中职高考数学一轮复习讲练测8.5 椭圆（讲）（2份，原卷版+解析版）

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1．椭圆的定义
(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a ＞ |F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
2．椭圆的标准方程及几何性质
考点一 椭圆的定义及标准方程
【例题】（1）P是椭圆上一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则（ ）
A．1B．3C．5D．9
【答案】A
【解析】对椭圆方程变形得，易知椭圆长半轴的长为4，由椭圆的定义可得，又，故，故选：A.
（2）焦点在轴上，且，的椭圆的标准方程为（ ）
A． B．或
C．或 D．
【答案】D
【解析】由于，，且焦点在轴上，故椭圆的标准方程为，故选：D.
（3）已知椭圆的两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点，则该椭圆的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为焦点坐标为和，所以.椭圆经过点，且焦点在x轴上，所以，所以，则椭圆的标准方程为，故选:A.
（4）已知椭圆C：的左右焦点分别为F1、F2，过左焦点F1，作直线交椭圆C于A、B两点，则三角形ABF2的周长为（ ）
A．10B．15C．20D．25
【答案】C
【解析】由题意椭圆的长轴为，由椭圆定义知，∴，故选：C.
（5）下列与椭圆焦点相同的椭圆是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意得，椭圆C中，，即焦点坐标为和；对于A选项，椭圆焦点在轴上，不满足题意；对于B选项，椭圆焦点在轴上，，，，不满足题意；对于C选项，椭圆焦点在轴上，，，不满足题意；对于D选项，椭圆焦点在轴上，，，，满足题意；故答案为：D.
（6）若方程表示椭圆，求的取值范围为 ．
【答案】且
【解析】因为方程表示椭圆，则，解得且，故答案为：且.
【变式】（1）已知椭圆的两个焦点分别为是椭圆上一点，，且离心率为，则椭圆C的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据椭圆定义可得，所以，由离心率，所以，由，所以椭圆C的标准方程为，故选：B.
（2）若表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数m的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题只需，解得，故选：D.
（3）设椭圆的左、右焦点分别为，，是上任意一点，则的周长为 .
【答案】18
【解析】根据题意，椭圆，其中，，则，是上任意一点，则的周长，故答案为：．
（4）以，为焦点，且经过点的椭圆的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为焦点在x轴上，所以C不正确；又因为c=1，故排除D；将代入得，故A错误，所以选B，故选：B.
（5）已知椭圆的焦距是8，椭圆上的某点到两个焦点的距离之和等于16，则椭圆的标准方程是 ．
【答案】或
【解析】由题设，，则，而，所以椭圆的标准方程是或，故答案为：或.
（6）已知椭圆的长轴长为4，离心率为，则椭圆C的方程为 ．
【答案】
【解析】椭圆C的焦点在x轴上，则，，则，，此时，椭圆C的方程为，故答案为：.
考点二 椭圆的性质
【例题】（1）已知椭圆方程为，则焦点坐标是（ ）
A．（0，±1）B．（0，±）C．（±1，0）D．（±，0）
【答案】C
【解析】由题意知，椭圆的焦点在轴上，焦点坐标为，即（±1，0），故选：C.
（2）椭圆与椭圆的（ ）
A．长轴相等B．焦距相等
C．短轴相等D．长轴、短轴、焦距均不等
【答案】B
【解析】对于椭圆： ，a=3，b=2， ，对于椭圆： ，， ，，所以两椭圆焦距相等，故选：B.
（3）已知椭圆的一个焦点为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由已知可得，，则，所以，则离心率，故选：C.
（4）已知椭圆的短轴长和焦距相等，则a的值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【解析】由题设易知：椭圆参数，即有，可得，故选：A.
（5）已知椭圆的离心率，则m的值为______．
【答案】或
【解析】已知椭圆方程为当焦点在轴上，即时，有，
则，依题意得，解得m＝3；当焦点在轴上，即时，有，则，依题意有解得，即的值为或，故答案为：或.
（6）已知椭圆的离心率为，则的短轴长为 .
【答案】
【解析】由题意得，又∵，解得，∴椭圆的方程为，
则的短轴长为，故答案为：.
【变式】（1）已知椭圆的长轴长为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由椭圆方程知：，椭圆长轴长为，故选：A.
（2）已知椭圆，则下列结论正确的是（ ）．
A．长轴长为2B．焦距为
C．短轴长为D．离心率为
【答案】D
【解析】依题意椭圆，所以，所以长轴长为，焦距为，短轴长为，ABC选项错误，离心率为，D选项正确，故选：D.
（3）已知椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则（ ）
A．2B．1C．D．4
【答案】C
【解析】因为椭圆的焦点在y轴上，故，且椭圆的标准方程为：，所以，所以，故， 故选：C.
（4）若椭圆的焦点在轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则______.
【答案】4
【解析】因为椭圆的焦点在轴上，所以有，因为长轴长是短轴长的2倍，所以有，故答案为：4.
（5）已知椭圆C的离心率为，则椭圆C的长轴长与短轴长的比值为 ．
【答案】
【解析】由题设，解得，所以长轴长与短轴长的比值为，故答案为：.
（6）若椭圆的长轴是短轴的2倍，且经过点，则椭圆的离心率为 .
【答案】
【解析】因为椭圆经过点，当焦点在轴时，可知，，所以，所以，当焦点在轴时， 同理可得，故答案为：.
【方法总结】
1．在运用椭圆的定义时，要注意“|F1F2|＜2a”这个条件，若|F1F2|＝2a，则动点的轨迹不是椭圆，而是连结两定点的线段(包括端点)；若|F1F2|＞2a，则轨迹不存在．
2．椭圆的标准方程有两种形式，两种形式可以统一为eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)，具体是哪种形式，由m与n的大小而定．
3．求椭圆的标准方程常用的方法是待定系数法和定义法，即(1)先设出椭圆标准方程，根据已知条件列出关于a，b的两个方程，求参数a，b的值；(2)由椭圆的定义及几何性质直接求出参数a，b的值．
4．充分利用图形的几何性质可以减少计算量，椭圆中可以用来减少计算量的几何性质主要体现在椭圆的定义中．
5．直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定．通常用消元后的关于x(或y)的一元二次方程的判别式Δ与零的大小关系来判定．
6．直线和椭圆相交时，弦的中点坐标或弦中点轨迹方程可由韦达定理来解决．设而不求(设点而不求点)的方法是解析几何中最重要的解题方法之一．
7．椭圆中几个常用的结论：
(1)焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝eq \f(2b2,a).
(2)AB为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则①弦长l＝eq \r(1＋k2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x1－x2))＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|；②直线AB的斜率kAB＝－eq \f(b2x0,a2y0).
焦点在x轴上
焦点在y轴上
(1)图形
(2)标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
(3)范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－a≤y≤a，－b≤x≤b
(4)轴长
长轴长：2a
短轴长：2b
(5)中心
原点O(0，0)
(7)顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
(6)对称轴
x轴，y轴
(8)焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
(9)焦距
2c＝2eq \r(a2－b2)
(10)离心率
e＝eq \f(c,a) (0＜e＜1)