人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列复习练习题

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1等比数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为.
代数形式：是常数， 或 是常数，
Eg 是公比为的等比数列；
是公比为的等比数列；
不是等比数列；
PS所谓常数就是与无关；等比数列中；
偶数项的正负、奇数项的正负相同.
Eg 若成等比数列，则 .
解：，而,故.
与均是奇数项，符号相同)
2 等比中项
若成等比数列，则称与的等差中项,则；
3证明一个数列是等比数列的方法
① 定义法：是常数，是等比数列；
② 中项法：是等比数列；
③ 通项公式法：若数列的通项公式是形如是不为常数，
则数列是等比数列；
④ 前项和法：若数列的前项和是形如是常数且，，，
则数列是等比数列.
4 通项公式
等比数列的首项为，公比为，则.(由定义与累乘法可得)
5前项和
等比数列的首项为，公比为，则其前项和为
(由错位相减法可证)
注：使用时注意公比是否等于，若不确定，使用时需要分类讨论.
6 基本性质(其中
设是首项为, 公比为的等比数列，那么
若 则 ；
；
；
数列(是不为零的常数)仍是公比为的等比数列；若数列是公比为的等比数列，
则数列是公比为的等比数列；
下标成等差数列且公差为的项组成公比为的等比数列；
(6)若,则成等比数列；(，是偶数时，)
【题型一】等比数列的判断与证明
【典题1】【多选题】已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是( )
A．B．
C．D．
【解析】由题意，可设等比数列的公比为，则．
对于：．(等比数列通项公式形如指数型)
数列是一个以为首项，为公比的等比数列；
对于：若，则．
数列是一个以为首项，为公差的等差数列；
对于：，
数列是一个以为公比的等比数列；
对于：，
数列是一个以为公比的等比数列．
故选：．
【点拨】
① 判定等比数列常用定义法：是常数，是等比数列；
② 等比数列通项公式形如指数型，在选择填空题运用.

【典题2】 已知数列的前项和为，且满足．
求证为等比数列，并求.
【解析】证明：，
(遇到与的等式可想到)
当时，
两式相减得 ，
化简得，
，
(不要漏了大前提：，要证明为等比数列，还要判断当时也成立)
而对于中当时有，
则满足，
，
为等比数列，首项为，公比为的等比数列，
,
.
【点拨】 数列问题中，特别要注意的取值范围，比如，要确定好.
【典题3】 设数列的首项为常数，且．
判断数列是否为等比数列，请说明理由；
是数列的前项的和，若是递增数列，求的取值范围．
【解析】 当时，
(定义法证明等比数列，要注意首项是否等于)
① 当，即时，，
时，为等比数列，公比为．
② 当，即时，，数列不是等比数列．
① 当时，，为单调递增数列，满足条件．
② 当时，由可得：，
若是递增数列，则，即，
，
(问题变成恒成立问题，可想到分离参数法，遇到想到分奇偶数讨论)
当为偶数，则，
故，(是增数列，)
当为奇数，则，
故，(是减数列，)
．且．
综上可得：．
【点拨】若，不能得到是等比数列，一定要强调才行.
巩固练习
1 (★) 根据下列通项能判断数列为等比数列的是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在中，是等差数列，不是等比数列，故错误；
在中，既不是等差数列，又不是等比数列，故错误；
在中，是等比数列，故正确；
在中，既不是等差数列，又不是等比数列，故错误．
故选：．
2 (★★) 已知数列是等比数列，则下列数列中：①；②；③，等比数列的个数是( )
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【解析】数列是等比数列，设公比为，则为常数．
则 ，则 ，为常数，故：①为等比数列．
，不是常数，故②不是等比数列．
，为常数，故③为等比数列，
故选：．
3 (★★) 在数列中，，,证明：数列是等比数列.
【证明】 ，1．
数列是等比数列，首项为，公比为．
4 (★★★) 设为数列的前项和，已知．
(1)证明：为等比数列；
(2)求的通项公式，并判断是否成等差数列？
【答案】(1) 见解析 (2) ，成等差数列
【解析】(1)证明：，，
，，，
，
是首项为公比为的等比数列．
(2)解：由(1)知，，，
，
，，
即成等差数列．

【题型二】等比数列的基本运算
【典题1】 若是等比数列的前项和，成等差数列，且，
则 .
【解析】由题意可得：等比数列的公比，
(利用等比数列的前项和公式，特别要注意公比是否等于)
成等差数列，，
，
，
则．
【点拨】
① 与等差数列差不多，首项和公比是等比数列的基本量，通项公式和前项和公式均与基本量有关；
②等比数列中五个量，一般可以“知二求三”，通过条件得到与的方程(组)是关键.
【典题2】 【多选题】正项等比数列的前项和是，已知．下列说法正确的是( )
A． B．是递增数列
C．为等比数列D．是等比数列
【解析】 ．
设首项为，公比为，
则，解得，
(这里，没用等比数列前项和公式，运算简单些)
所以，故错误，正确；
则，由于的关系式符合的形式，故正确．
由于，所以，所以该数列为等差数列，故错误．
故选：．
【点拨】
① 在等比数列中遇到若其下标较小，用会比等比数列的前项和公式更好些；
② 本题还是把已知条件向基本量“靠拢”.
【典题3】 数列、均为等比数列，其前项和分别为，，若对任意的，都有，则 .
【解析】当时，，即，
设、的公比分别为，
则，即，即，
当时，，
即，
将代入
得1，
整理得，得或，
当时，，此时，不成立，
当时，，此时，
综上，
【点拨】利用方程思想向基本量靠拢进行求解，计算量略大.
巩固练习
1 (★★) 已知数列中，，，若{}是等比数列，则等于 .
【答案】
【解析】设等比数列{}的公比为，，
则，解得．
．
解得
2 (★★) 已知数列是各项均为正数的等比数列，其前n项和为，，，则 .
【答案】
【解析】设公比为，由，，，
解得，或(舍去)，
.
3 (★★) 已知等比数列的前项和是，若，，且，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】设等比数列{an}的公比为，，，
，，
解得：，，
．
当时，取最大值，当时，取最小值，
，，
4 (★★) 若等比数列的前项和是，且，，则 .
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，，，
，，
消去，化为，解得．
时，；，．
则，或．
5(★★) 设是各项均为正数的等比数列，为其前项和．已知，，
若存在使得的乘积最大，则的一个可能值是( )
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【解析】等比数列中，公比；
由，所以，
又，
所以，解得：，或，
若时，可得，
可得的值为，不会存在使得的乘积最大(舍去)，
若时，可得，
可得的值为，观察可知存在，使得的乘积最大，
综上，可得的一个可能是．
6 (★★★) 【多选题】在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是( )
A． B．数列是等比数列
C． D．数列是公差为的等差数列
【答案】
【解析】，公比为整数．
解得．
．
，数列是公比为的等比数列．
．
．数列是公差为的等差数列．
综上可得：只有正确．
故选：．
7 (★★★) 【多选题】已知等比数列公比为，前项和是，且满足，则下列说法正确的是( )
A．B．
C．成等比数列D．
【答案】
【解析】根据题意，等比数列中，
对于，若，则有，解可得，正确，
对于，由，则，正确，
对于，由，则，，，不是等比数列，错误，
对于，由，则，，不成立，错误，
故选：．
【题型三】等比数列的基本性质及运用
【典题1】 已知等比数列的公比大于，，，则 .
【解析】在公比大于的等比数列中，
，
则是的两根，(利用韦达定理，求解更快捷)
可解得或，
由于公比大于，则，，
则有，则，(，知道两项便可直接求出公比)
．(，求任意一项不一定要知道)
【点拨】本题若使用方程思想求基本量的方法，计算量就较大；注意项数的下标之间数值的关系，利用等比数列的相关性质求解快捷.

【典题2】 【多选题】已知等比数列的各项均为正数，公比为，且，，记的前项积为，则下列选项中正确的选项是 ( )
A．B．C．D．
【解析】

，
，
若，则一定有，不符合，
(大胆假设小心验证)
则．
，
，，
故选：．
【点拨】注意到题中下标存在，而、与有关，故利用等比数列的性质：若 则 .

【典题3】 已知正项等比数列的前项和为且，则的最小值为 ．
【解析】由于，则公比不可能等于，
由等比数列的性质可得：成等比数列，
则，
，
当且仅当时等号成立．
则的最小值为．
【点拨】若,则成等比数列.
巩固练习
1 (★★) 若等比数列的各项均为正数，且，则
.
【答案】5
【解析】数列是各项均为正数的等比数列，
，
．
2 (★★) 正项等比数列满足，则 .
【答案】4
【解析】根据题意，等比数列满足，
则有，即，
又由数列为正项等比数列；
故；
3 (★★) 在等比数列中，若，，则 .
【答案】
【解析】根据题意，在等比数列中，若，则，
若，则，
即，
4 (★★) 已知等比数列中，，，则 .
【答案】8
【解析】依题意，，即，
同理，即，
所以，又等比数列奇数项符号相同，所以，
所以．
5(★★) 等比数列中，，，则的前项和为 .
【答案】
【解析】等比数列中，，，
由等比数列的性质得：
，，，也成等比数列，
由，，得，，
的前项和为：．
6(★★) 若等比数列的前项和为，且，则 .
【答案】
【解析】设等比数列的首项，公比，显然，
则，即，
则，
7(★★) 已知等比数列的前项和是，若，，则 .
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，
因为，所以，
则．
8 (★★) 已知正项等比数列满足，若存在两项使得，则的最小值为 .
【答案】
【解析】，，，
，，，
正项等比数列，，
，，
，，
，，
，
当且仅当，即，时取等号，
9 (★★) 【多选题】设等比数列的公比为，其前项和是，前项积为，并且满足条件．，，则下列结论正确的是( )
A．B．
C．的最大值为D．的最大值为
【答案】
【解析】，，
，，或，，
．q13，
，，公比，的最大值为．
与的大小关系不确定，没有最大值．
综上只有正确．
故选：．
10 (★★) 【多选题】等比数列的公比为，且满足，，．记，则下列结论正确的是( )
A． B．
C． D．使成立的最小自然数等于
【答案】
【解析】由．得或，
又；，则，，所以，正确．
由，又，所以，错误．
由、，，
可知当时，；当时，，所以的最大值，错误．
因为；
，所以使成立的最小自然数等于，正确．
故选：．