叫做抛物线的焦半径，记作r＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF)).
①y2＝2px(p＞0)，r＝x0＋eq \f(p,2)；②y2＝－2px(p＞0)，r＝－x0＋eq \f(p,2)；③x2＝2py(p＞0)，r＝y0＋eq \f(p,2)；
④x2＝－2py(p＞0)，r＝－y0＋eq \f(p,2).
(2)焦点弦：若AB为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦，A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝l.则：①x1x2＝eq \f(p2,4)；②y1y2＝－p2；③弦长l＝x1＋x2＋p，因x1＋x2≥2eq \r(x1x2)＝p，故当x1＝x2时，l取得最小值，最小值为2p，此时弦AB垂直于x轴，所以抛物线的焦点弦中通径最短(垂直于抛物线对称轴的焦点弦叫做抛物线的通径)．
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
图形
性
质
焦点
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
准线
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
对称轴
x轴
y轴
顶点
原点O(0，0)
离心率
e＝1
开口
向右
向左
向上
向下