第5章 二次函数（选择题中考经典常考题）-江苏省2023-2024学年下学期九年级数学单元培优专题练习（苏科版）

这是一份第5章 二次函数（选择题中考经典常考题）-江苏省2023-2024学年下学期九年级数学单元培优专题练习（苏科版），共17页。
A．①②B．②③C．②D．③④
2．（2020•镇江）点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m﹣n的最大值等于（ ）
A．B．4C．﹣D．﹣
二．二次函数图象与系数的关系（共2小题）
3．（2021•常州）已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x＞0时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞0B．a＞1C．a≠1D．a＜1
4．（2017•扬州）如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（0，2）、B（1，0）、C（2，1），若二次函数y＝x2+bx+1的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b的取值范围是（ ）
A．b≤﹣2B．b＜﹣2C．b≥﹣2D．b＞﹣2
三．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
5．（2017•连云港）已知抛物线y＝ax2（a＞0）过A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（ ）
A．y1＞0＞y2B．y2＞0＞y1C．y1＞y2＞0D．y2＞y1＞0
四．二次函数图象与几何变换（共6小题）
6．（2023•徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x+1）2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y＝（x+3）2+2B．y＝（x﹣1）2+2
C．y＝（x﹣1）2+4D．y＝（x+3）2+4
7．（2021•徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2+1B．y＝（x+2）2+1
C．y＝（x+2）2﹣1D．y＝（x﹣2）2﹣1
8．（2021•苏州）已知抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（ ）
A．﹣5或2B．﹣5C．2D．﹣2
9．（2020•宿迁）将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向上平移3个单位长度，得到的抛物线相应的函数表达式为（ ）
A．y＝（x+2）2﹣2B．y＝（x﹣4）2+2
C．y＝（x﹣1）2﹣1D．y＝（x﹣1）2+5
10．（2017•宿迁）将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是（ ）
A．y＝（x+2）2+1B．y＝（x+2）2﹣1
C．y＝（x﹣2）2+1D．y＝（x﹣2）2﹣1
11．（2017•盐城）如图，将函数y＝（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ）
A．B．
C．D．
五．二次函数的最值（共2小题）
12．（2022•无锡）在四边形ABCD中，AB∥DC，∠C＝∠D＝60，AB＝6cm，CD＝12cm，点P从A点出发，沿A→D→C以1cm/s的速度运动；点Q从B点出发，沿B→C→D以2cm/s的速度运动，直到P与Q相遇就停止运动．在运动过程中，四边形ABQP的面积的最大值为（ ）
A．cm2B．21cm2C．cm2D．cm2
13．（2017•宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝2cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动．若点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是（ ）
A．20cmB．18cmC．2cmD．3cm
六．抛物线与x轴的交点（共2小题）
14．（2021•无锡）对于二次函数y＝x2﹣2mx﹣3，有下列说法：
①它的图象与x轴有两个公共点；
②当x≤2时，y随x的增大而减小，则m＝2；
③若将它的图象向右平移3个单位后过原点，则m＝1；
④当x＝3时函数值与x＝2017时函数值相同，则当x＝2021时的函数值为2018．
其中，说法正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①④D．②④
15．（2017•无锡）关于抛物线y＝（x+1）2﹣2，下列结论中正确的是（ ）
A．对称轴为直线x＝1
B．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小
C．与x轴没有交点
D．与y轴交于点（0，﹣2）
七．二次函数与不等式（组）（共1小题）
16．（2021•宿迁）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①a＞0；②b2﹣4ac＞0；③4a+b＝1；④不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，正确的结论个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
八．二次函数的应用（共4小题）
17．（2019•连云港）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（ ）
A．18m2B．18m2C．24m2D．m2
18．（2019•南通）如图是王阿姨晚饭后步行的路程S（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分．下列说法不正确的是（ ）
A．25min～50min，王阿姨步行的路程为800m
B．线段CD的函数解析式为S＝32t+400（25≤t≤50）
C．5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快
D．曲线段AB的函数解析式为S＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）
19．（2019•无锡）某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y（间）与定价x（元/间）之间满足y＝x﹣42（x≥168）．若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为（ ）
A．252元/间B．256元/间C．258元/间D．260元/间
20．（2018•连云港）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2+24t+1．则下列说法中正确的是（ ）
A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同
B．点火后24s火箭落于地面
C．点火后10s的升空高度为139m
D．火箭升空的最大高度为145m
第5章 二次函数（选择题中考经典常考题）
参考答案与试题解析
一．二次函数的性质（共2小题）
1．（2023•扬州）已知二次函数y＝ax2﹣2x+（a为常数，且a＞0），下列结论：①函数图象一定经过第一、二、四象限；②函数图象一定不经过第三象限；③当x＜0时，y随x的增大而减小；④当x＞0时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．②D．③④
【答案】B
【解答】解：∵a＞0时，抛物线开口向上，
∴对称轴为直线x＝＝＞0，
当x＜0时，y随x的增大而减小，
当x＞时，y随x的增大而增大，
∴函数图象一定不经过第三象限，函数图象可能经过第一、二、四象限．
故选：B．
2．（2020•镇江）点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m﹣n的最大值等于（ ）
A．B．4C．﹣D．﹣
【答案】C
【解答】解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，
∴a＝0，
∴n＝m2+4，
∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣）2﹣，
∴当m＝时，m﹣n取得最大值，此时m﹣n＝﹣，
故选：C．
二．二次函数图象与系数的关系（共2小题）
3．（2021•常州）已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x＞0时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞0B．a＞1C．a≠1D．a＜1
【答案】B
【解答】解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2，当x＞0时，y随x增大而增大，
∴a﹣1＞0，
∴a＞1，
故选：B．
4．（2017•扬州）如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（0，2）、B（1，0）、C（2，1），若二次函数y＝x2+bx+1的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b的取值范围是（ ）
A．b≤﹣2B．b＜﹣2C．b≥﹣2D．b＞﹣2
【答案】C
【解答】解：抛物线y＝x2+bx+1与y轴的交点为（0，1），
∵C（2，1），
∴对称轴x＝﹣≤1时，二次函数y＝x2+bx+1的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，
∴b≥﹣2．
故选：C．
三．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
5．（2017•连云港）已知抛物线y＝ax2（a＞0）过A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（ ）
A．y1＞0＞y2B．y2＞0＞y1C．y1＞y2＞0D．y2＞y1＞0
【答案】C
【解答】解：∵抛物线y＝ax2（a＞0），
∴A（﹣2，y1）关于y轴对称点的坐标为（2，y1）．
又∵a＞0，0＜1＜2，
∴y2＜y1．
故选：C．
四．二次函数图象与几何变换（共6小题）
6．（2023•徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x+1）2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y＝（x+3）2+2B．y＝（x﹣1）2+2
C．y＝（x﹣1）2+4D．y＝（x+3）2+4
【答案】B
【解答】解：将二次函数y＝（x+1）2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为y＝（x+1﹣2）2+3﹣1，即y＝（x﹣1）2+2．
故选：B．
7．（2021•徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2+1B．y＝（x+2）2+1
C．y＝（x+2）2﹣1D．y＝（x﹣2）2﹣1
【答案】B
【解答】解：将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，得到：y＝（x+2）2，
再向上平移1个单位长度得到：y＝（x+2）2+1．
故选：B．
8．（2021•苏州）已知抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（ ）
A．﹣5或2B．﹣5C．2D．﹣2
【答案】B
【解答】解：∵抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，
∴x＝﹣＞0，
∴k＜0．
∵抛物线y＝x2+kx﹣k2＝（x+）2﹣．
∴将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线的表达式是：y＝（x+﹣3）2﹣+1，
∴将（0，0）代入，得0＝（0+﹣3）2﹣+1，
解得k1＝2（舍去），k2＝﹣5．
故选：B．
9．（2020•宿迁）将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向上平移3个单位长度，得到的抛物线相应的函数表达式为（ ）
A．y＝（x+2）2﹣2B．y＝（x﹣4）2+2
C．y＝（x﹣1）2﹣1D．y＝（x﹣1）2+5
【答案】D
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2+2+3，即y＝（x﹣1）2+5；
故选：D．
10．（2017•宿迁）将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是（ ）
A．y＝（x+2）2+1B．y＝（x+2）2﹣1
C．y＝（x﹣2）2+1D．y＝（x﹣2）2﹣1
【答案】C
【解答】解：将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是y＝（x﹣2）2+1．
故选：C．
11．（2017•盐城）如图，将函数y＝（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：∵函数y＝（x﹣2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），
∴m＝（1﹣2）2+1＝1，n＝（4﹣2）2+1＝3，
∴A（1，1），B（4，3），
过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），
∴AC＝4﹣1＝3，
∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），
∴AC•AA′＝3AA′＝9，
∴AA′＝3，
即将函数y＝（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象，
∴新图象的函数表达式是y＝（x﹣2）2+4．
故选：D．
五．二次函数的最值（共2小题）
12．（2022•无锡）在四边形ABCD中，AB∥DC，∠C＝∠D＝60，AB＝6cm，CD＝12cm，点P从A点出发，沿A→D→C以1cm/s的速度运动；点Q从B点出发，沿B→C→D以2cm/s的速度运动，直到P与Q相遇就停止运动．在运动过程中，四边形ABQP的面积的最大值为（ ）
A．cm2B．21cm2C．cm2D．cm2
【答案】C
【解答】解：如图1，
作AE⊥CD于E，作BF⊥CD于F，
∴∠BFE＝∠AEF＝90°，
∴AE∥BF，
∵AB∥CD，
∴四边形AEFB是平行四边形，
∴▱AEFB是矩形，
∴EF＝AB＝6，AE＝BF，
∵∠C＝∠D，
∴△AED≌△BFC（AAS），
∴DE＝CF＝3，
∴AD＝BC＝2CF＝6，AE＝BF＝3，
∴梯形ABCD的面积S＝＝27，
如图2，
当点Q在BC上时，
当点Q和点C重合时，四边形ABQP的面积最大．此时AP＝PQ＝3，
∴四边形ABQP的面积＝27﹣＝18，
如图3，
当点Q在CD上，点P在AD上时，设四边形ABQP的面积为S，
∵＝＝，
S△PDQ＝，
∴S＝27＝，
∴当t＝时，S最大＝，
因为，
故选：C．
13．（2017•宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝2cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动．若点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是（ ）
A．20cmB．18cmC．2cmD．3cm
【答案】C
【解答】解：∵AP＝CQ＝t，
∴CP＝6﹣t，
∴PQ＝＝＝，
∵0≤t≤2，
∴当t＝2时，PQ的值最小，
∴线段PQ的最小值是2，
故选：C．
六．抛物线与x轴的交点（共2小题）
14．（2021•无锡）对于二次函数y＝x2﹣2mx﹣3，有下列说法：
①它的图象与x轴有两个公共点；
②当x≤2时，y随x的增大而减小，则m＝2；
③若将它的图象向右平移3个单位后过原点，则m＝1；
④当x＝3时函数值与x＝2017时函数值相同，则当x＝2021时的函数值为2018．
其中，说法正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①④D．②④
【答案】C
【解答】解：①∵△＝（﹣2m）2﹣4×1×（﹣3）＝4m2+12＞0，
∴二次函数y＝x2﹣2mx﹣3的图象与x轴有两个公共点，说法①正确；
②∵当x≤2时，y随x的增大而减小，
∴﹣＝m≥2，说法②错误；
③∵y＝x2﹣2mx﹣3的图象向右平移3个单位后过原点，∴y＝（x﹣3）2﹣2m（x﹣3）﹣3＝x2﹣（6+2m）x+6m+9﹣3中6m+9﹣3＝0，
解得m＝﹣1，说法③错误；
④∵当x＝3时的函数值与x＝2017时的函数值相等，
∴二次函数y＝x2﹣2mx﹣3的图象的对称轴为直线x＝1010．
则﹣＝1010，m＝1010，原函数可化为y＝x2﹣2020x﹣3，
当x＝2021时，y＝20212﹣2020×2021﹣3＝2018，说法④正确．
综上所述：正确的说法有①④．
故选：C．
15．（2017•无锡）关于抛物线y＝（x+1）2﹣2，下列结论中正确的是（ ）
A．对称轴为直线x＝1
B．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小
C．与x轴没有交点
D．与y轴交于点（0，﹣2）
【答案】B
【解答】解：抛物线y＝（x+1）2﹣2，对称轴为直线x＝﹣1，故此选项A错误；
当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，则当x＜﹣3时，y随x的增大而减小，故选项B正确；
∵抛物线y＝（x+1）2﹣2，开口向上，顶点坐标为：（﹣1，﹣2），
∴与x轴有2个交点，故选项C错误；
当x＝0时，y＝﹣1，故图象与y轴交于点（0，﹣1），故选项D错误．
故选：B．
七．二次函数与不等式（组）（共1小题）
16．（2021•宿迁）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①a＞0；②b2﹣4ac＞0；③4a+b＝1；④不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，正确的结论个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解答】解：①抛物线开口向上，则a＞0，故正确；
②由图象可知：抛物线与x轴无交点，即Δ＜0
∴Δ＝b2﹣4ac＜0，故错误；
③由图象可知：抛物线过点（1，1），（3，3），即当x＝1时，y＝a+b+c＝1，
当x＝3时，ax2+bx+c＝9a+3b+c＝3，
∴8a+2b＝2，即b＝1﹣4a，
∴4a+b＝1，故正确；
④∵点（1，1），（3，3）在直线y＝x上，
由图象可知，当1＜x＜3时，抛物线在直线y＝x的下方，
∴ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，故正确；
故选：C．
八．二次函数的应用（共4小题）
17．（2019•连云港）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（ ）
A．18m2B．18m2C．24m2D．m2
【答案】C
【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，
则四边形ADCE为矩形，
∴CD＝AE，∠DCE＝∠CEB＝90°，
设CD＝AE＝x m，
则∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝30°，BC＝（12﹣x）m，
在Rt△CBE中，∵∠CEB＝90°，
∴BE＝BC＝（6﹣x）m，
∴AD＝CE＝BE＝（6﹣x）m，AB＝AE+BE＝x+6﹣x＝（x+6）m，
∴梯形ABCD面积S＝（CD+AB）•CE＝（x+x+6）•（6﹣x）＝﹣x2+3x+18＝﹣（x﹣4）2+24，
∴当x＝4时，S最大＝24．
即CD长为4m时，使梯形储料场ABCD的面积最大为24m2；
故选：C．
18．（2019•南通）如图是王阿姨晚饭后步行的路程S（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分．下列说法不正确的是（ ）
A．25min～50min，王阿姨步行的路程为800m
B．线段CD的函数解析式为S＝32t+400（25≤t≤50）
C．5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快
D．曲线段AB的函数解析式为S＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）
【答案】C
【解答】解：A、25min～50min，王阿姨步行的路程为2000﹣1200＝800m，故A没错；
B、设线段CD的函数解析式为s＝kt+b，
把（25，1200），（50，2000）代入得，
解得：，
∴线段CD的函数解析式为S＝32t+400（25≤t≤50），故B没错；
C、在A点的速度为＝105m/min，在A﹣B点的速度为＝＝45m/min，故C错误；
D、当t＝20时，由图象可得s＝1200m，将t＝20代入S＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）得S＝1200，故D没错．
故选：C．
19．（2019•无锡）某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y（间）与定价x（元/间）之间满足y＝x﹣42（x≥168）．若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为（ ）
A．252元/间B．256元/间C．258元/间D．260元/间
【答案】B
【解答】解：设每天的利润为W元，根据题意，得：
W＝（x﹣28）（80﹣y）﹣5000
＝（x﹣28）[80﹣（x﹣42）]﹣5000
＝﹣x2+129x﹣8416
＝﹣（x﹣258）2+8225，
∵当x＝258时，y＝×258﹣42＝22.5，不是整数，
∴x＝258舍去，
∴当x＝256或x＝260时，函数取得最大值，最大值为8224元，
又∵想让客人得到实惠，
∴x＝260（舍去）
∴宾馆应将房间定价确定为256元时，才能获得最大利润，最大利润为8224元．
故选：B．
20．（2018•连云港）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2+24t+1．则下列说法中正确的是（ ）
A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同
B．点火后24s火箭落于地面
C．点火后10s的升空高度为139m
D．火箭升空的最大高度为145m
【答案】D
【解答】解：A、当t＝9时，h＝136；当t＝13时，h＝144；所以点火后9s和点火后13s的升空高度不相同，此选项错误；
B、当t＝24时h＝1≠0，所以点火后24s火箭离地面的高度为1m，此选项错误；
C、当t＝10时h＝141m，此选项错误；
D、由h＝﹣t2+24t+1＝﹣（t﹣12）2+145知火箭升空的最大高度为145m，此选项正确；
故选：D．
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