第5章 二次函数（填空题中考经典常考题）-江苏省2023-2024学年下学期九年级数学单元培优专题练习（苏科版）

这是一份第5章 二次函数（填空题中考经典常考题）-江苏省2023-2024学年下学期九年级数学单元培优专题练习（苏科版），共13页。
2．（2021•泰州）在函数y＝（x﹣1）2中，当x＞1时，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”）
3．（2020•淮安）二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象的顶点坐标为 ．
4．（2020•无锡）请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为y轴： ．
5．（2020•无锡）二次函数y＝ax2﹣3ax+3的图象过点A（6，0），且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上，若△ABM是以AB为直角边的直角三角形，则点M的坐标为 ．
6．（2019•镇江）已知抛物线y＝ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2+a+1的最小值是 ．
二．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
7．（2018•镇江）已知二次函数y＝x2﹣4x+k的图象的顶点在x轴下方，则实数k的取值范围是 ．
三．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
8．（2022•徐州）若二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为 ．
四．二次函数图象与几何变换（共2小题）
9．（2020•南京）下列关于二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数）的结论：①该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点（0，1）；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．其中所有正确结论的序号是 ．
10．（2019•徐州）已知二次函数的图象经过点P（2，2），顶点为O（0，0）将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为 ．
五．二次函数的最值（共2小题）
11．（2023•镇江）二次函数y＝﹣2x2+9的最大值等于 ．
12．（2022•南京）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（α，c为常数，a≠0）的最大值为2，写出一组符合条件的a和c的值： ．
六．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）
13．（2021•无锡）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知二次函数y＝x2，OACB为矩形，A，B在抛物线上，当A，B运动时，点C也在另一个二次函数图象上运动，设C（x，y），则y关于x的函数表达式为 ．
七．抛物线与x轴的交点（共2小题）
14．（2023•泰州）二次函数y＝x2+3x+n的图象与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是 .（填一个值即可）
15．（2022•无锡）把二次函数y＝x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件： ．
八．二次函数与不等式（组）（共1小题）
16．（2020•无锡）二次函数y＝ax2+c的图象与直线y＝kx+b（k＞0）交于点M（﹣2，m）、N（1，n）两点（mn＜0），则关于x的不等式ax2+kx+（c﹣b）＞0的解集为 ．
九．二次函数的应用（共4小题）
17．（2022•连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝﹣0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是 m．
18．（2022•南通）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是h＝﹣5t2+20t，当飞行时间t为 s时，小球达到最高点．
19．（2021•连云港）某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是 元．
20．（2020•连云港）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为 min．
第5章 二次函数（填空题中考经典常考题）
参考答案与试题解析
一．二次函数的性质（共6小题）
1．（2022•盐城）若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是 1≤n＜10 ．
【答案】1≤n＜10．
【解答】解：∵y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，
∴二次函数y＝x2+2x+2的图象开口向上，顶点为（﹣1，1），对称轴是直线x＝﹣1，
∵P（m，n）到y轴的距离小于2，
∴﹣2＜m＜2，
而﹣1﹣（﹣2）＜2﹣（﹣1），
当m＝2，n＝（2+1）2+1＝10，
当m＝﹣1时，n＝1，
∴n的取值范围是1≤n＜10，
故答案为：1≤n＜10．
2．（2021•泰州）在函数y＝（x﹣1）2中，当x＞1时，y随x的增大而 增大 ．（填“增大”或“减小”）
【答案】增大．
【解答】解：∵函数y＝（x﹣1）2，
∴a＝1＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大．
故答案为：增大．
3．（2020•淮安）二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象的顶点坐标为 （﹣1，4） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+3
＝﹣（x2+2x+1﹣1）+3
＝﹣（x+1）2+4，
∴顶点坐标为（﹣1，4）．
故答案为：（﹣1，4）．
4．（2020•无锡）请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为y轴： y＝x2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵图象的对称轴是y轴，
∴函数表达式y＝x2（答案不唯一），
故答案为：y＝x2（答案不唯一）．
5．（2020•无锡）二次函数y＝ax2﹣3ax+3的图象过点A（6，0），且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上，若△ABM是以AB为直角边的直角三角形，则点M的坐标为 （，﹣9）或（，6） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，
设点M的坐标为：（，m），
当∠ABM＝90°，
过B作BD垂直对称轴于D，
则∠1＝∠2，
∴tan∠2＝tan∠1＝＝2，
∴＝2，
∴DM＝3，
∴M（，6），
当∠M′AB＝90°时，
∴tan∠3＝＝tan∠1＝＝2，
∴M′N＝9，
∴M′（，﹣9），
综上所述，点M的坐标为（，﹣9）或（，6）．
故答案为：（，﹣9）或（，6）．
6．（2019•镇江）已知抛物线y＝ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2+a+1的最小值是 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+4ax+4a+1＝a（x+2）2+1（a≠0），
∴顶点为（﹣2，1），
过点A（m，3），B（n，3）两点，
∴a＞0，
∴对称轴为直线x＝﹣2，
∵线段AB的长不大于4，
∴4a+1≥3，
∴a≥
∴a2+a+1的最小值为：（）2++1＝；
故答案为．
二．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
7．（2018•镇江）已知二次函数y＝x2﹣4x+k的图象的顶点在x轴下方，则实数k的取值范围是 k＜4 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+k中a＝1＞0，图象的开口向上，
又∵二次函数y＝x2﹣4x+k的图象的顶点在x轴下方，
∴△＝（﹣4）2﹣4×1×k＞0，
解得：k＜4，
故答案为：k＜4．
三．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
8．（2022•徐州）若二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为 4 ．
【答案】4．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x＝1，顶点为（1，﹣4），
∴顶点到x轴的距离为4，
∵函数图象有三个点到x轴的距离为m，
∴m＝4，
故答案为：4．
四．二次函数图象与几何变换（共2小题）
9．（2020•南京）下列关于二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数）的结论：①该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点（0，1）；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．其中所有正确结论的序号是 ①②④ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：①∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m+1（m为常数）与函数y＝﹣x2的二次项系数相同，
∴该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同，故结论①正确；
②∵在函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1中，令x＝0，则y＝﹣m2+m2+1＝1，
∴该函数的图象一定经过点（0，1），故结论②正确；
③∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，当x＞m时，y随x的增大而减小，故结论③错误；
④∵抛物线开口向下，当x＝m时，函数y有最大值m2+1，
∴该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．故结论④正确，
故答案为①②④．
10．（2019•徐州）已知二次函数的图象经过点P（2，2），顶点为O（0，0）将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为 y＝（x﹣4）2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设原来的抛物线解析式为：y＝ax2（a≠0）．
把P（2，2）代入，得2＝4a，
解得a＝．
故原来的抛物线解析式是：y＝x2．
设平移后的抛物线解析式为：y＝（x﹣b）2．
把P（2，2）代入，得2＝（2﹣b）2．
解得b＝0（舍去）或b＝4．
所以平移后抛物线的解析式是：y＝（x﹣4）2．
故答案为：y＝（x﹣4）2．
五．二次函数的最值（共2小题）
11．（2023•镇江）二次函数y＝﹣2x2+9的最大值等于 9 ．
【答案】9．
【解答】解：由题意，根据二次函数的图象与性质，由二次函数y＝﹣2x2+9的a＝﹣2＜0，开口向下，
∴二次函数y＝﹣2x2+9有最大值为9．
故答案为：9．
12．（2022•南京）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（α，c为常数，a≠0）的最大值为2，写出一组符合条件的a和c的值： a＝﹣2，c＝0（答案不唯一） ．
【答案】a＝﹣2，c＝0（答案不唯一）．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c（α，c为常数，a≠0）的最大值为2，
∴＝2，a＜0，
∴c﹣a＝2，
故a＝﹣2时，c＝0，
故答案为：a＝﹣2，c＝0（答案不唯一）．
六．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）
13．（2021•无锡）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知二次函数y＝x2，OACB为矩形，A，B在抛物线上，当A，B运动时，点C也在另一个二次函数图象上运动，设C（x，y），则y关于x的函数表达式为 y＝x2+2 ．
【答案】y＝x2+2．
【解答】解：过A作AD⊥x轴于D，过B作BE⊥x轴于E，连接AB、OC，如图：
设A（m，m2），B（n，n2），又C（x，y），
∵四边形OACB是矩形，
∴AB与OC中点重合，AB＝OC，
而AB2＝AO2+BO2＝m2+（m2）2+n2+（n2）2，
∴，
消去m、n得：+（x2﹣y）＝0，
∴（x2﹣y）（x2﹣y+2）＝0，
∴y＝x2（舍去）或y＝x2+2，
故答案为：y＝x2+2．
七．抛物线与x轴的交点（共2小题）
14．（2023•泰州）二次函数y＝x2+3x+n的图象与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是 ﹣3（答案不唯一） .（填一个值即可）
【答案】﹣3（答案不唯一）．
【解答】解：设二次函数y＝x2+3x+n的图象与x轴交点的横坐标为x1、x2，
即二元一次方程x2+3x+n＝0的根为x1、x2，
由根与系数的关系得：x1+x2＝﹣3，x1•x2＝n，
∵二次函数y＝x2+3x+n的图象与x轴有一个交点在y轴右侧，
∴x1，x2为异号，
∴n＜0，
故答案为：﹣3（答案不唯一）．
15．（2022•无锡）把二次函数y＝x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件： m＞3 ．
【答案】m＞3．
【解答】解：∵把二次函数y＝x2+4x+m＝（x+2）2+m﹣4的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，
∴平移后的解析式为：y＝（x+2﹣3）2+m﹣4+1，
∴平移后的解析式为：y＝x2﹣2x+m﹣2，
∴对称轴为直线x＝1，
∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，
∴Δ＝4﹣4（m﹣2）＜0，
∴m＞3，
故答案为：m＞3．
八．二次函数与不等式（组）（共1小题）
16．（2020•无锡）二次函数y＝ax2+c的图象与直线y＝kx+b（k＞0）交于点M（﹣2，m）、N（1，n）两点（mn＜0），则关于x的不等式ax2+kx+（c﹣b）＞0的解集为 ﹣1＜x＜2 ．
【答案】﹣1＜x＜2．
【解答】解：由题意，可大致画出函数图象如下，
则直线y＝kx+b关于y轴对称的直线为y＝﹣kx+b，
根据图形的对称性，设点M、N关于y轴的对称点分别为点C、D，
则点C、D的横坐标分别为﹣1，2，
观察函数图象ax2+c＞﹣kx+b的解集为﹣1＜x＜2，
即x的不等式ax2+kx+（c﹣b）＞0的解集为﹣1＜x＜2，
故答案为：﹣1＜x＜2．
九．二次函数的应用（共4小题）
17．（2022•连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝﹣0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是 4 m．
【答案】4．
【解答】解：当y＝3.05时，3.05＝﹣0.2x2+x+2.25，
x2﹣5x+4＝0，
（x﹣1）（x﹣4）＝0，
解得：x1＝1，x2＝4，
故他距篮筐中心的水平距离OH是4m．
故答案为：4．
18．（2022•南通）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是h＝﹣5t2+20t，当飞行时间t为 2 s时，小球达到最高点．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，
∵﹣5＜0，
∴当t＝2时，h有最大值，最大值为20，
故答案为：2．
19．（2021•连云港）某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是 1264 元．
【答案】1264．
【解答】解：设每份A种快餐降价a元，则每天卖出（40+2a）份，每份B种快餐提高b元，则每天卖出（80﹣2b）份，
由题意可得，40+2a+80﹣2b＝40+80，
解得a＝b，
∴总利润W＝（12﹣a）（40+2a）+（8+a）（80﹣2a）
＝﹣4a2+48a+1120
＝﹣4（a﹣6）2+1264，
∵﹣4＜0，
∴当a＝6时，W取得最大值1264，
即两种快餐一天的总利润最多为1264元．
故答案为：1264．
20．（2020•连云港）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为 3.75 min．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意：y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，
当x＝﹣＝3.75时，y取得最大值，
则最佳加工时间为3.75min．
故答案为：3.75．
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