难点03 全等三角形的应用常考题型（5大热考题型）-2025年中考数学一轮复习知识清单（全国通用）

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题型一：全等三角形的性质
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·山东济南·中考真题）如图，已知，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
【变式1-1】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，点，分别是边，上的动点，且，连接，，当的值最小时，的度数为（ ）
A．B．CD．

【变式1-2】（2024·河北秦皇岛·二模）如图，，有以下结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-3】（2024·四川成都·模拟预测）如图，，，且，则的度数为 ．
5．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，，．

(1)求证：；
(2)若，则__________°．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·江苏南通·模拟预测）下面四个几何体中，主视图、左视图、俯视图是全等图形的几何图形是（ ）
A．圆柱B．正方体C．三棱柱D．圆锥
2．（2024·江苏常州·模拟预测）如图，在四边形中，对角线平分，，点在上，．若，，，则的长为 ．
3．（2024·上海·模拟预测）如图，已知点A，B，C在同一直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线同侧，，，，连接DE，设，，，下列结论正确的数量为（ ）
（1） （2） （3）
A．0B．1C．2D．3
4．（2024·广东汕头·一模）如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接．
(1)求证：；
(2)直接写出和的位置关系．
5．（2024·山西·模拟预测）综合与实践
【问题情境】
“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，，将和按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）．当时，延长交于点G，试判断四边形的形状，并说明理由．
【数学思考】
（1）请你解答以上老师提出的问题；
【深入探究】
（2）老师将图2中的绕点B逆时针方向旋转，使点E落在内部，让同学们提出新的问题并请你解答此问题．
“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点A作交的延长线于点M，与交于点N．证明：．
【拓展提升】
（3）如图4，当时，过点A作于点H，若，，求的长．
题型二：添加条件证明三角形全等
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·山东德州·中考真题）如图，C是的中点，，请添加一个条件 ，使．
【典例2】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，中，D是上一点，，D、E、F三点共线，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可）
【变式2-1】（2024·湖南株洲·模拟预测）如图，锐角三角形中，，点，分别在边，上，连接，．下列命题中，假命题是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【变式2-2】（2024·四川成都·模拟预测）如图，已知与相交于点O，．只添加一个条件，能判定的是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-3】（2024·贵州黔东南·一模）如图，点A，B，C，D在同一直线上，，，______．

求证：．
在①；②这两个条件中任选一个作为已知条件，补充在上面的横线上，并加以解答．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·北京西城·二模）如图，点为线段的中点，，点分别在射线上，与均为锐角，若添加一个条件一定可以证明，则这个条件不能是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·黑龙江鸡西·二模）如图，已知，，请你添加一个条件（一个即可）： ，使．
3．（22-23八年级上·福建福州·期中）如图，，点D，E分别在与上，与相交于点F．只填一个条件使得，添加的条件是： ．
4．（2024·北京·模拟预测）如图，，是的两条高线，只需添加一个条件即可证明（不添加其它字母及辅助线），（不添加其它字母及辅助线），这个条件可以是 ．（写出一个即可）
5．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，在和中，与相交于点，，添加一个条件可以证明．
(1)①；②；③；④，上面四个条件可以添加的是______（填序号）．
(2)请你选择一个条件给出证明．
6．（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，．
若________，则．
请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．
7（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知，点，在线段上，且．
请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得．
你添加的条件是：__________（只填写一个序号）．
添加条件后，请证明．
题型三：全等三角的综合问题
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·山东·中考真题）【实践课题】测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离
【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具
【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点．测量，两点间的距离以及和，测量三次取平均值，得到数据：米，，．画出示意图，如图
【问题解决】（1）计算，两点间的距离．
（参考数据：，，，，）
【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：
如图2，选择合适的点，，，使得，，在同一条直线上，且，，当，，在同一条直线上时，只需测量即可．
（2）乙小组的方案用到了________．（填写正确答案的序号）
①解直角三角形 ②三角形全等
【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案．
【典例2】（2024·重庆·中考真题）在中，，点是边上一点（点不与端点重合）．点关于直线的对称点为点，连接．在直线上取一点，使，直线与直线交于点．

(1)如图1，若，求的度数（用含的代数式表示）；
(2)如图1，若，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明；
(3)如图2，若，点从点移动到点的过程中，连接，当为等腰三角形时，请直接写出此时的值．
【变式3-1】（2023·湖南岳阳·一模）如图，在中，，、是边上的点．请从以下三个条件：①；②；③中，选择一个合适的作为已知条件，使得．

(1)你添加的条件是______（填序号）；
(2)添加了条件后，请证明．
【变式3-2】（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在和中，点A、E、B、D在同一条直线上，，，只添加一个条件，不能判断的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2024·四川南充·模拟预测）如图，在中，，，将沿边所在直线翻折得，连接交于点，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-3】（2023·四川成都·二模）如图，是内的一条射线，D、E、F分别是射线、射线、射线上的点，D、E、F都不与O点重合，连接，添加下列条件，能判定的是（ ）
A．，B．，，
C．，D．，
【变式3-4】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作于点E．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【变式3-5】（2024·浙江宁波·三模）如图，在的方格纸中，有，仅用无刻度的直尺，分别按要求作图：
(1)在图1中，找到一格点，使与全等；
(2)在图2中，在上找一点，使得．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·山东烟台·中考真题）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2024·湖南·模拟预测）如图，在正方形中，线段绕点C逆时针旋转到处，旋转角为，点F在直线上，且，连接．
(1)如图1，当时，求证：．
(2)如图2，取线段的中点G，连接，已知，请直接写出在线段旋转过程中（）面积的最大值．
3．（2024·湖北·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点A，与y轴交于点C，与x轴交于点B，C为的中点，．
(1)求的值；
(2)当，时，求x的取值范围．
4．（2023·北京门头沟·二模）如图，在中，，点在延长线上，且，将延方向平移，使点移动到点，点移动到点，点移动到点，得到，连接，过点作于．

(1)依题意补全图形；
(2)求证：；
(3)连接，用等式表示线段，的数量关系，并证明．
5．（2024·浙江宁波·模拟预测）在等边三角形外侧作直线，点关于直线的对称点为，连接，交于点，连接．

(1)依题意补全如图；
(2)若，求；
(3)若，用等式表示线段，，之间的数量关系并证明．
6．（2024·贵州遵义·模拟预测）如图①，在中，，，点在边上，连接，点在射线上，连接．
(1)如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，．求证：；
(2)若点是的中点，连接，求的最小值；
(3)如图②，若于点，求的值．
7．（2024·四川乐山·模拟预测）如图，在中，，作的中点，过作，分别交AB、于、，我们称为等腰的“内接直角三角形”．设，．
(1)如图①，当时，若a=2，时，求内接直角三角形的斜边的长．
(2)如图②，当时，求证：内接直角三角形的斜边满足：；
(3)拓展延伸：如图③，当时，若、分别在、的延长线上，与，还满足（2）的关系式吗？若满足，证明你的结论；若不满足，请探索与，满足的数量关系式，并证明你的结论．
题型四：角平分线性质定理
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·山东德州·中考真题）如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2024·山东青岛·中考真题）已知：如图，四边形，E为边上一点．
求作：四边形内一点P，使，且点P到的距离相等．
【变式4-1】（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，在中，的平分线交于点于点，若的周长为12，则的周长为4，则为（ ）
A．3B．4C．6D．8
【变式4-2】（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ．
【变式4-3】如图，的外角的平分线与相交于点P，若点P到的距离为3，则点P到的距离为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【变式4-4】（2024·陕西西安·三模）如图，已知锐角，，请用尺规作图法，在内部求作一点P．使．且．（保留作图痕迹，不写作法）
44．（2024·四川乐山·一模）如图，在中，，BD是的一条角平分线，点、、分别在BD、、上，且四边形是正方形．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的长．
【变式4-5】（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，，求的长．
【中考模拟即学即练】
1．如图，在中，，用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（2024·广东中山·模拟预测）如图，，，，若，则 ．
3．（2023·北京·模拟预测）如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线交于点D．若，的面积为4，则的面积为 ．

4．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点D，E；②分别以D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点F，若，则的长为 ．
5．（2024·青海·一模）如图，在中，，平分，交于点，过点作于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
6．（2024·广东·模拟预测）如图，已知矩形的平分线交的延长线于点E．
(1)尺规作图：过点B作的垂线交于点G（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)在（1）所作的图形中，连接，若平分，求证：．
7．（2024·江苏南京·三模）我们知道：三角形的三条角平分线交于一点（内心）、三条中线交于一点（重心）、…
（1）如图1，的中线相交于点，连接，易证，可得．如图2．的中线相交于点，同理易证① ．于是，点与点重合，三角形的三条中线交于一点．这样证明两个点（与）是同一点的方法也称为“同一法”．
（2）如图3，是的角平分线，求证：．
由此，得到结论：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．
（3）根据（2）中得到的结论用“同一法”证明：的三条角平分线交于一点．
（4）在中，，，是的角平分线，且，则 ．
8．（2023·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，点与点关于轴对称．
(1)如图1，，平分交于，交于，请直接写出与的数量关系为________；
(2)如图2，平分交于，若，求的度数；
(3)如图3，，点在的垂直平分线上，作交的延长线于，连接，试探究与的数量和位置关系．
10．【思维启迪】
（1）如图1，是的中线，延长到点．使，连接，则与的数量关系为________，位置关系为________．
【思维应用】
（2）如图2，在中，，点为内一点，连接，，延长到点，使，连接，若，请用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由；
【思维探索】
（3）如图3，在中，，，点为中点，点在射线上（点不与点，点重合），连接，过点作，垂足为点，连接．若，，请直接写出的长．

题型五：线段垂直平分线的性质与判定
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·山东济南·中考真题）如图，在正方形中，分别以点A和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点（点在正方形内部），连接并延长交于点．若，则正方形的边长为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2024·江苏镇江·中考真题）如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则 ．
【典例3】（2024·江苏常州·中考真题）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则 ．
【变式5-1】（2024·陕西渭南·二模）如图，点A为和的公共顶点，已知，，请你添加一个条件，使得．（不再添加其他线条和字母）
(1)你添加的条件是______；
(2)根据你添加的条件，写出证明过程．
【变式5-2】（2023·四川眉山·模拟预测）如图，在中，边的垂直平分线交于，交于，若平分，，则 度．
【变式5-3】（2024·四川广元·中考真题）点F是正五边形边DE的中点，连接并延长与CD延长线交于点G，则的度数为 ．

【变式5-4】（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E．
(1)求证：．
(2)若，求证：
【中考模拟即学即练】
1．（2024·福建莆田·模拟预测）如图，在中，，，求作的三等分线．
阅读以下作图步骤：
（1）分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，作直线交于点F，交于点H，画射线；
（2）以点C为圆心，适当的长为半径画弧，交于点M，交于点N；
（3）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点G，画射线，则射线即为所求．
下列说法不正确的是（ ）
A．B．C．D．为等边三角形
2．（2025·贵州·模拟预测）如图，的周长为20，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和N，作直线，交边于点D，连接，则的周长为 ．
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）四边形中，，，，，为AD的中点，若，则的长度为 ．
4．（2024·湖北宜昌·一模）如图，分别以点B和点C为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于A、M两点；作直线；连接；
(1)是什么三角形？说明理由；
(2)在中，是平分线，是平分线．求证：．
5．（2024·甘肃嘉峪关·二模）如图，已知．
(1)尺规作图：作的边AB的垂直平分线，交AB于点D，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若，求DE的长．
6．（2024·广东·模拟预测）如图，在 中，是的角平分线．
(1)实践与操作：用尺规作图法，在上找到一点E使得为以为底边的等腰三角形；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)应用与计算：在（1）的条件下，过点D作交于点F，求证：
7．（2024·湖南·二模）已知直角三角板中，，将该三角板绕点C旋转，得到，连接，．
(1)如图1，将直角三角板逆时针旋转，，写出的度数（不需要说明理由）；
(2)若将直角三角板顺时针旋转，请在图2中补全图形，并求出的度数；
(3)若的平分线交于点G，交直线于点F，连接，试证明：．
题型一：全等三角形的性质
题型二：添加条件证明三角形全等
题型三：全等三角的综合问题
题型四：角平分线性质定理
题型五：线段垂直平分线的性质与判定