贵州省黔南州2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份贵州省黔南州2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．样本数据2，3，6，8，9，10的中位数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
3．在中，E为边BC上的一点，且，则（ ）
A．B．
C．D．
4．从0~9这10个数中随机选择一个数，则事件“这个数平方的个位上的数字是6”的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知圆台上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，则圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
6．某校在校园科技节期间举办了“智能机器人挑战赛”，为了解高一年级500名学生观看比赛的情况，该校学生会用随机抽样的方式抽取了一个容量为50的样本进行调查，并将数据整理后，列表如下：
从表中可以得出正确的结论为（ ）
A．估计观看比赛场数的极差为6B．估计观看比赛场数的众数为2
C．估计观看比赛不低于4场的学生约为200人D．估计观看比赛不超过2场的学生概率为
7．如图，某数学建模活动小组为了测量河对岸的塔高，选取与塔底B在同一平面的两个测量基点C与D．现测量得，在点C处测得塔顶A的仰角为60°，则塔高（ ）
A．20mB．C．30mD．
8．函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知复数（i是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．B．z的虚部是2
C．复数z的共轭复数为D．复数z在复平面内对应的点位于第四象限
10．已知事件A，B满足，则下列说法正确的是（ ）
A．事件A与事件B可能为对立事件
B．若事件A与事件B相互独立，则它们的对立事件也相互独立
C．若事件A与事件B互斥，则
D．若事件A与事件B相互独立，则
11．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是的中点，Q是侧面内的动点（含边界），则下列结论正确的是（ ）
A．四点共面
B．异面直线与所成的角为
C．当点Q在线段上运动时，三棱锥的体积为定值
D．当时，点Q的运动轨迹的长度为
三、填空题
12．已知为锐角，且，则 ．
13．在一次猜灯谜活动中，共有10道灯谜、甲、乙两名同学独立竞猜，甲同学猜对了8道，乙同学猜对了4道，假设猜对每道灯谜是等可能的．若任选一道灯谜，则恰有一人猜对的概率为 ．
14．在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”．如图，三棱柱为一“堑堵”，P是的中点，，则该“堑堵”的外接球的表面积为 ；在过点P且与直线平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积为
四、解答题
15．已知函数．
(1)求函数的定义域M；
(2)判断函数的奇偶性，若，求的值．
16．已知平面向量，且．
(1)求和的坐标；
(2)求向量与向量的夹角的余弦值．
17．在中，，再从下面两个条件中，选出一个作为已知条件，解答下面的问题．条件①：；条件②：．
(1)若，求的面积；
(2)求的取值范围．
18．2025年7月，黔南州“铁人三项赛”在州府都匀市举行．志愿者的服务工作是比赛成功举办的重要保障，都匀市某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求a的值．
(2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第60百分位数（保留两位小数）．
(3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取部分担任本市的宣传者．若这100名面试者中第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和15，第五组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为90和20，据此估计这次第四组和第五组所有面试者的面试成绩的方差．
19．如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，底面ABCD，E，F分别为线段PA，DC的中点．
(1)证明：平面PBC；
(2)证明：平面PBD；
(3)若，记PC与平面PAB所成的角为，求的最大值．
1．D
根据集合的交集运算求解.
【详解】．
故选：D.
2．B
根据中位数的定义求解.
【详解】因为样本数据个数是偶数，所以这组数据的中位数是第3位数和第4位数的平均数，
即.
故选：B.
3．A
利用向量的线性运算，结合线段的比例关系来推导的表达式.
【详解】由图形可知：．
故选：A
4．B
利用列举法求解出古典概型的概率.
【详解】从0~9这10个数中随机选择一个数，共有10种可能，其样本空间可表示为，
若一个数平方的个位上的数字是6，则该数是4或6，共2种情况，故所求概率为．故B正确.
故选：B.
5．C
利用圆台体积公式即可求得结果.
【详解】设上、下底面的半径分别为，高为h，母线，
则，，
所以.
故选：C.
6．D
A选项，利用极差的定义得到答案；B选项，先求出，比较频率得到众数为1；C选项，求出观看比赛不低于4场的学生所占百分比，进而求出学生约为220人；D选项，计算出观看比赛不超过2场的学生频率，进而判断D选项.
【详解】A选项，由表可知，估计观看比赛场数的极差为，A错误；
B选项，由频率分布表的性质，得．
由表知，出现频率最高的场数为1，所以众数为1，B错误；
C选项，因为观看比赛不低于4场的学生所占百分比为，
所以估计观看比赛不低于4场的学生约为（人），C错误；
D选项，估计观看比赛不超过2场的学生概率为，D正确．
故选：D.
7．C
在中，由正弦定理求得，在中，解直角三角形得解.
【详解】在中，由三角形内角和定理，
得.
由正弦定理，得，即，解得．
在中，，即塔高．
故选：C.
8．A
根据取整函数的定义求函数的值域.
【详解】设，其中，为的小数部分，则，
则，
所以函数的值域为：.
故选：A
9．AB
对A，利用复数模公式求解；对B，根据复数虚部概念判断；对C，根据共轭复数的定义判断；对D，根据复数的几何意义判断.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，复数的虚部为2，故B正确；
对于C，复数的共轭复数为，故C错误；
对于D，因为复数z在复平面内对应的点的坐标为，则复数z在复平面内对应的点位于第二象限，故D错误.
故选：AB.
10．BCD
利用事件的对立可对A判断；由利用相互独立事件的定义，可对B判断；利用互斥事件的概率公式，即可对C判断；利用相互独立事件的概率公式即可对D判断.
【详解】对于A，由对立事件的概率和为1，但，故A错误；
对于B，根据相互独立事件的性质可得事件与事件相互独立，则它们的对立事件也相互独立，故B正确；
对于C，若事件与事件互斥，则，故C正确；
对于D，根据相互独立事件的定义，，故D正确.
故选：BCD.
11．ACD
对A，由题可得，，得得证；对B，连接，可得异面直线与所成的角为，求解判断；对C，由等体积法，可得，求解判断；对D，由题可得点Q的运动轨迹是在侧面内以的中点为圆心，半径的圆弧，求解判断.
【详解】对于A，如图1，在正方体中，易知．
又P，N分别是的中点，则，所以，即四点共面，故A正确；
对于B，如图2，分别连接，由题意，易知，
则异面直线与所成的角为，易知为等边三角形，故，故B错误；
对于C，如图3，由等体积法，得．
因为，可得平面，又点Q在线段上运动，
所以点Q到平面的距离为定值．又也为定值，
所以为定值，即为定值，
且，故C正确；
对于D，如图4，取的中点，易得平面，
当时，点Q的运动轨迹是在侧面内以的中点为圆心，半径的圆弧，
在中，由，，可得，同理，，
所以圆弧圆心角为，所以点Q的运动轨迹的长度为，故D正确.
故选：ACD.
12．
根据，且为锐角，推出，根据即可求解.
【详解】因为为锐角，且，所以，
故．
故答案为：.
13．/0.56
已知甲、乙两人猜灯谜的独立事件恰有一人猜对的概率P, 设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”,则.
【详解】设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”，则，，
所以任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：
．
故答案为：.
14．
①如图1，把原三棱柱补成正方体，则正方体对角线为外接球的一条直径，根据求出半径，再根据面积公式求解.
②如图2，取中点E，F，G构造面，由与线线平行推出与面平行，根据边长关系进一步推出四边形即为唯一的等腰梯形，求其面积即可.
【详解】如图1，将三棱柱补成正方体，
则外接球的半径，则外接球的表面积为．
如图2，分别取的中点为E，F，G，连接FG，EP，EF，PG．
因为F，G分别为的中点，所以且．
在直三棱柱中，且．
因为E，P分别为的中点，所以且，所以四边形为平行四边形，所以且，所以，且，所以P，E，F，G四点共面．
因为E，F分别为的中点，所以．
又,，所以．
因为且F，G分别为的中点，所以，
则，所以四边形即为符合要求的等腰梯形．
当E不是的中点时，不平行平面，则四边形不是等腰梯形，故等腰梯形有且仅有一个．
在等腰梯形中，,．
过点G作的垂线，交于点H，
所以．
故答案为：；
15．(1)函数的定义域为；
(2).
（1）根据函数解析式，得，解出不等式，取交集即可；
（2）通过计算，并与比较，即可判断奇偶性，根据奇偶性，即可求得.
【详解】（1）由题意，，
由，解得，
则函数的定义域为．
（2）由（1）知函数的定义域关于原点对称．
又，
所以函数为奇函数，
又，所以．
16．(1)
(2)
（1）根据两平行向量、垂直向量的坐标关系列方程求解；
（2）求出、的坐标，直接代入向量夹角公式中求余弦值即可.
【详解】（1）因为，所以，则，
因为，所以，则.
（2）因为，，
所以，
即向量与向量的夹角的余弦值为.
17．(1)
(2)
（1）选①，由正弦定理和同角三角函数关系得到，故，由余弦定理得到，利用三角形面积公式进行求解；
选②，由余弦定理求出，，由三角形面积公式求出答案；
（2）解法一：由余弦定理和基本不等式得到，结合三角形的三边关系可知，从而求出的取值范围；
解法二：由正弦定理得到，结合三角恒等变换得到，结合，求出，得到答案.
【详解】（1）选条件①：由正弦定理，得．
因为，所以，
所以，得．
因为，所以．
在中，当时，
由余弦定理，
得，即，所以，
所以．
选条件②：因为，整理得．
由余弦定理，得．
因为，所以．
在中，当时，
由余弦定理，
得，即，所以，
所以．
（2）解法一：由题设及（1）可知．
由余弦定理，得，
化简得．又，
所以，
解得，
当且仅当时等号成立，
由三角形的三边关系可知，
所以，即的取值范围为．
解法二：由题设及（1）可知．
由正弦定理，得，
所以，
得
，
因为，则，
所以，
故，
所以，即的取值范围为．
18．(1)
(2)69.50；71.67
(3)32
（1）根据频率直方图中各小矩形的面积之和为1，列式求解；
（2）根据频率直方图估算平均数公式，百分位数定义列式求解；
（3）根据分层抽样的抽样比公式，结合总体方差运算公式进行求解即可.
【详解】（1），解得.
（2）由频率分布直方图易知每组的频率依次为，
所以这100名候选者面试成绩的平均数约为
.
因为，
设这100名候选者面试成绩的第60百分位数为x，则，
则，解得，
故第60百分位数为.
（3）设第四组、第五组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为，
且两组频率之比为，
则第四组和第五组所有面试者的面试成绩的平均数为，
第四组和第五组所有面试者的面试成绩的方差为
，
故估计第四组和第五组所有面试者的面试成绩的方差是32.
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
（1）证法一：根据平行四边形性质以及线面平行的判定，可得答案；证法二：利用中位线性质以及线面平行判定，可得面面平行，根据面面平行的性质，可得答案.
（2）根据菱形以及线面垂直的性质，可得线线垂直，利用线面垂直判定，可得答案.
（3）利用等体积法，选定三棱锥，根据解三角形的思路，表示高与底，建立函数，可得答案.
【详解】（1）证法一：如图1，取PB的中点为Q，连接EQ，CQ．
又E，F分别为线段PA，DC的中点，四边形ABCD为菱形，
所以且，且，
所以且，所以四边形EFCQ为平行四边形，所以．
又平面，平面PBC，所以平面PBC．
证法二：如图2，取PD的中点为G，连接EG，FG．
由中位线性质，可得，且，所以．
又平面，平面PBC，所以平面PBC．
同理可证平面PBC．
又，平面，平面EFG，
所以平面平面PBC．
又平面EFG，所以平面PBC．
（2）证明：如图3，连接AC，BD．
因为四边形ABCD为菱形，所以．
因为平面，平面ABCD，所以．
又平面，平面PBD，，所以平面PBD．
（3）设．
因为四边形ABCD为菱形，而，故．
因为平面，平面，平面，平面ABCD，
故．
又因为，故．
而，故．
设d为点C到平面PAB的距离，
所以．
又．
由等体积法，有，故，
解得．
而PC与平面PAB所成的角为，所以
，
当且仅当，即时等号成立，所以．观看比赛场数
0
1
2
3
4
5
6
7
观看人数所占百分比
7%
18%
15%
m%
10%
14%
15%
5%
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
A
B
C
D
C
A
AB
BCD
题号
11









答案
ACD