2024-2025学年贵州省黔西南州高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年贵州省黔西南州高一（下）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={1,3,4}，B={1,2,3,4}，则A∩B=( )
A. {1,3,4}B. {2}C. {1,2,3,4}D. ⌀
2.复数z=1+i的共轭复数z−=( )
A. −1−iB. −1+iC. 1−iD. 1+i
3.已知向量a=(2,3)，b=(k,6).若a//b，则k等于( )
A. 9B. 4C. −4D. −9
4.已知a>0，b>0，若ab=1，则a+b的最小值是( )
A. 5B. 4C. 3D. 2
5.已知棱台的上、下底面面积分别是1，4，高为3，则该棱台的体积是( )
A. 3B. 7C. 9D. 21
6.已知sinα=13，且α是第一象限角，则( )
A. sin(2π+α)=−13B. sin(π−α)=−13
C. cs(−α)=−2 23D. tan(π+α)= 24
7.在一家高科技公司，研发团队设计了一个高度机密的保险箱密码.为了防止密码被泄露，公司决定让两名顶级安全专家甲和乙分别独立破译密码.甲专家擅长某种加密算法，其独立破译密码的概率为0.4，乙专家有更先进的解密工具，其独立破译密码的概率为0.6，则两人中恰有一人破译密码的概率为( )
A. 0.4B. 0.52C. 0.6D. 0.76
8.已知函数f(x)=lnx,x>0ex,x≤0，则有( )
A. f(f(1))=0
B. f(x)的值域为[0,+∞)
C. f(x)在R上单调递增
D. 若关于x的方程f(x)=m有两个不相等的实数根，则m的取值范围为(0,1]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.兴义市某中学高一年级进行年度表彰活动，对申报表彰的同学进行“德智体美劳”等方面进行考核，有五位同学因表现优异分别获得了各类别的“优秀之星”称号.具体获奖次数列举如下：2、3、4、4、7，则下列说法中正确的是( )
A. 这组数据的极差为5B. 这组数据的方差为2.5
C. 这组数据的众数等于平均数D. 这组数据的中位数是4
10.已知向量a=(2,−1)，b=(1,−2)，则下列结论正确的是( )
A. a⊥bB. a+b=(3,−3)
C. |a−2b|=3D. b在a上的投影向量为(85,−45)
11.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了：已知三角形三边a、b、c，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即：S= 14[a2c2−(a2+c2−b22)2]，现有△ABC，其内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a：b：c=2：3：4，△ABC的面积为3 15，则下列结论正确的是( )
A. △ABC的周长为36
B. 若O为△ABC的外心，则AO⋅(AB+AC)=50
C. △ABC内切圆的半径为 153
D. 在△ABC中，边AB的中线CD的长为 10
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数z=−1+i，则|z|= ______．
13.若事件A与B互斥，且P(A)=0.3，P(B)=0.5，则P(A∪B)= ______．
14.在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则AB⋅AC=______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
现有一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，在抛掷骰子的试验中：
(1)若只抛掷红色的骰子，记下骰子落地时朝上的面的点数，写出该试验的样本空间；设C=“骰子朝上的点数大于3”，求事件C的概率；
(2)若同时抛掷两枚骰子，记下骰子朝上的面的点数.若用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用(x,y)表示一次实验的结果.设A=“两个点数之和等于8”，B=“至少有一颗骰子的点数为5”，分别求出事件A，B的概率．
16.(本小题15分)
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别为棱C1D1，C1B1的中点．
(1)证明：EF//平面AB1D1；
(2)求直线AD1与直线EF所成的角的大小．
17.(本小题15分)
为推广“康养胜地、人文兴义”旅游品牌，黔西南州文旅局在某旅行社举办“最美黔西南”知识竞赛，从参与活动的人员中随机抽取100名，根据他们的竞赛成绩(成绩均在[50,100]内)，按[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成五组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求a的值；
(2)根据直方图估计本次竞赛成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)若将本次竞赛分数从高到低排序，分数位于前20%的人员，文旅局对其发放马岭河峡谷的免费门票，求获得免费门票的人员的最低分数．
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B+C=5A．
(1)求A；
(2)已知a=2．
(ⅰ)当c=2 3时，求b的值；
(ⅱ)当 2bsinC=csin2B时，求△ABC的周长．
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥Q−ABCD中，底面ABCD是正方形，平面QAD⊥平面ABCD，若AD=2,QD=QA= 5．
(1)求点Q到平面ABCD的距离；
(2)求二面角Q−BC−A的余弦值；
(3)若P为侧面QCD内(包含边界)的一点，且四棱锥P−ABCD的体积为43，求BP与平面ABCD所成角的正弦值的最小值．
参考答案
1.A
2.C
3.B
4.D
5.B
6.D
7.B
8.D
9.ACD
10.BCD
11.BCD
12. 2
13.0.8
14.−16
15.(1)由题易知，样本空间Ω={1,2,3,4,5,6}，则C={4,5,6}，
C的概率为P=n(C)n(Ω)=36=12；
(2)由题意n(Ω1)=6×6=36，设A=“两个点数之和等于8”，B=“至少有一颗骰子的点数为5”，
根据题意，写出事件A，B的所有可能如下所示：
A={(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)}，
B={(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(6,5)}，
则n(A)=5，n(B)=11，
所以P(A)=n(A)n(Ω1)=536,P(B)=n(B)n(Ω1)=1136．
16.(1)证明：因为点E，F分别为棱C1D1，C1B1的中点，
所以EF//B1D1，
又因为EF⊄平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，
所以EF//平面AB1D1；
(2)设正方体棱长为a，(a>0)，
所以AD1=D1B1=B1A= 2a，
所以三角形AD1B1是边长为 2a的等边三角形，
所以直线AD1与直线D1B1所成的角的大小为60°，
因为EF//B1D1，
所以直线AD1与直线EF所成的角的大小为60°．
17.(1)由频率分布直方图可得(0.008+0.024+0.036+0.020+a)×10=1，解得：a=0.012．
(2)平均分为：x−=0.08×55+0.24×65+0.36×75+0.2×85+0.12×95=75.4，所以平均分为75.4．
(3)因为100×0.2=20，所以最低分数为第20名分数，
且[90,100]频数为12，[80,90)频数为20，
所以第20名在[80,90)这一组中，并且为该组的第8名，
所以90−820×10=86分，
所以最低分数为86分．
18.(1)由题意B+C=5A，
又因为B+C+A=π，
可得A=π6；
(2)(ⅰ)因为a=2，A=π6，c=2 3，
又因为a2=b2+c2−2bccsA，可得b2+12−6b=4，即b2−6b+8=0，
解得b=2或b=4；
(ⅱ)由于 2bsinC=csin2B，
所以 2sinBsinC=sinC⋅2sinBcsB，
因为B，C∈(0,π)，可得sinBsinC≠0，可得csB= 22，
可得B=π4，
又因为A=π6，
可得sinC=sin(π−π6−π4)=sin(π6+π4)=12× 22+ 32× 22= 2+ 64，
所以由正弦定理可得212=b 22=c 2+ 64，解得b=2 2,c= 2+ 6，
可得△ABC的周长为2+2 2+ 2+ 6=2+3 2+ 6．
19.解：(1)取AD的中点E，连接QE，因为QD=QA，所以QE⊥AD，
因为平面QAD⊥平面ABCD，且平面QAD∩平面ABCD=AD，QE⊂平面QAD，
所以QE⊥平面ABCD，
即点Q到ABCD的距离为QE，
又因为AD=2,QD=QA= 5，
可得QE= QA2−(AD2)2= ( 5)2−12=2，
所以点Q到ABCD的距离为2．
(2)取BC的中点F，连接EF，QF，
因为底面ABCD是正方形，可得EF⊥BC，
由(1)知，QE⊥平面ABCD，且EF⊂平面ABCD，所以QE⊥BC，
因为QE∩EF=E，且QE，EF⊂平面QEF，所以BC⊥平面QEF，
又因为QF⊂平面QEF，所以BC⊥QF，
所以∠QFE为Q−BC−A的平面角，
在直角△QFE中，可得EF=2,QF= QE2+EF2= 22+22=2 2，
所以cs∠QFE=EFQF=22 2= 22，
即二面角Q−BC−A的余弦值为 22．
(3)因为底面ABCD是正方形，且AD=2，所以正方形ABCD的面积为S=4，
设四棱锥P−ABCD的高为ℎ，
因为四棱锥P−ABCD的体积为43，
可得13Sℎ=43，
解得ℎ=1，
分别取QA，QB，QC，QD的中点A1，B1，C1，D1，连接A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，
可得A1B1//C1D1，B1C1//D1A1，
所以A1，B1，C1，D1在同一个平面内，
因为A1B1//AB，B1C1//BC，且A1B1⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
所以A1B1//平面ABCD，同理可证B1C1//平面ABCD，
又因为A1B1∩B1C1=B1，且A1B1，B1C1⊂平面A1B1C1D1，
所以平面A1B1C1D1//平面ABCD，
由(1)知QE⊥平面ABCD，且点Q到ABCD的距离为2，
所以A1D1到ABCD的距离为1，即C1D1到ABCD的距离为1，
即点P在线段C1D1上运动，且点P到平面ABCD的距离为1，
要使得BP与平面ABCD所成角的正弦值的最小值，则BP最长，
即点P与D1重合时，BP与平面ABCD所成角的正弦值取得最小值，
取DE的中点M，因为D1为QD的中点，可得D1M//QE，
因为QE⊥平面ABCD，所以D1M⊥平面ABCD，
连接BM，因为BM⊂平面ABCD，所以D1M⊥BM，
在直角△ABM中，AB=2,AM=32，
可得BM= AB2+AM2= 22+(32)2=52，
在直角△BMD1中，可得BD1= BM2+D1M2= (52)2+12= 292，
则sin∠D1BM=D1MBD1=2 2929，
即BP与平面ABCD所成角的正弦值的最小值为2 2929．