小学数学人教版五年级下册长方体和正方体的体积综合与测试习题

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2022-2023学年五年级数学上册典型例题系列之
第三单元长方体和正方体体积篇（解析版）
【考点一】体积及容积单位的认识。
【方法点拨】
1.容积：
容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升（L）、毫升（mL）。
2.体积：
体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相当于一个手指尖的体积。
3.由于测量方法的不同，体积一般大于容积。
【典型例题】
在下面的横线上填上合适的单位名称。
工地上一堆沙子的体积约是8( )
一个水杯大约能盛水350( )
烧水壶能装水3( )
空调外机的体积约为420( )
解析：立方米；毫升；升；立方分米
【对应练习1】
在括号里填上合适的单位。
一个水杯的容积约是300( )，一块橡皮的体积约6( )，一间教室大约占地60( )。
解析：毫升；立方厘米；平方米
【对应练习2】
在括号里填上合适的单位。
一台冰箱容积约为240( )；   
一间教室的面积约为50( )；
一个集装箱的体积约是45( )；
一个文具盒的体积约是0.4( )。
解析：升；平方米；立方米；立方分米
【对应练习3】
在括号里填上合适的单位。
一辆汽车的油箱可装汽油60( )；一个眼药水药盒的体积约是20( )；
神舟飞船返回舱的内部容积约6( )；粉笔盒的表面积约是6( )。
解析：升；立方厘米；立方米；平方分米
【考点二】体积及容积单位换算。
【方法点拨】
1.体积及容积单位进率：
1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3；1L＝1000mL；1L=1dm3；1mL＝1cm3；。
2.单位换算：
高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。
【典型例题】
单位换算。
( )m2＝520dm2＝( )cm2     
3.6L＝( )mL＝( )cm3=( )dm3
解析：5.2；52000；3600；3600；3.6
【对应练习1】
单位换算。
200cm2＝( )dm2  1.6m3＝( )dm3    150mL＝( )L
解析：2；1600；0.15
【对应练习2】
单位换算。
( )    ( )    ( )
解析：0.65；3200；0.46
【对应练习3】
单位换算。
4.5立方分米＝( )立方厘米        350升＝( )立方米
解析：4500；0.35
【考点三】长方体体积的实际应用及反求。
【方法点拨】
1.长方体的体积=长×宽×高，用字母表示V=abh。
2.长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。
3.宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。
4.高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。
【典型例题1】
某工地运来9.6立方米的沙子，铺在一个长6米、宽2.5米的沙坑里，可以铺多厚？
解析：
9.6÷6÷2.5＝0.64（米）
答：可以铺0.64米。
【典型例题2】
学校要砌一道长20米、宽2.4分米、高2米的墙，每立方米需要525块砖，学校需要买多少块砖？
解析：
2.4分米＝0.24米
20×0.24×2
＝4.8×2
＝9.6（立方米）
525×9.6＝5040（块）
答：学校需要买5040块砖。
【对应练习1】
一个沙池长5米，宽3米，深50厘米。一辆汽车每次最多能运2.5立方米的沙子，至少需要运多少次才能把这个沙池填满？
解析：
50厘米＝0.5米
5×3×0.5÷2.5
＝7.5÷2.5
＝3（次）
答：至少需要运3次才能把这个沙池填满。
【对应练习2】
一种汽车上的油箱是长方体，长5分米，宽4分米，高3分米。如果每升汽油6.5元，给这个油箱加满油要花多少元？
解析：
5×4×3×6.5
＝20×3×6.5
＝60×6.5
＝390（元）
答：给这个油箱加满油要花390元。
【对应练习3】
学校操场有一个占地形状为长方形的沙坑，沙坑长6米，宽2.5米，在沙坑里填上40厘米厚的沙子。每立方米的沙子重1.5吨，需要沙子多少吨？
解析：
40厘米＝0.4米
6×2.5×0.4×1.5
＝6×1.5
＝9（吨）
答：需要沙子9吨。
【对应练习4】
一个无盖的长方体玻璃鱼缸，高为10分米，底面是边长为6分米的正方形。如果向空鱼缸倒入180升水，鱼缸的水深多少分米？

解析：
180升＝180立方分米
180÷（6×6）
＝180÷36
＝5（分米）
答：鱼缸的水深5分米。
【考点四】正方体体积的实际应用及反求。
【方法点拨】
正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示3个a相乘。
【典型例题】
一个正方体玻璃容器的棱长是15厘米，体积是多少立方厘米？
解析：
15×15×15
＝225×15
＝3375（立方厘米）
答：体积是3375立方厘米。
【对应练习1】
某纸盒厂生产一种正方体纸板箱，棱长40厘米，它的体积是多少立方分米？
解析：
40厘米＝4分米
4×4×4
＝16×4
＝64（立方分米）
答：它的体积是64立方分米。
【对应练习2】
一个正方体形状的油箱，从里面测量其棱长为8分米，这个油箱可以装汽油多少升？
解析：
8×8×8＝512（立方分米）
512立方分米＝512升
答：这个油箱可以装汽油512升。
【对应练习3】
一块棱长20厘米的冰块，它的体积是多少立方分米？
解析：
20×20×20＝8000（立方厘米）
8000立方厘米＝8立方分米
答：它的体积是8立方分米。
【考点五】体积的扩倍问题。
【方法点拨】
长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍。
【典型例题】
长、宽、高各扩大2倍，体积就会扩大到原来的（ 8 ）倍。
正方体的棱长扩大2倍，则体积扩大（ 8）倍。
【对应练习1】
正方体的棱长扩大3倍，它的体积就扩大（ 27 ）倍。
【对应练习2】
一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，表面积就扩大到原来的( )倍，体积扩大到原来的( )倍。
解析：4；8



【考点六】长方形折叠问题。
【方法点拨】
求出对应的长、宽、高即可。
【典型例题】
一块长、宽的长方形铁皮（如下图），从四个角各切掉一个边长的正方形，然后做成盒子。

（1）这个盒子用了多少平方厘米的铁皮？
（2）它的容积是多少？
解析：
（1）80×40－10×10×4
＝3200－400
＝2800（平方厘米）
答：这个盒子用了2800平方厘米的铁皮。
（2）

（立方厘米）
答：它的容积是12000立方厘米。
【对应练习1】
在一张长 25 分米、宽 20 分米的长方形铁皮的四个角上各剪去一个边长是 5 分米的正方形，然后折成一个长方体无盖铁盒，这个铁盒的容积是多少？（铁皮厚度忽略不计）
解析：
长：25-5×2=15（分米）
宽：20-5×2=10（分米）
高：5分米
答：略。
【对应练习2】
一块长方形铁皮（如图），从四个角各切掉一个边长为3cm的正方形，然后做成盒子．这个盒子用了多少铁皮？它的容积有多少？

解析：表面积：26×21-3×3×4=510（平方厘米）
体积：（26-3×2）×（21-3×2）×3=900（立方厘米）
答：略。
【对应练习3】
在如图所示的长方形铁皮四角分别剪去一个边长为的正方形后，正好可以折成一个无盖的铁盒，这个铁盒的表面积是多少？

解析：40×30-4×4×4=1136（平方厘米）
答：略。
【考点七】等积变化问题一：熔铸问题。
【方法点拨】
长方体和正方体之间经过熔铸、锻造，其形状发生了改变，但是体积是不变的。
【典型例题】
一个正方体实心铁块的棱长总和是48分米，现将它熔铸成一个底面积是32平方分米的实心长方体铁块，熔铸成的实心长方体铁块的高是多少分米？
解析：
48÷12＝4（分米）
4×4×4÷32
＝16×4÷32
＝64÷32
＝2（分米）
答：熔铸成的实心长方体铁块的高是2分米。
【对应练习1】
把一块棱长为10厘米的正方体钢坯，锻造成一个长2.5分米，宽2分米的长方体钢板，这块钢板有多厚？（损耗不计）
解析：
10×10×10＝1000（立方厘米）＝1（立方分米）
1÷（2.5×2）
＝1÷5
＝0.2（分米）
答：这块钢板有0.2分米厚。
【对应练习2】
因为需要，工厂把一个棱长为6分米的正方体钢坯锻造成了一个长18分米、宽4分米的长方体钢坯，这个新钢坯的高是多少分米？
解析：
6×6×6÷18÷4
＝216÷18÷4
＝3（分米）
答：这个新钢坯的高是3分米。
【对应练习3】
把一块棱长为10厘米的正方体钢坯，锻造成一个长2.5分米，宽2分米的长方体钢板，这块钢板有多厚？（损耗不计）
解析：
10×10×10＝1000（立方厘米）＝1（立方分米）
1÷（2.5×2）
＝1÷5
＝0.2（分米）
答：这块钢板有0.2分米厚。
【考点八】等积变化问题二：倒水问题。
【方法点拨】
长方体和正方体中水的互相转移，其形状发生了改变，但是体积是不变的。
【典型例题】
一个正方体玻璃缸，棱长6分米，用它装满水，再把水全部倒入一个底面积为30平方分米，高为10分米的长方体水槽中，水深多少？
解析：
6×6×6÷30
＝216÷30
＝7.2（分米）
答：水深7.2分米。
【对应练习】
一个棱长是12分米的正方体鱼缸，里面装满水，把水倒入一个长为18分米，宽为10分米，高为12分米的长方体鱼缸里，水有多深？（鱼缸厚度忽略不计）
解析：
12×12×12÷（18×10）
＝1728÷180
＝9.6（分米）
答：水深9.6分米。
【考点九】等积变化问题三：底面变化问题。
【方法点拨】
水在长方体中不同位置的放置，底面在改变，但体积始终不变。
【典型例题】
如下图所示，密闭的容器中装有5厘米深的水。如果以这个容器的右侧面为底面把容器竖起来，这时水深多少厘米？

解析：
30×10×5÷（10×15）
＝300×5÷150
＝1500÷150
＝10（厘米）
答：这时水深10厘米。
【对应练习1】
有一个长方体容器，长40厘米，宽20厘米，高15厘米，里面的水深6厘米。如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来放置，这时水深是多少厘米？

解析：
40×20×6
＝800×6
＝4800（立方厘米）
4800÷20÷15
＝240÷15
＝16（厘米）
答：竖起来后水深是16厘米。
【对应练习2】
一个长方体的容器（如图），里面的水深8厘米。把这个容器盖紧后竖放，现在的底面长10厘米、宽8厘米，这时里面的水深是多少厘米？

解析：
20×10×8÷（10×8）
＝200×8÷80
＝1600÷80
＝20（厘米）
答：这时里面的水深是20厘米。
【考点十】表面积增减变化问题中的体积：拼切问题。
【方法点拨】
1.切片问题：
（1）切一刀增加两个切面，沿着不同的方向切，多出的表面积一般是不一样的，其中正方体比较特殊，它的表面积的增减变化都是都是正方形在进行变化，相对比较简单。
（2）刀数×2=切面个数。
2.拼接问题：
（1）长方体或正方体的拼接会使表面积减少，两个正方体的拼接，有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，与切片问题类似，可以先判断刀数，再根据刀数去推正方形的个数，但是长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。
（2）段数-1=刀数；刀数×2=切面个数。
【典型例题】
一根长1米的长方体木料锯成2段后，表面积增加了6平方分米。这根木料的体积是多少立方分米？如果每立方分米木料重1.5千克，这根木料重多少千克？
解析：
1米＝10分米
6÷2×10
＝3×10
＝30（立方分米）
1.5×30＝45（千克）
答：这根木料的体积是30立方分米，这根木料重45千克。
【对应练习1】
城关小学数学兴趣小组的同学将四个大小相同的正方体粘成一个长方体（如图）后，表面积减少54平方厘米，求长方体的表面积和体积。

解析：
54÷6＝9（平方厘米）
3×3＝9（平方厘米）
所以，正方体棱长是3厘米，那么有：
长方体长：4×3＝12（厘米）
长方体表面积：12×3×4＋3×3×2
＝144＋18
＝162（平方厘米）
长方体体积：12×3×3＝108（立方厘米）
答：它的表面积是162平方厘米，体积是108立方厘米。
【对应练习2】
一根长12分米的木料，按下图横截成3段后表面积增加了100平方分米。原来这根木料的体积是多少立方分米？

解析：
（3－1）×2
＝2×2
＝4（个）
100÷4×12
＝25×12
＝300（立方分米）
答：原来这根木料的体积是300立方分米。
【考点十一】表面积增减变化问题中的体积：高的变化。
【方法点拨】
1.正方体高的变化，即棱长的增减变化，会引起正方体侧面积的增减变化。
2.长方体高的变化，会引起长方体侧面积的增减变化，长方体的侧面指的是前后左右四个面。
【典型例题1】
一个长方体（如图），如果高增加4厘米，就变成了棱长是10厘米的正方体。体积增加了多少立方厘米？

解析：
10×10×10－10×10×（10－4）
＝1000－100×6
＝1000－600
＝400（立方厘米）
答：体积增加了400立方厘米。
【典型例题2】
一个长方体，如果高减少3厘米就成了一个正方体，表面积比原来减少84平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？
解析：
84÷4÷3
＝21÷3
＝7（厘米）
7＋3＝10（厘米）
7×7×10
＝49×10
＝490（立方厘米）
答：原长方体的体积是490立方厘米。
【对应练习1】
一个正方体的高增加了3厘米，得到一个新的长方体，这个长方体的表面积比原正方体的表面积增加了72平方厘米。新长方体的体积是多少？
解析：
72÷3＝24（厘米）
24÷4＝6（厘米）
6＋3＝9（厘米）
6×6×9＝324（立方厘米）
答：新长方体的体积是324立方厘米。
【对应练习2】
一个长方体，如果高增加3厘米，那么就变成一个正方体。这时表面积比原来增加84平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？

解析：
根据分析得，84÷4＝21（平方厘米）
21÷3＝7（厘米）
7－3＝4（厘米）
7×7×4＝196（立方厘米）
答：原来长方体的体积是196立方厘米。



【考点十二】排水法一：基础问题。
【方法点拨】
形状不规则的物体可以用排水法求体积：
排水法的公式：V物体 =V现在－V原来
也可以 V物体 =S×(h现在- h原来)
V物体 = S×h升高
【典型例题】
在一个底面长20厘米，宽15厘米的长方体水箱中，水面高度为10厘米，一块石头后水面上升到14厘米。这块石头的体积是多少？
解析：
20×15×（14－10）
＝300×4
＝1200（立方厘米）
答：这块石头的体积是1200立方厘米。
【对应练习1】
一个长方体玻璃容器，从里面量长、宽都是2分米，向容器中倒入6升水，再把一个土豆放入水中，这时量得容器中的水深18厘米，这个土豆的体积是多少？
解析：
6升＝6立方分米
18厘米＝1.8分米
2×2×1.8
＝4×1.8
＝7.2（立方分米）
7.2－6＝1.2（立方分米）
答：这个土豆的体积是1.2立方分米。
【对应练习2】
一个正方体玻璃容器，从内部测量棱长是20厘米，向容器中倒入一定的水，水面高度恰好是15厘米。再向容器中放入一个形状不规则的铁块，铁块完全浸没于水中，发现水面高度变成了18厘米。求这个铁块的体积。
解析：
20×20×（18－15）
＝400×3
＝1200（立方厘米）
答：这个铁块的体积是1200立方厘米。
【对应练习3】
在一个长16厘米，宽16厘米，高10厘米的玻璃缸里放一个铁球后再注满水淹没它，然后取出铁球，这时水面下降了3厘米。铁球的体积是多少？
解析：
16×16×3
＝256×3
＝768（立方厘米）
答：铁球的体积是768立方厘米。
【考点十三】排水法二：反求水深。
【方法点拨】
形状不规则的物体可以用排水法求体积：
排水法的公式：V物体 =V现在－V原来
也可以 V物体 =S×(h现在- h原来)
V物体 = S×h升高
【典型例题】
一个长为25厘米，宽为18厘米的长方形玻璃缸，水深20厘米，水下有一个棱长为3厘米的正方体铁块，若取出铁块，现在水深多少厘米？
解析：
现在水的体积：25×18×20=9000（立方厘米）
正方体铁块的体积：3×3×3=27（立方厘米）
取出铁块后的体积：9000-27=8973（立方厘米）
现在水深：8973÷25÷18=19.94（厘米）
答：略。

【对应练习1】
在一个长16分米、宽8分米、高7分米的长方体玻璃缸里放水，水深5分米。如果在里面浸没一块棱长是4分米的正方体铁块，水面上升多少分米？
解析：
4×4×4÷（16×8）=0.5（分米）
答：略。
【对应练习2】
一个长方体水族箱从里面量长，宽。如果每条金鱼的体积是，向水族箱中放入条金鱼(水没有溢出)后，水族箱中的水位上升了多少厘米？
解析：
640×3÷（32×25）=2.4（厘米）
答：略。
【考点十四】排水法三：溢水问题。
【方法点拨】
物体完全浸没在水中，如果物体的体积超过空白部分的体积，就会溢出，求溢出部分的体积需要用物体的体积减去空白部分的体积。
【典型例题】
科学实验课上，乐乐先往一个棱长为2分米的正方体玻璃容器中倒入7升的水，再往容器中放入一块长15厘米、宽10厘米，高8厘米的铁块。请问。放入铁块后，玻璃容器里的水会溢出吗？如果会，溢出的水有多少升？
解析：
2×2×2＝8（立方分米）
7升＝7立方分米
15×10×8
＝150×8
＝1200（立方厘米）
1200立方厘米＝1.2立方分米
7＋1.2＝8.2（立方分米）
8.2立方分米＞8立方分米
8.2－8＝0.2（立方分米）
0.2立方分米＝0.2升
答：玻璃容器里的水会溢出，溢出的水有0.2升。
【对应练习1】
一个长方体的玻璃水箱，长9分米，宽4分米，高5分米，水深3分米。如果放入一个棱长4分米的正方体铁块，水箱里的水会溢出来吗？为什么？

解析：
4×4×4
＝16×4
＝64（立方分米）
9×4×（5－3）
＝36×2
＝72（立方分米）
64＜72
答：水箱里的水不会溢出来，因为铁块的体积小于无水部分的体积。
【对应练习2】
一个长方体玻璃缸（如图），水深6分米。如果投入一块边长5分米的正方体铁块，缸里的水会溢出多少升？

解析：
5×5×5－9×6×（8－6）
＝25×5－54×2
＝125－108
＝17（立方分米）
＝17（升）
答：缸里的水会溢出17升。
【对应练习3】
一个长方体的玻璃缸，长8分米，宽7分米，高6分米，水深5.5分米。如果投入一块棱长为4分米的正方形铁块，缸里的水溢出多少升？
解析：
4×4×4－8×7×（6－5.5）
＝64－56×0.5
＝64－28
＝36（立方分米）
36立方分米＝36升
答：缸里的水溢出36升。
【对应练习4】
一个长方体玻璃缸，长5分米，宽4.5分米，高4分米，水深3分米，如果投入一块棱长为3分米的正方体铁块后，缸里的水会溢出来吗？溢出了多少水？
解析：
5×4.5×4－5×4.5×3
＝90－67.5
＝22.5（立方分米）
3×3×3＝27（立方分米）
27＞22.5，说明缸里的水会溢出来。
3×3×3＋5×4.5×3－5×4.5×4
＝27＋67.5－90
＝4.5（立方分米）
答：缸里的水会溢出来，溢出了4.5立方分米的水。


【考点十五】不规则及组合立体图形的体积。
【方法点拨】
求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。
【典型例题1】
工程队要浇筑一个建筑构件（如图），这个建筑构件的体积是多少？

解析：
如图所示：

6×10×2＋2×（4－2）×10
＝60×2＋2×2×10
＝120＋40
＝160（立方米）
答：这个建筑构件的体积是160立方米。
【对应练习1】
如图所示，一个长方体物体的底面是正方形，中间是空心的正方形。求这个物体的体积。（请写出主要过程）

解析：
10×10×20－5×5×20
＝100×20－25×20
＝2000－500
＝1500（cm3）
答：这个物体的体积是1500cm3。
【对应练习2】
计算下面几何体的体积。

解析：
2×2×2＋8×2×5
＝8＋80
＝88（cm3）
【对应练习3】
如图，在棱长是8dm的正方体的上面挖去一个棱长4dm的正方体，求挖去以后图形的表面积和体积。

解析：
表面积：4×4×4+8×8×6=448（平方分米）
体积：8×8×8-4×4×4=448（立方分米）
【对应练习4】
如图，求下面零件的体积。（单位：厘米）

解析：8×12×4-4×4×4
=384-64
=320（立方厘米）