九年级上学期第二次月考数学试题 (10)

这是一份九年级上学期第二次月考数学试题 (10)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 企业标志反映了思想、理念等企业文化，在设计上特别注重对称美，下列企业标志图为中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．
2. 下列事件是必然事件的是（ ）
A. 经过有信号灯十字路口，遇见红灯
B. 从一副扑克牌中任意抽出一张是黑桃
C. 在一个三角形中，任意两边之和大于第三边
D. 射击运动员射击一次，命中靶心
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了事件的分类，理解“在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，叫做随机事件；在一定条件下，必然发生的事件，叫做必然事件；在一定条件下，一定不会发生的事件，叫做不可能事件．”是解题的关键．
【详解】A. 经过有信号灯的十字路口，遇见红灯是随机事件，故不符合题意；
B. 从一副扑克牌中任意抽出一张是黑桃是随机事件，故不符合题意；
C. 在一个三角形中，任意两边之和大于第三边是必然事件，故符合题意；
D. 射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故不符合题意；
故选：C．
3. 已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为（ ）
A. 0B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】将代入，得，再根据一元二次方程的定义确定a的值即可．
【详解】解：将代入，得，
解得，
∵一元二次方程，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】此题考查了解一元二次方程，一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的解及解一元二次方程的定义是解题的关键．
4. 如图将绕点A顺时针旋转到，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质得，，进而可求解，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：将绕点A顺时针旋转到，且，
，，
，
故选B．
5. 如图，在中，C是的中点，D是上一点，若，则的度数为（ ）

A. 70°B. 55°C. 40°D. 27.5°
【答案】D
【解析】
【分析】根据弧、弦、圆心角定理，得，根据圆周角定理进一步求解．
【详解】解：连接，∵C是的中点，
∴.
∵.
∴.
故选：D
【点睛】本题考查圆的弧、弦、圆心角关系定理、圆周角定理；由定理得到角之间的关系是解题的关键．
6. 一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示．现测得，当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离为，这时离开水面处，涵洞宽是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设抛物线解析式为，结合题意转化点带入求解即可得到答案；
【详解】解：设抛物线解析式为，
∵当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离为，
∴，
解得：，
∴，
当时，，
解得：，
∴，
∴涵洞宽是，
故选：C．
【点睛】此题考查了二次函数的应用（拱桥模型），解题的关键是根据题意，正确求得二次函数的解析式．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7. 点关于原点对称的点在第_________________象限．
【答案】一
【解析】
【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，进行求解即可．
【详解】解：点关于原点对称的点为，在第一象限；
故答案为：一．
8. 若一条抛物线与图象的形状相同且开口向下，顶点坐标为，则这条抛物线的解析式为_________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系，根据抛物线与图象的形状相同且开口向下得到这条抛物线的二次项系数为，再根据顶点坐标即可得到对应的解析式．
【详解】解：∵一条抛物线与图象的形状相同且开口向下，
∴这条抛物线的二次项系数为，
又∵这条抛物线的顶点坐标为，
∴这条抛物线的解析式为，
故答案为：．
9. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程有两个不相等实数根则可知根的判别式大于，直接列不等式求解即可．
【详解】解：由题意知：
解得．
故答案为：
【点睛】此题考查一元二次方程根的情况，解题关键是一元二次方程有两个不相等的实数根时．
10. 已知的半径为，线段的长为，则点P在_______（填“内”、“外”或“上”）．
【答案】内
【解析】
【分析】题考查了点与圆的位置关系：设圆的半径为r，点到圆心的距离d，则有点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内．
【详解】解：∵的半径为，线段的长为，
即点到圆心的距离小于圆的半径，
∴点P在内．
故答案为：内 ．
11. 一个盒子中装有20颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星和15颗黄色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右，则袋中红色幸运星颗数约为_____颗．
【答案】35
【解析】
【分析】设袋中红色幸运星有颗，根据“摸取到红色幸运星的概率稳定在0.5左右”列出关于的方程，解之可得袋中红色幸运星的个数．
【详解】设袋中红色幸运星有颗，
根据题意，得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
故答案为：35．
【点睛】本题主要考查了已知概率求相关数量，正确列出方程是解题的关键．
12. 如图是一把折扇，它完全打开时是一个扇形，张角，若，则此时扇形弧长为______（结果保留）．
【答案】
【解析】
【分析】利用弧长公式计算即可．
【详解】解：这把扇子打开到最大时的扇形的弧长．
故答案为：.
【点睛】本题考查弧长公式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
13. 二次函数的图象如图所示，则______0（填“”，“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线的开口方向，判断的符号，根据对称轴的位置，判断的符号，进而得到的符号．
【详解】解：由图象，可知：抛物线的开口向上：，
对称轴在的右侧：，即：，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的图象与二次函数的系数之间的关系．熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．
14. 如图，是的外接圆，若，弦是内接正多边形的一边，则该正多边形的边数为___________．

【答案】十二##12
【解析】
【分析】连接，，由圆周角定理可得，即可求解．
【详解】解：连接，，如下图：

由圆周角定理可得：，
，
则该正多边形是正十二边形，
故答案为：十二．
【点睛】此题考查了圆与正多边形，涉及了圆周角定理，解题的关键是求得的度数．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15. 解方程:.
【答案】，
【解析】
【分析】先找出，，，求出的值，再代入求根公式求得答案即可．
【详解】解：，
，
，
所以，．
【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，找出，，，求出的值，是解此题的关键．
16. 已知抛物线的对称轴为直线，与y轴交于点．
（1）求a和h的值；
（2）求该抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式．
【答案】（1），；
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用对称轴为直线，可得，
（2）根据原抛物线为，顶点坐标为：，求出关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为，即可求出关于y轴对称的抛物线的解析式为．
【小问1详解】
解：∵对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与y轴交于点，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：由（1）可知：该抛物线为：，顶点坐标为：
∴抛物线关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为，
∴该抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式为．
【点睛】本题考查二次函数的顶点式的图形及性质，点关于y轴对称的性质．
17. 为了解我国的数学文化，小明和小红从《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》(依次用A、B、C表示)三本书中随机抽取一本进行阅读，小明先随机抽取一本，小红再从剩下的两本中随机抽取一本．请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果．并求抽取两本书中有《九章算术》的概率．
【答案】
【解析】
【分析】画树状图展示所有6种等可能结果，再找出抽取两本书中有《九章算术》的结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】解：画树状图为：

共有种等可能的结果，其中抽取两本书中有《九章算术》的结果数为种，
所以抽取两本书中有《九章算术》的概率为
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出再从中选出符合事件或的结果数目然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
18. 如图，四边形为的内接四边形，是的直径，，．求的度数．

【答案】
【解析】
【分析】由圆周角定理及直角三角形的性质得到，由三角形内角和定理求出的度数，由圆周角定理即可求出的度数．
【详解】解：∵是的直径，
【点睛】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦的关系，掌握以上知识点是解题的关键．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19. 如图，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余部分面积为，求原正方形空地的边长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设原正方形空地的边长为，则剩余部分长，宽，根据剩余部分面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设原正方形空地的边长为，则剩余部分长，宽，，
依题意得：
整理得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：原正方形空地的边长为．
20. 如图，已知抛物线经过点．

（1）求的值及此抛物线的顶点坐标；
（2）当时，直接写出的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质，关键是利用二次函数的性质解题．
（1）把点代入，求出的值，再化为顶点式，即可作答．
（2）结合二次函数的性质，以及，即可作答．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点．
∴把代入
得
∴
则
∴顶点坐标为；
【小问2详解】
解：由（1）知
∴开口向下，在时，
则当时，则
当时，则
则当时，直接写出的取值范围
21. 如图，，是的两条切线，切点分别为，，连接并延长交于点，过点作的切线交的延长线于点，于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长.．
【答案】（1）见详解；（2）5
【解析】
【分析】（1）根据切线的性质和矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据切线长定理可得AB=AC，BE=DE，再利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵，DE是的两条切线，于点
∴∠EFC=∠EDC=∠FCD=90°，
∴四边形是矩形；
（2）∵四边形是矩形，
∴EF=，CF=，
∵，，DE是的两条切线，
∴AB=AC，BE=DE，
设AB=AC=x，则AE=x+2，AF=x-2，
在中，，
解得：x=5，
∴AC=5．
【点睛】本题主要考查切线长定理和勾股定理以及矩形的判定定理，掌握切线长定理以及勾股定理是解题的关键．
22. 图①、图②是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，点、在小正方形的顶点上．
（1）在图①中画一个四边形（点、在小正方形的顶点上），使四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；
（2）在图②中画一个四边形（点、在小正方形的顶点上），使四边形既是中心对称图形又是轴对称图形，且面积为4．
【答案】（1）图见解析
（2）图见解析
【解析】
【分析】本题考查格点作图，轴对称图形和中心对称图形，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质．掌握相关定义和定理，是解题的关键；
（1）构造一个平行四边形即可；
（2）构造一个对角线的长分别为2，4的菱形即可．
【小问1详解】
解：如图，平行四边形即为所求（答案不唯一）；
【小问2详解】
如图，菱形即为所求；
五、解答题（每小题8分，共16分）
23. 如图，以的边为直径作交边于点D，恰有．
（1）求证：与相切；
（2）在上取点E，使得，若，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据直径所对的圆心角等于，可得，再利用，可得，即可证明；
（2）连接，直线与的交点记为，证明为等边三角形，求出，证明，则可得与的面积相等，根据扇形面积公式计算即可解答．
【小问1详解】
证明：为直径，
，
，
，
，
即，
与相切；
【小问2详解】
解：如图，连接，直线与的交点记为，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
根据三线合一，可得，
，
阴影部分面积等于扇形的面积为．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，扇形的面积计算，垂径定理，等边三角形的判定和性质，作出辅助线，得到与的面积相等是解题的关键．
24. 在中，，将在平面内绕点顺时针旋转得到，其中点的对应点为点，连接．
（1）若，如图①，求的度数；
（2）当点在边上时，如图②，若，，求的长．
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】本题考查了旋转性质以及三角形内角和性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先由旋转性质，得，结合三角形内角和列式计算即可作答．
（2）设的长为，由旋转性质，得，先得，再在，代入数值计算即可作答．
【小问1详解】
解：∵将在平面内绕点顺时针旋转得到，
∴
∴；
【小问2详解】
解：过点A作，
∵，
∴的长为，，
∵将在平面内绕点顺时针旋转得到，
∴，
则在，，
即，
整理得，
解得（舍去），
∴的长为3．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25. 如图，在矩形中，，，为边上一点，，连接． 动点、从点同时出发，点以的速度沿向终点运动；点以的速度沿折线向终点运动． 当有一点到达终点时另一点也随之停止运动，设点运动的时间为，在运动过程中，点、经过的路线与线段围成的图形面积为．
（1） ， 度；
（2）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）当的值为5时，直接写出的值．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数在面积问题中的应用，矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理等；
（1）由矩形的性质得，由勾股定理可求，由等腰三角形的性质可求，即可求解；
（2）①当时，，，过作交于，由勾股定理得可求出，即可求解；②当时，由即可求解；
（3）①当时，求出后判断是否在范围内，即可求解； ②当时，则有，求出后判断是否在范围内，即可求解；
能根据的不同位置，确定的范围进行分类讨论是解题的关键．
【小问1详解】
解：四边形是矩形，
，
，
（），
，
；
故答案：，；
【小问2详解】
解：①如图，当时，
，，
过作交于，
，
，
，
，
解得：，
；
②如图，当时，
，，
，
过作交于，
由①同理可求，
，
；
综上所述：；
【小问3详解】
解：①当时，则有
，
解得：，（舍去），
，
此种情况不存在；
②当时，则有
，
整理得：，
解得：，，
（舍去），
故值为．
26. 如图①，二次函数与轴交于点、，且点在点的右侧，与轴交于点，连接．

（1）求抛物线的对称轴；
（2）求直线的解析式；
（3）如图②，点是轴下方、抛物线对称轴右侧图象上的一动点，连接，过点作，与抛物线的另一个交点为，、为上的两点，且轴，轴．
①当为直角三角形时，求点的坐标；
②是否存在点，使得与互相平分，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】（1）直线
（2）
（3）①或②存在，
【解析】
【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线，代值即可求解；
（2）当时，当时，解方程即可求求出、的坐标，用待定系数法即可求
（3）①设点的横坐标为，则，，可求，（ⅰ）当时，，即可求解；（ⅱ）当时，，即可求解；②由平行四边的判定方法四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得， 设点的横坐标为，可得点，的横坐标均为，，， 过作交的延长线于，由等腰三角形的性质得，即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得，
，
抛物线的对称轴为直线；
【小问2详解】
解：当时，，
当时，
，
解得：，，
，；
设直线的解析式为，则有
，
解得，
直线的解析式为；
【小问3详解】
解：①设点的横坐标为，
则，
，
，
（ⅰ）如图，当时，

，
，
轴，
，
，
，
，
，
；
（ⅱ）如图，当时，

由（ⅰ）得：，
过作轴交于，
，
，
，
，（舍去），
，
，
综上所述：点的坐标为或；
②存在，理由如下：
与相互平分，
四边形为平行四边形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
是的中点，
设点的横坐标为，
点，的横坐标均为，
，
，
，
，
与轴夹角为，
，
如图，过作交的延长线于，

，
，
，
，
整理得：，
解得：，（舍去），
当时，
，
．