第1章 勾股定理 北师大版八年级数学上册复习练习(含解析)

初中数学试卷 第一章勾股定理

一、单选题

1．已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（　　） 

A．12 B．7+  C．12或7+  D．以上都不对

2．在 中， ，则c的长为（　　）  

A．14 B．12 C．10 D．7

3．由以下三边不能组成直角三角形的是（　　） 

A．5，13，12 B．2，3，  C．4，7，5 D．1， ，

4．如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（　　） 

A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.8

5．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　）

A．∠A=25°，∠B=65° B．∠A：∠B：∠C=3：4：5

C．b2=a2-c2 D．AC=12，AB=20，BC=16

6．下列各组线段中，能够组成直角三角形的是(　　)  

A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7

7．如图，已知，矩形ABCD中，AB=3 cm，AD=9 cm，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则AE的长为（　　） 

A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．  cm

8．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（　　）

A．4 B．6 C．16 D．55

9．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则图中线段CD的长是（　　） 

A．0.8 B． C． D．3-

10．如图，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若AB= ，则图中阴影部分的面积为（　　） 

A． B． C． D．5

二、填空题

11．如图，从电线杆离地面3米处向地面拉一条长为5米的拉线，这条拉线在地面的固定点距离电线杆底部有　     　米.

12．如图，图中的三角形是直角三角形，所有四边形都是正方形，正方形A的边长为7,另外四个正方形中的数字x, y分别表示该正方形面积，则x与y的数量关系是　     　.

13．如图，将矩形纸片ABCD沿直线AF翻折，使点B恰好落在CD边的中点E处，点F在BC边上，若CD＝6，则AD＝　     　.

14．如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为　     　． 

15．现有两根木棒的长度分别为40cm和50cm，若要钉成一个直角三角形木架，则所需木棒长度为　          　.

三、解答题

16．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶的速度不得超过70km/h。如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后；小汽车行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m，这辆小汽车超速了吗？

17．如图，在 中， ， ， 是 边上的高， ，求 的长. 

18．嘉嘉参加机器人设计活动，需操控机器人在5×5的方格棋盘上从A点行走至B点，且每个小方格皆为正方形，主办单位规定了三条行走路径R1，R2，R3，其行经位置如图与表所示：

已知A、B、C、D、E、F、G七点皆落在格线的交点上，且两点之间的路径皆为直线，在无法使用任何工具测量的条件下，请判断R1、R2、R3这三条路径中，最长与最短的路径分别为何？请写出你的答案，并完整说明理由．

19．一个25米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时的AO距离为24米，如果梯子的顶端A沿墙下滑4米，那么梯子底端B也外移4米，对吗？为什么？

20．如图是一块地的平面图，AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，∠ADC=90°，求这块地的面积．

四、综合题

21．如图，在一次实践活动中，小强从A地出发，沿北偏东60°的方向行进3 千米到达B地，然后再沿北偏西30°方向行进了3千米到达目的地C． 

（1）求A、C两地之间的距离； 

（2）试确定目的地C在点A的什么方向？ 

答案解析部分

1．【答案】C

【解析】【解答】 解：当3和4为两条直角边时，由勾股定理得第三边==5
∴三角形周长=3+4+5=12
当4为直角边时，由勾股定理可得第三边=    =   
∴三角形周长=3+4+     =7+    
故答案为：C。



 

【分析】已知直角三角形其中的两条边，根据勾股定理即可求得第三边；因为题目没有规定第三边的长度，所以第三边可能为斜边或者4为斜边，求得第三边，计算三角形的周长即可。

2．【答案】C

【解析】【解答】解：∵ ，

∴ ，

故答案为：C.

【分析】根据勾股定理即可得出答案.

3．【答案】C

【解析】【解答】解：A、∵52+122=132， 

∴此三角形是直角三角形，不符合题意；

B、∵22+（ ）2=32，

∴此三角形是直角三角形，不符合题意；

C、∵42+52≠72，

∴此三角形不是直角三角形，符合题意；

D、∵12+（ ）2=（ ）2，

∴此三角形是直角三角形，不符合题意；

故选：C．

【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形，分析得出即可．

4．【答案】D

【解析】【解答】解：∵AB=2.5米，AC=0.7米， 

∴BC= =2.4（米），

∵梯子的顶部下滑0.4米，

∴BE=0.4米，

∴EC=BC﹣0.4=2米，

∴DC= =1.5米．

∴梯子的底部向外滑出AD=1.5﹣0.7=0.8（米）．

故选：D．

【分析】首先在直角三角形ABC中计算出CB长，再由题意可得EC长，再次在直角三角形EDC中计算出DC长，从而可得AD的长度．

5．【答案】B

【解析】【分析】根据三角形的内角和定理，以及勾股定理的逆定理对各个选项进行分析，从而得到答案。

【解答】A、∵∠A=25°，∠B=65°，∴∠C=180°-∠A-∠B=90°，所以是直角三角形，故选项错误；
B、设三个角的度数分别为3x，4x，5x，则根据三角形内角和定理可求出x=15°，三个角分别为45°，60°，75°，因而不是直角三角形，故选项正确；
C、∵b2=a2-c2，∴b2+c2=a2，是直角三角形，故选项错误；
D、∵122+162=202，∴三角形为直角三角形，故选项错误。
故选B
【点评】本题解题的关键是运用一个角是直角或三个边符合勾股定理得出三角形是直角三角形。

6．【答案】B

【解析】【解答】A、22+32=13≠42，故不是直角三角形，错误；

B、32+42=52，是直角三角形，正确；

C、42+52≠62，故不是直角三角形，不正确；

D、52+62≠72，故不是直角三角形，错误.

故答案为：B.

【分析】根据勾股定理的逆定理逐一判断即可.

7．【答案】B

【解析】【解答】解：∵矩形ABCD折叠后点B与点D重合，

∴BE=ED，设AE=x，则ED=9–x，BE=9–x，

在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，

即32+x2=（9–x）2，

解得x=4，

∴AE的长是4 cm.

故答案为：B.

【分析】根据折叠的性质可得BE=ED，设AE=x，表示出BE=9-x，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列式计算即可得出答案.

8．【答案】C

【解析】【解答】解：∵a、b、c都是正方形，

∴AC=CD，∠ACD=90°；

∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，

∴∠BAC=∠DCE，

∵∠ABC=∠CED=90°，AC=CD，

∴△ACB≌△DCE，

∴AB=CE，BC=DE；

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，

即Sb=Sa+Sc=11+5=16，

故选：C．

【分析】运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可．

9．【答案】D

【解析】【解答】如图，连接AD

由题意得：

故答案为：D.

【分析】如图（见解析），先根据正方形的边长、圆的性质可得AD、CE、AE的长，再根据勾股定理可求出DE的长，然后根据线段的和差即可得.

10．【答案】D

【解析】【解答】解： ，

∵在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2＝ ，

∴AB2＋AC2＋BC2＝10，

∴S阴影＝ ×10＝5．

故答案为：D．

【分析】先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积，再根据勾股定理可得：AB2＝AC2＋BC2，进而可将阴影部分的面积求出．

11．【答案】4

【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AC=3，AB=5，

由勾股定理，得CB2=AB2-AC2=52-32=42，

所以CB=4（米）.

所以地面拉线固定点A到电线杆底部的距离为4米.

故答案为：4.

【分析】直接根据勾股定理进行计算即可.

12．【答案】

【解析】【解答】由题意得，三个正方形的边长分别为7， ， ，

则在直角三角形中满足

即

【分析】由面积表示出正方形的边长，在直角三角形中使用勾股定理可得关系式.

13．【答案】

【解析】【解答】解：∵纸片ABCD为矩形，

∴AB=CD=6，

∵矩形纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，

∴AE=AB=6，

∵E为DC的中点，

∴DE=3，

在Rt△ADE中，AE=6，DE=3，

由勾股定理可得，AD=

故答案为： .

【分析】由矩形的性质可得AB=CD=6，再由折叠的性质可得AE=AB=6， 在Rt△ADE中，根据勾股定理求得AD的长即可.

14．【答案】7

【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5， 

∴BC= = =4，

∵△ADE是△CDE翻折而成，

∴AE=CE，

∴AE+BE=BC=4，

∴△ABE的周长=AB+BC=3+4=7．

故答案为：7．

【分析】先根据勾股定理求出BC的长，再根据图形翻折变换的性质得出AE=CE，进而求出△ABE的周长．

15．【答案】30或

【解析】【解答】解：①当斜边为50cm,
则另一直角边==30，
②当未知边为斜边，
则斜边=.
故答案为： 30或 .

【分析】分两种情况求解，即当斜边为50cm或当未知边为斜边，然后利用勾股定理求解即可.

16．【答案】解：在 △ 中， ； 

根据勾股定理可得：

∴小汽车的速度为v=40/2=20(m/s)=20×3.6(km/h)=72(km/h)

∵

∴这辆小汽车超速行驶.

【解析】【分析】 根据勾股定理求出BC，利用速度=路程÷时间求出小汽车的速度，然后比较即可.

17．【答案】解：∵ 是 上的高，  

∴ ，

在 中， ，

∴ ，

∴在 中， .

【解析】【分析】根据高线可得AD⊥BC，在中，利用勾股定理求出BD=5，从而求出CD=BC-BD=9，在中，利用勾股定理求出AC即可.

18．【答案】解：第一条路径的长度为 + + =2 + ， 

第二条路径的长度为 + +1+ = + + +1，

第三条路径的长度为 + =2 + ，

∵2 + ＜2 + ＜ + + +1，

∴最长路径为A→E→D→F→B；最短路径为A→G→B。

【解析】【分析】 根据边长为方格形成的直角三角形的斜边，可利用勾股定理，依次表示出边长，找到最短的距离。

19．【答案】解：不对．

理由：如图，依题意可知

AB＝25(米)，AO＝24(米)，∠O＝90°，

∴ BO2＝AB2﹣AO2＝252-242，

∴ BO＝7(米)，

移动后，A＇O＝20(米)，B＇O2＝(A＇B＇)2-(A＇O)2＝252-202＝152，

∴ B＇O＝15(米)，

∴ BB＇＝B＇O－BO＝15－7＝8(米)．

【解析】【分析】根据勾股定理求出BO的长度，再根据移动后的三角形的勾股定理，求出 BB＇的长度。

20．【答案】解：如图，连接AC，

∵AD=4，CD=3，∠ADC=90°，

∴AC= =5，

∴S△ACD=6，

在△ABC中，∵AC=5，BC=12，AB=13，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，

∴Rt△ABC的面积=30，

∴四边形ABCD的面积=30-6=24．

【解析】【分析】连接AC，在直角三角形ACD中，用勾股定理可求得AC的长，计算和，再根据勾股定理的逆定理即可判断三角形ABC是直角三角形，则四边形ABCD的面积=直角三角形ACB的面积-直角三角形ACD的面积。

21．【答案】（1）解：过B作BD⊥AD，垂足为D， 

∵∠BAD=30°，∠ABD=60°，

∴∠CBA=90°

在Rt△ABC中，AB=3 km，BC=3km．

∴AC=6km

（2）解：由（1）可知， = =sin∠CAB， 

∴∠CAB=30°，

∴点C在A的北偏东30°方向上．

【解析】【分析】（1）过B作BD⊥AD，根据已知得到∠CBA=90°，已知其它两边的长，从而利用勾股定理求得AC的长．（2）根据三角函数可以得到∠CAB的度数，从而确定C的位置．