2024年中考数学真题分类汇编：知识点21 线段垂直平分线、角平分线、中位线2024（解析版）

这是一份2024年中考数学真题分类汇编：知识点21 线段垂直平分线、角平分线、中位线2024（解析版），共7页。试卷主要包含了故答案为等内容，欢迎下载使用。
9．【2024·湖南9题】如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点．下列结论中，错误的是（ ）
A．DE∥BCB．△ADE∽△ABC
C．BC＝2DED．S△ADE=12S△ABC
【答案】D【解析】∵点D，E分别为边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，BC＝2DE．故A、C选项不符合题意．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．故B选项不符合题意．∵△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC=(DEBC)2=14，
则S△ADE=14S△ABC．故D选项符合题意．故选D．
四川省
6．【2024·凉山州】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50cm，则AC+BC＝（ ）
A．25cmB．45cmC．50cmD．55cm
【答案】C【解析】∵DE垂直平分AB交BC于点D，∴AD＝DB，∵△ACD的周长为50cm，即AC+AD+CD＝AC+CD+DB＝AC+BC＝50cm，故选C．
5．【2024·南充】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，AD平分∠CAB交BC于点D，点E为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为（ ）
A．2B．3C．2D．3
【答案】C【解析】在Rt△ABC中，tanB=ACBC，∴AC=33×6=23．∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=12×60°=30°．在Rt△ACD中，tan∠CAD=CDAC，∴CD=33×23=2．∵AD平分∠CAB，且DC⊥AC，∴点D到AB边的距离等于线段CD的长，即线段DE长度的最小值为2．故选C．
5．【2024·广安】如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，若∠A＝45°，∠CED＝70°，则∠C的度数为（ ）
A．45°B．50°C．60°D．65°
【答案】D
甘肃省
7. 【2024·兰州】如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
青海省
6．【2024·青海】如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，则点P到OA的距离是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
二、填空题
湖南省
15．【2024·长沙15题】如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，连接DE．若DE＝12，则AB的长为 ．
【答案】24
四川省
1．【2024·成都】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一条角平分线，E为AD中点，连接BE．若BE＝BC，CD＝2，则BD＝ ．
【答案】 1+172 【解析】连接CE，过E作EF⊥BC于F，如图：设BD＝x，则BC＝BD+CD＝x+2，∵∠ACB＝90°，E为AD中点，∴CE＝AE＝DE=12AD，∴∠CAE＝∠ACE，∠ECD＝∠EDC，∴∠CED＝2∠CAD，
∵BE＝BC，∴∠ECD＝∠BEC，∴∠BEC＝∠EDC.∵∠ECD＝∠BCE，∴△ECD∽△BCE，∴CEBC=CDCE，∠CED＝∠CBE，∴CE2＝CD•BC＝2（x+2）＝2x+4.∵AD平分∠CAB，∴∠CAB＝2∠CAD，∴∠CAB＝∠CED，∴∠CAB＝∠CBE，∵∠ACB＝90°＝∠BFE，∴△ABC∽△BEF，∴ACBF=BCEF，∵CE＝DE，EF⊥BC，∴CF＝DF=12CD＝1.∵E为AD中点，∴AC＝2EF，∴2EFx+1=x+2EF，∴2EF2＝（x+1）（x+2）.∵EF2＝CE2−CF2，∴(x+1)(x+2)2=（2x+4）−12，解得x=1+172或x=1−172（小于0，舍去），∴BD=1+172．故答案为：1+172．
16．【2024·凉山州】如图，四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，若对角线AC＝24，BD＝18，则四边形EFGH的周长是 ．
【答案】42【解析】∵四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，∴EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△ADC、△ABD的中位线，∴EF=12AC=12×24＝12，GH=12AC＝12，FG=12BD=12×18＝9，HE=12BD＝9，
∴四边形EFGH的周长为：12+9+12+9＝42，故答案为42．
浙江省
15．【2024·浙江A卷15题（回忆版）】如图，D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，连接BE，DE．若∠AED＝∠BEC，DE＝2，则BE的长为 ．
【答案】4【解析】∵D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，∴BC＝2DE＝2×2＝4，DE∥BC，∴∠AED＝∠C，
∵∠AED＝∠BEC，∴∠BEC＝∠C，∴BE＝BC＝4，故答案为4．
三、解答题
湖南省
19．【2024·长沙19题】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝25，AC＝2，分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线MN分别交AB，BC于点D，E，连接CD，AE．
（1）求CD的长；
（2）求△ACE的周长．
解：（1）由作图过程可知，直线MN为线段AB的垂直平分线，
∴点D为AB的中点，∴CD=12AB=5．
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC=AB2−AC2=(25)2−22=4．
∵直线MN为线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB．
∴△ACE的周长为AC+CE+EA＝AC+CE+EB＝AC+BC＝2+4＝6．
广西
22．【2024·广西22题】如图，在△ABC中，∠A＝45°，AC＞BC．
（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线l，分别交AB，AC于点D，E；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）在（1）所作的图中，连接BE，若AB＝8，求BE的长．
解：（1）图形如图所示：
（2）∵DE垂直平分线段AB，
∴EB＝EA，∴∠EBA＝∠A＝45°，
∴∠BEA＝90°.
∵BD＝DA，
∴DE＝DB＝DA=12AB＝4，
∴BE=2BD＝42．
青海省
25．【2024·青海】综合与实践
顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用．
以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究．
【探究一】
如图1，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是各边的中点．
求证：中点四边形EFGH是平行四边形．
证明：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF、GH分别是△ABC和△ACD的中位线，
∴EF=12AC，GH=12AC（①_____）．
∴EF＝GH．
同理可得：EH＝FG．
∴中点四边形EFGH是平行四边形．
结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形．
（1）请你补全上述过程中的证明依据① ．
【探究二】
从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形．
（2）下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．
【探究三】
（3）从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是② ．
（4）下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．
【归纳总结】
（5）请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形．
结论：原四边形对角线③ 时，中点四边形是④ ．
解：（1）①三角形中位线定理
（2）证明：∵AC＝BD，∴EF＝FG，
∴中点四边形EFGH是菱形.
（3）②矩形
（4）证明：∵EH，EF分别是△ABD和△ABC的中位线，
∴EH∥BD，EF∥AC，
∴四边形EMON是平行四边形.
又∵AC⊥BD，
∴∠MON＝90°，
∴∠MEN＝∠MON＝90°，
∴中点四边形EFGH是矩形.
（5）③AC⊥BD且AC＝BD
④正方形.
理由：由（2）知中点四边形EFGH是菱形．
由（4）知中点四边形EFGH是矩形，
∴中点四边形EFGH是正方形．
故答案为AC⊥BD且AC＝BD；正方形．
新疆
19．【2024·新疆生产建设兵团】如图，△ABC的中线BD，CE交于点O，点F，G分别是OB，OC的中点．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）当BD＝CE时，求证：▱DEFG是矩形．
证明：（1）∵BD和CE是△ABC的中线，
∴点E和点D分别为AB和AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=12BC．
同理可得，FG∥BC，FG=12BC，
∴DE∥FG，DE＝FG，
∴四边形DEFG是平行四边形．
（2）∵△ABC的中线BD，CE交于点O，
∴点O是△ABC的重心，
∴BO＝2OD，CO＝2OE．
又∵点F，G分别是OB，OC的中点，
∴OF＝FB，OF＝GC，∴DF=23BD，EG=23CE．
∵BD＝CE，∴DF＝EG．
又∵四边形DEFG是平行四边形，
∴平行四边形DEFG是矩形．
原四边形对角线关系
中点四边形形状

不相等、不垂直
平行四边形
原四边形对角线关系
中点四边形形状

不相等、不垂直
平行四边形
AC＝BD
菱形
原四边形对角线关系
中点四边形形状

不相等、不垂直
平行四边形
AC⊥BD
②
原四边形对角线关系
中点四边形形状

③
④