贵州省黔东南苗族侗族自治州2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试卷（Word版附解析）

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注意事项：
1.本试卷分为选择题和非选择题两部分，共 19 道小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟.
2.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，将
条形码贴在答题卡“考生条形码区”.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本
试卷上无效.
第Ⅰ卷 选择题部分（共 58 分）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项符合题目要求.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
2. （ ）
A. B. C. D.
3. 设 ， ，则“ 且 ”是“ ”的（ ）
A. 必要不充分条件 B. 充分必要条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4 已知 ， ， ，则（ ）
A B.
C. D.
5. 函数 的图象大致为（ ）
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A. B.
C. D.
6. 垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做
好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率 与时间 （月）近似满足关系 （其中
， ），经过 24 个月，这种垃圾的分解率为 ,经过 48 个月，这种垃圾的分解率为 ，则这种
垃圾完全分解大约需要经过（ ）个月.
（参考数据： ）
A. 80 B. 90 C. 100 D. 120
7. 设函数 图象的一条对称轴方程为 ，若
，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，且对任意的 、 ，
，有 ，则下列结论错误的是（ ）
A. 是偶函数 B.
C. 的图象关于 对称 D.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题满分 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知幂函数 ，则下列说法正确 有（ ）
A. 或 3 B. 一定为奇函数
C. 一定为减函数 D. 必过点
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10. 若函数 （ ， ， ）在一个周期内的图象如图所示，则正确的
结论是（ ）
A.
B. 的图象的一个对称中心为
C. 的单调递增区间是 ，
D. 把 图象向左平移 个单位长度，纵坐标不变，可得 的图象
11. 已知正实数 ，满足 ，则（ ）
A. 的最大值为 1 B. 的最小值为 4
C. 的最小值为 1 D. 的最小值为 18
第Ⅱ卷 非选择题部分（共 92 分）
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 15 分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. 已知命题 ： ， ，则命题 的否定为______.
13. 已知扇形的圆心角为 ，所对的弧长为 ，则这个扇形的面积为______.
14. 已知函数 ，则函数 的零点的个数为______.
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. （1）计算 ；
（2）化简： .
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16. 在单位圆中锐角 的终边与单位圆交于点 ，已知 .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
17. 已知函数 的最小正周期 .
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）当 时，方程 有且仅有两个根，求 的取值范围.
18. 近年来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，
进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过
去的一个月内（以 30 天计），每件的销售价格 （单位：元）与第 天的函数关系近似满足
（ 为常数，且 ， ， ），日销售量 （单位：件）与第 天的部分
数据如表所示：
5 10 15 20 25
45 50 55 50 45
已知第 5 天 日销售收入为 459 元.给出以下三个函数模型：① ；② ；③
.
（1）请你根据表中的数据，从中选择你认为合适的一种函数模型来描述日销售量 与 的变化关系，
并求出该函数的解析式；
（2）设该工艺品的日销售收入为 （单位：元），求 的解析式；
（3）该工艺品的日销售收入哪天最低？最低收入是多少？
19. 我们知道，函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数，
有同学发现可以将其推广为：函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数.已知 .
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（1）利用上述结论，证明： 的图象关于 成中心对称图形；
（2）请利用函数 的对称性求：
的值；
（3）判断 的单调性（无需证明），并解关于 的不等式 .
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