高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册双曲线精品课件ppt

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知识拓展    1.双曲线的第二定义:平面内到定点F的距离与到定直线l(定点F不在定直线l上)的距离之比为常数e(e>1)的点的集合,其中定点F为双曲线的焦点,定直线l称为双曲线的准线.2.与两定点A1(-a,0),A2(a,0)(a>0)连线的斜率之积为 或e2-1(e>1)的点的轨迹为双曲线(不含A1,A2两点).
1.双曲线的标准方程与简单几何性质
2.等轴双曲线　　实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线,其标准方程为x2-y2=±a2(a>0),等轴双曲线的离心率e= ,两条渐近线互相垂直.3.双曲线 - =1(a>0,b>0)的焦点到渐近线的距离d= =b.4.双曲线 - =1(a>0,b>0)的右支上任意一点到左焦点的最小距离为c+a,到右焦点的最小距离为c-a.
1.将直线方程代入双曲线的方程,根据消元后的方程解的情况可得直线与双曲线的公共点个数(位置关系).设直线l:y=kx+m(m≠0)①,双曲线C: - =1(a>0,b>0)②,把①代入②得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.(1)当b2-a2k2=0,即k=± 时,直线l与双曲线C的渐近线平行,直线与双曲线相交于一点.(2)当b2-a2k2≠0,即k≠± 时,Δ= -4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2).Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点;Δ=0⇒直线与双曲线有一个公共点;Δb>0)和双曲线 - =1(a>b>0)的焦点虽然不同,但都满足c2=a2+b2,正确吗?3.双曲线 - =1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,若|PF1|=5,则|PF2|的值是1或9吗?4.双曲线的渐近线和双曲线存在确定的对应关系,这种说法正确吗?5.双曲线的离心率e越大,其“张口”越大吗?
一语破的1.不正确.在双曲线的定义中要注意两点:①0b,a与b的大小关系不确定.3.不是.双曲线 - =1中,a=2,b=2 ,c= =4,若点P在双曲线的右支上,则|PF1|≥a+c=6,若点P在双曲线的左支上,则|PF1|≥c-a=2,由|PF1|=5可得P在双曲线的左支上,则|PF2|-|PF1|=2a=4,故|PF2|=5+4=9.4.不正确.每一个双曲线对应一组确定的渐近线,但是对于每一组固定的渐近线,存在焦点在x轴上的双曲线和焦点在y轴上的双曲线(我们称这一组双曲线为共轭双曲线)与之对应.5.是.e= = = ,故e越大, 越大,即渐近线y= x的斜率越大,从而“张口”越大.
 1.定义法　　根据双曲线的定义确定a,b的值,结合焦点位置写出双曲线的标准方程.2.待定系数法(1)根据焦点位置,设其方程为 - =1(a>0,b>0)或 - =1(a>0,b>0),焦点位置不定时,可设为mx2+ny2=1(mn0,b>0)的离心率相等的双曲线方程可设为 - =λ(λ>0)或 - =λ(λ>0).注:已知离心率不能确定焦点位置.(3)与渐近线有关的双曲线标准方程的设法:
①与双曲线 - =1(a>0,b>0)具有相同渐近线的双曲线方程可设为 - =λ(a>0,b>0,λ≠0).②渐近线方程为y=kx(k≠0)的双曲线的方程可设为k2x2-y2=λ(k≠0,λ≠0).③渐近线方程为ax±by=0(a>0,b>0)的双曲线的方程可设为a2x2-b2y2=λ(a>0,b>0,λ≠0).(4)与双曲线 - =1(a>0,b>0)共焦点的双曲线方程可设为 - =1(λ≠0,-b20).因为a=2 ,且点(2,-5)在双曲线上,所以 - =1,解得b2=16.故所求双曲线的标准方程为 - =1.(2)解法一:若双曲线的焦点在x轴上,设双曲线的方程为 - =1(a>0,b>0),由于点P 和Q 在双曲线上,所以 此方程组无实数解.若双曲线的焦点在y轴上,设双曲线的方程为 - =1(a>0,b>0),由于点P 和Q 在双曲线上,
所以 解得 所以双曲线的标准方程为 - =1.解法二:设双曲线的方程为 + =1(mn0,b>0).由题意可得c= =2 .因为双曲线过点(3 ,2),所以 - =1.又因为a2+b2=(2 )2,所以a2=12,b2=8,故所求双曲线的标准方程为 - =1.解法二:设双曲线的标准方程为 - =1(-40).由题意得 解得 
故所求双曲线的标准方程为 - =1.(5)解法一:当焦点在x轴上时,设双曲线的标准方程为 - =1(a>0,b>0),则 = .①因为点(2,-3)在双曲线上,所以 - =1.②联立①②,无解.当焦点在y轴上时,设双曲线的标准方程为 - =1(a>0,b>0),则 = .③因为点(2,-3)在双曲线上,所以 - =1.④联立③④,解得a2=8,b2=32.故所求双曲线的标准方程为 - =1.解法二:设双曲线的方程为 -y2=λ(λ≠0).
因为(2,-3)在双曲线上,所以 -(-3)2=λ,即λ=-8.故所求双曲线的标准方程为 - =1.
 1.双曲线上一点P(不在坐标轴上)与其两个焦点F1,F2构成的三角形PF1F2称为焦点三角形.令|PF1|=r1,|PF2|=r2,∠F1PF2=θ,|F1F2|=2c,则①定义:|r1-r2|=2a.②余弦定理的应用:4c2= + -2r1r2cs θ.③面积公式: = r1r2sin θ= =c|yP|.④设∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,则双曲线的离心率e= = = = = .
⑤焦点三角形PF1F2的内切圆圆心的横坐标恒为定值a或-a.　　推导:设焦点三角形F1PF2内切圆的圆心为I,P在右支上,设I的横坐标为xI,△F1PF2的内切圆与三边的切点分别为M,N,R,如图所示,则|F1R|-|F2R|=|F1M|-|F2N|=|F1M|+|PM|-(|F2N|+|PN|)=|PF1|-|PF2|=2a,即c+xI-(c-xI)=2a,解得xI=a.同理可得点P在左支上时,xI=-a. 2.由三角形的边角关系(正、余弦定理)和双曲线的定义等知识可以解决焦点三角形的面积、周长及有关角、变量的范围等问题.
典例 (1)设F1,F2分别是双曲线x2- =1的左、右焦点,P是双曲线上的一点,且3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2的面积为(　    )A.4 　    B.8 　    C.24　    D.48(2)双曲线 - =1上的点P到一个焦点的距离为11,则它到另一个焦点的距离为(　    )A.1或21　    B.14或36C.1　    D.21(3)若F1,F2是双曲线 - =1的两个焦点,P是双曲线上的点,且∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为　　　　    .
解析：(1)易知点P在双曲线的右支上,则 解得 易得|F1F2|=10,∴△PF1F2是直角三角形,∴ = |PF1|·|PF2|=24.故选C.(2)设点P到另一个焦点的距离为m(m>0).∵点P到一个焦点的距离为11,∴由双曲线的定义得|11-m|=10,∴m=1或m=21.∵a2=25,b2=24,∴a=5,c= =7,∴m≥c-a=2,∴m=1不符合题意,舍去.
∴m=21.故选D.(3)由题意可知a=3,b=4,c= =5.由双曲线的定义和余弦定理得||PF2|-|PF1||=6,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2·|PF1||PF2|cs 60°,∴102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,∴|PF1|·|PF2|=64.∴ = |PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2= ×64× =16 .
易错警示    已知双曲线上一点到一焦点的距离,根据定义求该点到另一焦点的距离时要注意双曲线上的点到焦点的距离的取值范围,设点P在双曲线左支上,左焦点为F1,右焦点为F2,则|PF1|≥c-a,|PF2|≥c+a.
　 1.求双曲线的离心率(1)易求a,c时,直接利用e= 求解,有时要结合c2=a2+b2求解.(2)构建关于a,c的齐次方程,利用e= 将齐次方程转化为有关e的方程,解方程即可,要注意e>1.2.求双曲线离心率的取值范围　　利用题设中的条件,结合c2=a2+b2,构造关于a,c的齐次不等式,结合e>1确定离心率的范围.解题时注意利用图形中的位置关系(如三角形中的边角关系,曲线上的点到焦点的距离的范围等).
典例 (1)已知F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,P为该双曲线上一点,若△PF1F2为等腰直角三角形,则该双曲线的离心率为 (　    )A. +1　    B. +1　    C.2 　    D.2 (2)设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为 (　    )A. 　    B. C. 　    D. (3)已知圆C:x2+y2-10y+21=0与双曲线 - =1(a>0,b>0)的渐近线相切,则该双曲线的离心率是　　　    .
解析：(1)不妨设双曲线的方程为 - =1(a>0,b>0),点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2a.∵△PF1F2是等腰直角三角形,∴∠PF2F1=90°,∴|PF2|=|F1F2|=2c,∴|PF1|=2a+|PF2|=2a+2c,∴(2a+2c)2=2·(2c)2,即c2-2ac-a2=0,两边同除以a2,得e2-2e-1=0.∵e>1,∴e= +1.故选B.(2)不妨设双曲线的方程为 - =1(a>0,b>0),F(c,0),B(0,b),则与直线FB垂直的渐近线方程为y= x.易知kBF=- ,∴ · =-1,即b2=ac,
∴c2-a2-ac=0,两边同除以a2,得e2-e-1=0,解得e= 或e= (舍去).故选D. (3)易得双曲线 - =1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=± x,即bx±ay=0,圆C:x2+y2-10y+21=0可化为x2+(y-5)2=4,故圆心为C(0,5),半径r=2,由圆C与双曲线的渐近线相切可得 =2,即 =2,可得e= = .
 1.将直线方程与双曲线方程联立,消元后,用判别式、根与系数的关系和中点坐标公式求解.2.用“点差法”和中点坐标公式求解问题时,要注意检验.在直线与椭圆的相交弦问题中,也是利用“点差法”和中点坐标公式求解,因为一定存在过椭圆内一点的直线,并且该点为直线被椭圆所截得的弦的中点,所以无检验环节;但是在直线与双曲线的中点弦问题中,该直线不一定存在,因此需要检验.
典例 已知双曲线的方程为x2- =1,是否存在被点B(1,1)平分的弦?如果存在,求出弦所在的直线方程;如果不存在,请说明理由.
解法二:假设存在被B(1,1)平分的弦.设弦的两端点分别为M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=2,且 ①-②,得(x1+x2)(x1-x2)- (y1+y2)(y1-y2)=0.∴kMN= =2,∴直线MN的方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.由 消去y,得2x2-4x+3=0,
∴Δ=-80,得-