人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线第2课时教案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线第2课时教案，共9页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第2课时 双曲线的简单几何性质

一、教学目标
1.会求双曲线的渐近线方程及已知渐近线方程求双曲线方程等问题；
2.掌握直线与双曲线的位置关系及其判定；
3.理解并掌握直线与双曲线的交点个数的判断及求法；
4.会利用双曲线的简单几何性质求双曲线的弦长等简单的应用.

二、教学重难点
重点：直线与双曲线位置关系.
难点：结合图象讨论分析直线与双曲线位置关系.

三、教学过程
复习导入
师生活动：教师提出问题，引导学生进行回顾与思考.
思考：根据所学的椭圆的简单几何性质的有关知识，填写下表：
设计意图：通过复习上一节课的内容，巩固椭圆有关的基础知识，为本节课进一步深入研究椭圆的几何性质相关的问题作铺垫.
（二）探究新知
任务1：双曲线渐近线的求法
探究：求满足下列条件的双曲线的标准方程：
以直线2x±3y=0为渐近线，过点1,2；
与双曲线y24−x23=1具有相同的渐近线，且过点M3,−2；
师生活动：教师给出探究问题，学生分析，自主作答，教师评价.
解：（1）由题意，可设所求双曲线方程为4x2−9y2=λλ≠0.
将点1,2的坐标代入方程得4−36=λ，即λ=−32.
因此，所求双曲线的标准方程为y2329−x28=1.
（2）设所求双曲线方程为y24−x23=λλ≠0.
由点M3,−2在双曲线上得λ=−2.
故所求双曲线的标准方程为x26−y28=1.
总结：求双曲线渐近线的方法：
（1）已知双曲线方程求渐近线方程：
若双曲线方程为x2a2−y2b2=1a>0，b>0，则求其渐近线方程时，可令x2a2−y2b2=0，则xa±yb=0，得y=±bax.
（2）已知渐近线方程求双曲线方程：
若双曲线的渐近线方程为mx±ny=0，则可设双曲线方程为m2x2−n2y2=λλ≠0，
根据已知条件求出λ的值即可.
求与双曲线x2a2−y2b2=1a>0，b>0有公共渐近线的双曲线方程：
与双曲线x2a2−y2b2=1a>0，b>0有公共渐近线的双曲线方程可设为x2a2−y2b2=λλ≠0（λ>0，焦点在x轴上；λ0时，直线与椭圆有两个公共点.
(2)当Δ=0时，直线与椭圆只有一个公共点.
(3)当Δ0.
不同点：交点在同一支上时，两交点的横坐标同号，交点在两支上时，两交点的横坐标异号.由二次方程的根与系数关系，结合直线与双曲线的位置关系的条件可得：
①点A,B在同一支上k≠±baΔ>0xA∙xB>0在左支上k≠±baΔ>0xA∙xB>0xA+xB0xA∙xB>0xA+xB>0；
②点A,B分别在两支上k≠±baΔ>0xA∙xBb>0.
若常数ca>1，即c>a>0，则点M的轨迹为双曲线，方程为x2a2−y2b2=1a>0，b>0.
设计意图：通过例2的学习，获得求双曲线轨迹方程的方法，与教材椭圆一节的例6对比，总结规律，引出圆锥曲线的统一定义，提升学生的数学抽象能力，发展学生的逻辑推理和数学运算等核心素养.
例3：如图所示，过双曲线x23−y26=1的右焦点F2倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，求AB.
师生活动：教师出示例3并指导学生类比椭圆的弦长求法，分析问题，然后由学生独立完成，教师视情况讲解、点评.
解：方法一：由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为F1−3,0,F23,0.
因为直线AB的倾斜角是30°，且经过右焦点F2，所以直线AB的方程为y=33x−3.①
由y=33x−3x23−y26=1，消去y，得5x2+6x−27=0，解方程，得x1=−3，x2=95.
将x1，x2的值分别代入①，得
y1=−23，y2=−235.
于是，A,B两点的坐标分别为−3，−23，95，−235，
所以，AB=x1−x22+y1−y22=−3−952+−23+2352=1635.
方法二：由双曲线的方程得a= 3，b= 6，
∴c= a2+b2=3，F1(−3,0)，F2(3,0)．
∴直线AB的方程为y= 33(x−3)．
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由y= 33(x−3)x23−y26=1得5x2+6x−27=0．
∴x1+x2=−65，x1x2=−275．
∴|AB|= 1+k2|x1−x2|= 1+13⋅ 3625+1085=16 35．
总结：解决与双曲线有关的弦长问题和解决椭圆中的弦长问题类似，有两种方法：
（1）求出两个交点坐标，用两点间距离公式计算；
（2）“设而不求”，根据弦长公式
AB=1+k2∙x1−x2 =1+k2∙x1+x22−4x1x2
或AB=1+1k2∙y1−y2=1+1k2∙y1+y22−4y1y2计算.
设计意图：让学生熟悉直线与双曲线相交时弦长的求法，培养学生的逻辑推理与数学运算的核心素养.
（四）课堂练习
1.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2 33,A,B分别为双曲线C的左、右两个顶点，左顶点A到双曲线C渐近线的距离为 32；
(1)求双曲线C的方程；
(2)若过点0,1且斜率为k的直线l与双曲线C仅有一个交点，求实数k的值．
解：(1)左顶点A−a,0到双曲线C渐近线ay−bx=0的距离为ab a2+b2；
由题意可知： a2+b2a=2 33ab a2+b2= 32a2+b2=c2，则得a= 3b=1c=2，双曲线C的方程为x23−y2=1；
(2)设直线l:y=kx+1，
联立y=kx+1x23−y2=1，消元可得1−3k2x2−6kx−6=0，
1∘若1−3k2=0,则k=± 33，
2∘若1−3k2≠0，则Δ=(−6k)2+241−3k2=24−36k2=0．∴k=± 63
综上，k的值为± 33或± 63．
2.双曲线C的焦点与椭圆x23+y2=1的焦点相同，双曲线C的离心率为 2．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若双曲线C的一弦中点为3,2，求此弦所在的直线方程．
解：(1)设双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，
∵椭圆x23+y2=1的焦点为 2,0，− 2,0，
∴c= 2，
∵双曲线C的离心率为 2，即ca= 2，
解得a=1，∴b= c2−a2=1，
∴双曲线C的方程为x2−y2=1；
(2)设弦的两端分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)．
则有：x12−y12=1x22−y22=1,
所以(x12−x22)−(y12−y22)=0，
即y1−y2x1−x2=x1+x2y1+y2，
∵弦中点为3,2，
∴x1+x2=6y1+y2=4,
故直线的斜率k=y1−y2x1−x2=x1+x2y1+y2=32，
则所求直线方程为：y−2=32(x−3)，
即3x−2y−5=0．
设计意图：通过课堂练习，帮助学生进一步巩固本节可所学的内容，提高学生解决问题的能力.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：通过课堂小结，帮助学生进一步巩固本节课的知识，构建自己的知识体系.图形
方程
x2a2−y2b2=1a>0，b>0
y2a2−x2b2=1a>0，b>0
范围
x≤−a或x≥a，y∈R
y≤−a或y≥a，x∈R
对称性
关于x轴、y轴、原点对称
关于x轴、y轴、原点对称
顶点
A1−a，0，A2a，0
A10，−a，A20，a
离心率
e=ca(e>1)
e=ca(e>1)
渐近线
y=±bax
y=±abx