九年级上学期第二次月考数学试题 (6)

这是一份九年级上学期第二次月考数学试题 (6)，共20页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时间：120分钟 满分：120分
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1. 下列方程中，一元二次方程有（ ）
①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③；④x2＝1；⑤
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】解：①符合一元二次方程定义，正确；
②方程含有两个未知数，错误；
③不是整式方程，错误；
④符合一元二次方程定义，正确；
⑤符合一元二次方程定义，正确．
故选B．
【点睛】判断一个方程是否是一元二次方程时，首先判断方程是整式方程，若是整式方程，再把方程进行化简，化简后是含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，在判断时，一定要注意二次项系数不是0．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，属于基础的几何变换考查，难度不大．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
3. 如图，是的直径，点、是上的点，若，则的度数为（ ）

A. 65°B. 55°C. 60°D. 75°
【答案】A
【解析】
【分析】由AB为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB=90°，又由∠CAB=25°，得出∠B的度数，根据同弧所对的圆周角相等继而求得∠ADC的度数．
【详解】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=25°，
∴∠ABC=90°-∠CAB=65°，
∴∠ADC=∠ABC=65°．
故选A．
【点睛】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
4. 如图，二次函数的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（ ）

A. x＜﹣2B. ﹣2＜x＜4C. x＞0D. x＞4
【答案】B
【解析】
【详解】当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是：﹣2＜x＜4．
故选B．
5. 如图，已知正方形的边长为3，如果将线段绕着点B旋转后，点D落在的延长线上的处，则的长为（ ）

A. 6B. C. 18D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，旋转的性质；
根据正方形的性质和勾股定理求出，可得，然后利用勾股定理计算的长即可．
【详解】解：∵在正方形中，，
∴，
由旋转得，
∵，
∴，
故选：B．
6. 小强和小华两人玩“剪刀、石头、布”游戏，随机出手一次，则两人平局概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】小强和小华玩“石头、剪刀、布”游戏，所有可能出现的结果列表如下：
∵由表格可知，共有9种等可能情况．其中平局的有3种：（石头，石头）、（剪刀，剪刀）、（布，布）．
∴小明和小颖平局的概率为：．
故选B．
考点：概率公式.
二、填空题（每小题3分，共24分）
7. 若方程是关于一元二次方程，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【详解】∵方程是一元二次方程，
∴，
∴．
点睛：本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程，根据定义解答即可.
8. 将二次函数的图象沿x轴向左平移2个单位，则平移后的抛物线对应的二次函数的表达式为_________．
【答案】．
【解析】
【详解】试题分析：平移后二次函数解析式为：，故答案为．
考点：二次函数图象与几何变换．
9. 已知点P（﹣2，3）关于原点的对称点为M（a，b），则a+b=________．
【答案】-1
【解析】
【详解】解：根据两点关于原点对称的点的坐标特征可得，a=2，b=-3，所以a+b=2+（-3）=-1．
故答案为：-1．
【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标特征．
10. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点D落在边上，若线段，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质，先根据旋转性质得到，，再证明是等边三角形即可，解答本题的关键是判定出是等边三角形．
【详解】解：∵绕点A顺时针旋转得到，点D落在边上，
∴，，
∴为等边三角形，
∴
故答案为：3．
11. 如图，AD是⊙O的直径，弦BC⊥AD于E，AB=BC=12，则OC=______．
【答案】4
【解析】
【详解】解：如图，连接BD；
∵直径AD⊥BC，
∴BE=CE=BC=6；
由勾股定理得：
AE=；
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ABD=90°；
由射影定理得：
AB2=AE•AD
∴AD==
∴OC=AD=.
12. 如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB＝90°，以AB为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为________．
【答案】
【解析】
【详解】在Rt△AOB中，由勾股定理得AB＝，S半圆＝×＝，S△AOB＝OB×OA＝，S扇形OBA＝＝，故S阴影＝S半圆＋S△AOB－S扇形OBA＝，故答案为.
13. 经过某个路口的汽车，它可能继续直行或向右转，若两种可能性大小相同，则两辆汽车经过该路口全部继续直行的概率为___．
【答案】##0.25
【解析】
【分析】列举出所有情况，看两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的情况占总情况的多少即可．
【详解】解：画树状图得出：
∴一共有4种情况，两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的有一种，
∴两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的概率是：．
故答案为．
【点睛】本题考查了用树状图或列表法求事件的概率，关键是列出表或画出树状图，找到所有可能的结果数及某事件发生的结果数．
14. 某企业今年第一月新产品的研发资金为万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长的都是，则该厂今年第三月新产品的研发资金（元）关于的函数关系式为________．
【答案】
【解析】
【分析】由一月份新产品的研发资金为100万元，根据题意可以得到2月份研发资金为100（1+x）万元，而三月份在2月份的基础上又增长了x，那么三月份的研发资金也可以用x表示出来，由此即可确定函数关系式．
【详解】∵一月份新产品的研发资金为100万元，
2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，
∴2月份研发资金为100（1+x），
∴三月份的研发资金为y=100（1+x）×（1+x）=100（1+x）2．
故答案是：100（1+x）2．
【点睛】考查了根据实际问题二次函数列解析式，解题关键是运用了平均增长率的问题，可以用公式a（1±x）2=b来解题．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，把方程化为，可得两个一次方程，再解一次方程即可，掌握利用因式分解的方法解一元二次方程是关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得：，．
16. 若方程是关于x的一元二次方程，求m的值．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义得出且，即可求解．
【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程，
∴，且，
解得．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
17. 如图，已知AB、CD是⊙O的两条弦，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE=OF，求证：AB=CD．
【答案】证明见解析.
【解析】
【详解】试题分析:先利用HL定理可证得△OBE≌△ODF,可证BE=DF,继而可证AB=CD.
试题解析:如图,∵OE⊥AB,OF⊥CD,
∴AE=BE,CF=DF,在△OBE与△ODF中,
,
∴△OBE≌△ODF（HL）,
∴BE=DF,2BE=2DF,
即AB=CD.
18. 如图，将绕点A按逆时针方向旋转，使点B落在BC边上的点D处，得.若，，求的度数.
【答案】20°
【解析】
【分析】由旋转的性质可得∠AED=∠ACB=40°，∠BAD=∠DAE, AB=AD，AC=AE, 又因为DE∥AB，所以∠BAD=∠ADE，列出方程求解可得出∠BAD=60°，所以∠ACE=∠AEC =60°，∠DEC=∠AEC-∠AED=60°-40°=20°
【详解】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转后得△ADE，
∴∠AED=∠ACB=40°，∠BAD=∠DAE, AB=AD，AC=AE,
∴∠ABD=∠ADB，∠ACE=∠AEC，
∵DE∥AB，
∴∠BAD=∠ADE
设∠BAD=x, ∠ABD=y,=z,可列方程组：
∴
解得：x=60°
即∠BAD=60°
∴∠ACE=∠AEC =60°
∴∠DEC=∠AEC-∠AED=60°-40°=20°
【点睛】此题考查了旋转的性质以及平行线的性质．注意掌握旋转前后图形的对应关系以及方程思想的应用是关键．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19. 某商店原来平均每天可销售某种水果200千克，每千克可盈利6元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可所多售出20千克．
（1）设每千克水果降价元，平均每天盈利元，试写出关于的函数表达式；
（2）若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元？
【答案】（1）；（2）2元．
【解析】
【分析】(1)根据“每天利润=每天销售质量×每千克的利润”即可得出关于的函数表达式；
(2) 令中，建立一元二次方程即可求解.
详解】解：（1）根据题意得：
；
（2）令中，
则有，
即，
解得：（舍去），或．
答：若要平均每天盈利960元，则每千克应降价2元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的数量×每千克盈利=每天销售的利润是解题关键．
20. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）画出绕点A按逆时针方向旋转90°后的；
（2）在（1）的条件下，求点C旋转到点所经过的路线长（结果保留）．
【答案】（1）画图见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据图形旋转的性质画出图形即可得到答案；
（2）先根据勾股定理求出AC的长，再由弧长公式：，即可得出结论．
【详解】解：（1）如图所示，即为所求：
（2）∵
∴点C旋转到所经过的路线长：
【点睛】本题考查的是旋转的作图，勾股定理的应用，弧长的计算，掌握以上知识是解题的关键．
21. 如图，是由在平面内绕点旋转得到的，且，，连接．
（1）求证：；
（2）试判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质及角度间的关系得出，根据即可证明结论；
（2）根据全等三角形的性质及菱形的判定方法即可得出结果．
【小问1详解】
证明：∵由旋转可知，，，，，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴；
【小问2详解】
解：结论：四边形是菱形．
理由：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、菱形的判定、旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．
22. 如图，两个标有数字的转盘，转动两个转盘各1次，将所转到的数字相加，结果为偶数时，小刚得2分，否则小明得2分．
（1）小刚和小明得分的概率分别是多少？
（2）这个游戏对双方公平吗？如果不公平，请你修改一下规则使之公平．
【答案】（1）小刚：，小明：
（2）这个游戏对双方不公平，见解析
【解析】
【分析】本题考查的是利用画树状图的方法求解随机事件的概率，游戏的公平性问题，理解解决游戏公平性问题的方法是解本题的关键．
（1）画树状图，得到所有等可能的结果数，再利用概率公式进行计算即可；
（2）根据得分情况，再结合得分情况，可得游戏不公平，结合得分修改游戏规则，从而可得答案．
【小问1详解】
解：画树状图如图．
∵共有12种等可能的结果，所转到的数字相加结果为偶数的有5种情况，
∴P（小刚得分），P（(小明得分）．
【小问2详解】
∵结果为偶数小刚得2分，结果不为偶数小明得2分，且P（小刚得分）P（(小明得分），
∴这个游戏对双方不公平．
新规则：将所转到的数字相加结果为偶数时，小刚得7分，否则小明得5分．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23. 如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作交AB于点F，连接DB交于点H，E是BC上的一点，且，连接DE．
（1）求证：DE是的切线．
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析；（2）的半径为．
【解析】
【分析】（1）如图1，连接DF，先根据菱形的性质和SAS证明△DAF≌△DCE，得，再由AD是圆的直径得∠AFD=90°，于是∠DEC=90°，然后利用可得∠ADE=90°，问题即得证明；
（2）如图2，连接AH，先根据等腰三角形三线合一的性质得出，再由DF是和的公共的直角边，根据勾股定理列出关于AD的方程，解方程即可求出AD的长，进一步即可求出圆的半径.
【详解】（1）证明：如图1，连接DF，
∵四边形ABCD为菱形，
∴，，，
∵，∴，即，
∴≌，∴.
∵AD是直径，∴，∴.
∵，∴，∴.
∵OD是的半径，∴DE是的切线；
（2）解：如图2，连接AH，
∵AD是的直径，∴，∴，
∵，，∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴的半径为．
【点睛】本题以菱形为载体，综合考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、圆的切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的性质和勾股定理等知识，知识点多、综合性强，解答时需注意知识的前后联系，灵活运用方程思想.
24. 平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝+bx+c经过（﹣1， +2m+1）、（0， +2m+2）两点，其中m为常数．
（1）求b的值，并用含m的代数式表示c；
（2）若抛物线y＝+bx+c与x轴有公共点，求m的值；
（3）设（a，）、（a+2，）是抛物线y＝+bx+c上的两点，请比较﹣与0的大小，并说明理由．
【答案】（1）b＝2，c＝
（2）m＝﹣1 （3）a≥﹣2时，，a＜﹣2时，，理由见解析
【解析】
【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式即可求解；
（2）令y＝0，得+2m+2＝0，根据题意可得，即可求解；
（3）计算＝4（a+2），根据的值分类讨论即可求解．
【小问1详解】
∵抛物线y＝x2+bx+c经过（﹣1，m2+2m+1）、（0，m2+2m+2）两点，
∴，
∴，
即：b＝2，c＝，
【小问2详解】
由（1）得y＝，
令y＝0，得+2m+2＝0，
∵抛物线与x轴有公共点，
∴＝4﹣4（+2m+2）≥0，
∴≤0，
∵≥0，
∴m+1＝0，
∴m＝﹣1；
【小问3详解】
由（1）得，y＝，
∵（a，）、（a+2，）是抛物线的图象上的两点，
∴，，
∴
＝4（a+2）
当a+2≥0，即a≥﹣2时，，
当a+2＜0，即a＜﹣2时，．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线与直线交点问题，比较函数值的大小，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25. 某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是60元，根据市场调查，在一段时间内，销售单价是80元时，销售量是200件，而销售单价每降低1元，就可多售出20件．
（1）写出销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，商场销售该品牌童装获得的利润为4000元？
（3）若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于76元，则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）70元或80元 （3）4480元
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用、一元二次方程的应用、二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解本题的关键．
（1）设销售单价为x元，根据题意列出函数关系式即可；
（2）根据题意列出方程求解即可；
（3）设商场销售该品牌童装获得的利润为w（元），根据题意列出函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：设销售单价为x元（），根据销售单价每降低1元，就可多售出20件，销售单价是80元时，销售量是200件，得，即；
【小问2详解】
解：由题意得 ，
解得，；
答：销售单价为70元或80元时，商场销售该品牌童装获得的利润为4000元．
【小问3详解】
解：设商场销售该品牌童装获得的利润为w（元），则w与x之间的函数关系式为：，
整理得：，
，又，
当，随增大而减小，
当时，，
答：这段时间商场最多获利4480元．
26. 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点，点，如图所示：抛物线经过点．
（1）求点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否还存在点（点除外），使仍然是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）点与点都在抛物线上，点不在抛物线上
【解析】
【分析】考查了全等三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质等知识．解题关键是要注意数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用的应用．
（1）根据题意，过点B作轴，垂足为D；根据角的互余的关系，易得B到x、y轴的距离，即B的坐标；
（2）根据抛物线过B点的坐标，可得a的值，进而可得其解析式；
（3）首先假设存在，分是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可得答案．
【小问1详解】
解：（1）过点作轴，垂足为，
，，
，
又，，
∴，
，，
点坐标为；
【小问2详解】
抛物线经过点，则得到，解得，
所以抛物线的解析式为．
【小问3详解】
假设存在点，使得仍然是以为直角边的等腰直角三角形：
①若以点为直角顶点；
则延长至点，使得，得到等腰直角三角形，
过点作轴，
，，，
．
，，可求得点；
②若以点为直角顶点；
则过点作，且使得，得到等腰直角三角形，
过点作轴，同理可证，
，，可求得点；
③以A为直角顶点的等腰的顶点有两种情况．即过点A作直线，在直线上截取时，点可能在轴右侧，即现在解答情况②的点；
点也可能在轴左侧，即还有第③种情况的点．
因此，然后过作轴于，同理：，
，，
为；
经检验，点与点都在抛物线上，点不在抛物线上．