九年级上学期期中数学试题（人教版） (13)

这是一份九年级上学期期中数学试题（人教版） (13)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共计12小题，每题3分，共计36分）
1. 下列函数中，是二次函数的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（a，b，c为常数，）的函数叫做二次函数．判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a，b，c为常数，）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是．
【详解】解：A．，故不是二次函数，此选项不符合题意；
B．，是二次函数，此选项符合题意；
C．自变量的最高次数是3，故不是二次函数，此选项不符合题意；
D．的自变量的次数是1，故不是二次函数，此选项不符合题意；
故选B．
2. 方程x（x﹣5）=x的解是（ ）
A. x=0B. x=0或x=5C. x=6D. x=0或x=6
【答案】D
【解析】
【分析】先移项，然后利用因式分解法解方程．
【详解】解：x（x﹣5）﹣x=0，
x（x﹣5﹣1）=0，
x=0或x﹣5﹣1=0，
∴x1=0或x2=6．
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
3. 抛物线的对称轴是（ ）
A. 直线B. 直线C. 轴D. 直线
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了求抛物线的对称轴的方法．已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出对称轴．
【详解】解：抛物线的对称轴是直线，即：y轴，
故选：C．
4. 抛物线y＝2（x+1）2﹣1的顶点坐标是（ ）
A. （1，1）B. （﹣1，﹣1）C. （1，﹣1）D. （﹣1，1）
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用顶点式的特点可求顶点坐标．
【详解】因为y＝2（x+1）2﹣1是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣1，﹣1），故选B．
【点睛】主要考查了求抛物线的对称轴和顶点坐标的方法．牢记二次函数的顶点式是解答本题的关键．
5. 若是一元二次方程的根，则下列式子成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把代入一元二次方程即可得到答案.
【详解】解： 是一元二次方程的根，

故选：
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解使方程的左右两边相等是解题的关键.
6. 把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律进行解答即可．
【详解】把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是
故选C．
【点睛】本题考查了抛物线的平移及抛物线解析式的变化规律：左加右减、上加下减．
7. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，以及根的判别式的意义，根据有实数根，得，代数化简计算，即可作答．
【详解】解：∵
∴
解得
因为
∴
综上：且
故选：D
8. 已知二次函数与轴无交点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：对于二次函数 （，，是常数，），决定抛物线与轴的交点个数：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点．根据抛物线与轴无交点，利用，由此即可求解．
详解】解：根据题意得，
解得．
故选：B．
9. 若二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x=﹣1，则使函数值y＞0成立的x的取值范围是（ ）．
A. x＜﹣4或x＞2B. ﹣4≤x≤2C. x≤﹣4或x≥2D. ﹣4＜x＜2
【答案】D
【解析】
【分析】由抛物线与x轴的交点及对称轴求出另一个交点坐标，根据抛物线开口向下，根据图象求出使函数值y＞0成立的x的取值范围即可．
【详解】∵二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x=﹣1，
∴二次函数的图象与x轴另一个交点为（﹣4，0），
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
则使函数值y＞0成立x的取值范围是﹣4＜x＜2．
故选D．
10. 已知矩形的面积为1，长比宽长2，则该矩形的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设矩形的长为x，则宽为x-2，根据题意即可列出一元二次方程，解方程即可求得．
【详解】解：设矩形的长为x，则宽为x-2，
根据题意得：x(x-2)=1，
得，
得，
解得，(不合题意，舍去)，
故该该矩形的长为，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，列出方程是解决本题的关键．
11. 已知点，在函数（a＜0）图象上，则大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数解析式得出抛物线的开口向下，对称轴是y轴，在y轴的左侧，y随x的增大而增大，再比较即可．
【详解】解：，a＜0，抛物线的开口向下，对称轴是y轴，
在y轴的左侧，y随x的增大而增大，在y轴右侧，y随x的增大而减小，
∵点关于y轴的对称点是，
又∵-3＜-2＜-1，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
12. 如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x=﹣2．关于下列结论：①ab＜0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＜0；④b﹣4a=0；⑤方程ax2+bx=0的两个根为x1=0，x2=﹣4，其中正确的结论有（ ）
A. ①③④B. ②④⑤C. ①②⑤D. ②③⑤
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵﹣=﹣2，
∴b=4a，ab＞0，
∴①错误，④正确，
∵抛物线与x轴交于﹣4，0处两点，
∴b2﹣4ac＞0，方程ax2+bx=0的两个根为x1=0，x2=﹣4，
∴②⑤正确，
∵当x=﹣3时y＞0，即9a﹣3b+c＞0，
∴③错误，
故正确的有②④⑤．
故选B．
二、填空题（本题共计4小题，每题4分，共计16分）
13. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是实数的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键；先计算算术平方根，再计算减法运算即可；
【详解】解：；
故答案为：
14. 分解因式：________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的方法，解决本题的关键是熟练掌握完全平方公式的方法因式分解．利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：
故答案为：．
15. 若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于______．
【答案】2029
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，准确分析计算是解题的关键．直接根据一元二次方程根与系数的关系求解即可；
【详解】解：由，是方程的两个实数根，
则有，，
∴．
故答案是2029．
16. 已知二次函数与坐标轴交于三点，则的面积为_____________．
【答案】6
【解析】
【分析】先根据函数解析式确定A、B、C三点的坐标，然后再求面积即可．
【详解】解：∵
∴抛物线与坐标轴的交点A、B、C的坐标分别为（-3,0）、（1,0）、（0，-3）
∴的面积为=6．
故填6．
【点睛】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点，在坐标系中正确确定三角形的底和高成为解答本题的关键．
三、解答题（本题共计9小题，共计98分）
17. 计算：（2019﹣π）0+（）﹣2﹣|﹣3|+（﹣1）3
【答案】1．
【解析】
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【详解】解：原式＝.
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18. 用适当的方法解下列方程
（1）
（2）
【答案】（1），；
（2），；
【解析】
【分析】（1）移项，因式分解求解即可得到答案；
（2）移项，配方，再开方求解即可得到答案；
【小问1详解】
解：移项，因式分解得，
，
∴或，
解得：，；
【小问2详解】
解：移项得，
，
配方得，
，即：，
∴，
∴，；
【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是选择适当的方法求解．
19. 已知点A(a，7)在抛物线y=x²+4x+10上．
（1）求点A的坐标；
（2）求抛物线的对称轴和顶点坐标．
【答案】（1）(-1，7)或(-3，7)；（2）x=-2，(-2，6)
【解析】
【分析】（1)把点A的坐标代入解析式，计算即可；
（2)利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答.
【详解】解：（1）∵点A（a，7）在抛物线y=x²+4x+10上，
∴a²+4a+10=7，解得，a=-1或-3，
∴点A的坐标为（-1，7）或（-3，7）；
（2）y=x²+4x+10=（x+2）²+6，抛物线的对称轴是直线x=-2，顶点坐标为（-2，6）．
【点睛】本题考查的是待定系数法求坐标、以及对称轴和顶点坐标的求法，掌握待定系数法求坐标并能熟练配方化成顶点式是解题的关键.
20. 若关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为，且，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据根的判别式△ ，即可证明出方程总有两个实数根；
（2）利用根与系数关系求出 ，从而列出关于k的方程，解出即得出结果．
【小问1详解】
△=
∴方程总有两个实数根．
【小问2详解】
根据方程根与系数关系得：
∵

解得：
【点睛】本题考查了一元二次方程 根的判别式和根与系数的关系的应用，解决本题的关键是熟练掌握公式：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根；（4） ．
21. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过点，，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接、、，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分别把，代入，利用待定系数法求解即可．
（2）连接、、，延长与轴交于点，求解C0,6，直线为，可得，再利用割补法求解面积即可；
【小问1详解】
解：分别把，代入，
得
解得：．
故这个二次函数的解析式为：；
【小问2详解】
解：如图，连接、、，延长与轴交于点，
∵当时，，
∴C0,6，
∵，，设为，
∴，
解得：，
∴直线为，
∴，
∴．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，其中涉及到的知识点有待定系数法求函数解析式和坐标与图形面积等．要熟练掌握才能灵活运用．
22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x的图象与二次函数y=-x2+bx（b为常数）的图象相交于O，A两点，点A坐标为（3，m）．
（1）求m的值以及二次函数的表达式；
（2）若点P为抛物线的顶点，连结OP，AP，求△POA的面积．
【答案】（1）m的值为3，二次函数的表达式为：y=-x2+4x；
（2）△POA的面积为3．
【解析】
【分析】（1）把点A的坐标为（3，m）代入y=x可求出m的值，然后再把A点坐标代入二次函数表达式即可解答；
（2）过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交OA于点D，然后把△OPD的面积与△APD的面积相加即可．
【小问1详解】
解：把点A坐标为（3，m）代入一次函数y=x中可得：
m=3，
∴A（3，3），
把点A坐标为（3，3）代入二次函数y=-x2+bx中可得：
3=-9+3b，
解得：b=4，
∴y=-x2+4x，
答：m的值为3，二次函数的表达式为：y=-x2+4x；
【小问2详解】
解：过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交OA于点D，过点A作AE⊥PC，垂足为E，
∵y=-x2+4x=-（x-2）2+4，
∴顶点P（2，4），
把x=2代入y=x中得：
y=2，
∴D（2，2），
∴PD=4-2=2，
∵△POA的面积=△OPD的面积+△APD的面积，
∴△POA的面积=PD•OC+PD•AE
=PD（OC+AE）
=×2×3
=3，
答：△POA的面积为3．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，正比例函数的图象，把△POA的面积分成△OPD的面积与△APD的面积之和是解题的关键．
23. 某网店销售一种文具袋，成本为30元/件，每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）如果规定每天的销量不低于240件，那么当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）y=-10x+700； （2）当销售单价为46元时，每天利润最大，为3840元．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）根据“总利润每件利润销售量”列出函数解析式，并配方成顶点式，再结合的取值范围，利用二次函数的性质求解可得．
【详解】解：（1）设，
将、代入，得：，
解得：，
则；
（2）设每天获取的利润为，
则
，
又，
，
时，随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值为，
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式及二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并熟练掌握二次函数的性质求最大值．
24. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值
【答案】（1）y=x2-4x+3；（2）
【解析】
分析】（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式y=ax2+bx+3，求出a、b，即可求解；
（2）求出直线BC解析式；设点P坐标为（t，t2-4t+3），过点P作轴，表示出PE长，得到△BCP面积与t函数关系式，根据函数性质即可求解．
【详解】解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得
，
解得，
∴这个二次函数的表达式是y=x2-4x+3；
（2）当x=0时，y=3，即点C（0，3），
设BC的表达式为y=kx+m，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得
，
解得 ，
∴直线BC的解析是为y=-x+3，
设点P坐标为（t，t2-4t+3），过点P作轴，交直线BC于点E（t，-t+3），
PE=-t+3-（t2-4t+3）=-t2+3t，
∴S△BCP=S△BPE+SCPE=（-t2+3t）×3=-（t-）2+，
∵-＜0，
∴当t=时，S△BCP最大=．
【点睛】本题为二次函数综合题，考查了二次函数，一次函数等知识，熟知待定系数法，理解函数图象上点的坐标特点，添加适当辅助线是解题关键．
25. 如图，在正方形中，E为的中点，以A为原点，、所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系．正方形的边长是方程的根．点P从点B出发，沿向点D运动，同时点Q从点E出发，沿向点C运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度．当点P运动到点D时，P、Q两点同时停止运动，设点P运动的时间为t秒，的面积为S．
（1）求点C的坐标；
（2）求S关于t的函数关系式；
（3）当是以为底边的等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）解方程求出正方形的边长，即可得点C的坐标；
（2）分两种情况：时，时，根据面积公式可求得S关于t的函数关系式；
（3）分两种情况：时，时，利用勾股定理表示出，根据等腰三角形的性质即可求解．
【小问1详解】
∵正方形的边长是方程的根，
解方程，
得，
∴正方形的边长为4，
∴，，
∴点C的坐标为；
【小问2详解】
∵E为中点，
∴
由题意得：，
分两种情况：
①时，如图
由题意得：，，
∴，
；
②时，如图
由题意得：，，
∴，，，
，
∴
，
∴S关于t的函数关系式为
【小问3详解】
分两种情况：
①时，如图：
由题意得：，，
∴，，
当时，，
∴，解得(舍去)或2，
∴，
∴当，是以为底边的等腰三角形时，；
②时，如图：
由题意得：，，
∴，
，
，
，
当时，，
∴，解得(舍去)或4，
∴，
∴；
∴当，是以为底边的等腰三角形时，，
综上所述，当是以为底边的等腰三角形时，点P的坐标为或