高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.3 一元二次不等式的解法教学设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.3 一元二次不等式的解法教学设计，共5页。教案主要包含了教学重点，教学难点，情境与问题，尝试与发现，典型例题等内容，欢迎下载使用。
第二章  等式与不等式2.2.3 一元二次不等式的解法教学设计教材分析本节内容为一元二次不等式的解法。教材主要给出了因式分解法、配方法。教学目标：1.使学生会用因式分解和配方法解一元二次不等式;2.使学生会运用转化的方法解简单分式不等式;3.向学生渗透化归和转化的数学思想方法;4.培养学生数学抽象、数学运算、逻辑推理等数学素养.【教学重点】1.掌握用因式分解法解决一元二次不等式.2.掌握用配方法解决一元二次不等式.【教学难点】1.对特殊的一元二次不等式进行变形回顾所学的一元二次方程的解法。教学过程【情境与问题】      不难看出，要判断甲、乙两车是否超速，就是要得到它们车速的取值范围，也就是要解不等式       即一般地，形如ax2+bx+c>0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等如何求一个一元二次不等式的解集呢？让我们从简单的一元二次不等式开始探讨.首先来看一元二次不等式x（x一1）>0.              ①【尝试与发现】  注意到只有两个同号的数相乘，结果才能是正数，也就是说，ab>0当且仅当a>0， 或   a<0，b>0       b<0.因此，不等式①可以转化为两个不等式组x>0，      或     x<0，x-1>0             x-1<0.解得x>1或x<0，因此，不等式①的解集为（一∞，0）∪（1，+∞）.用类似的方法可以求得不等式（x+1）（x-1）<0            ②的解，但此时的依据是：ab<0当且仅当a<0， 或   a＞0b>0        b＜0 因为不等式②可以转化为两个不等式组x+1<0， 或  x+1>0，x-1>0       x-1<0.不难解得x∈∅或-1＜x＜1，因此不等式②的解集为                            （-1，1）一般地，如果x1<x2，则不等式（x-x1）（x-x2）<0的解集是（x1，x2），不等式（x-x1）(x-x2)>0的解集是（一∞，x1）∪（x2，+∞）【典型例题】例1   求不等式x2-x-2>0的解集.解  因为x2-x-2=（x+1）（x-2），所以原不等式等价于（x+1）（x-2）>0，因此所求解集为（一∞，一1）U（2，+∞）.回到情境与问题中的不等式，v2-10v-600>0可以化为（v+20）（v-30）>0，因此甲车的车速v>30；而v2-10v-2000>0可以化为（v+40）（v-50）>0，因此乙车的车速v＞50.由此可见，乙车肯定超速了.上述我们介绍的一元二次不等式的解法，使用的主要工具是因式分解.当然，这种方法只有在一元二次不等式是特殊类型时才比较方便，那么一般情况该怎么办呢？【尝试与发现】    因为任何一个实数的平方一定是一个非负数，因此上述尝试与发现中（1）的解集为∅，（2）的解集为R对于x2<9.来说，两边同时开根号可得，即|x|<3，因此-3<x<3，从而得到（3）的解集为（-3，3）.这就是说，一般的一元二次不等式可以通过配方法来求得解集.例2 求下列不等式的解集：（1）x2+4x+1≥0；（2）x2-6x-1≤0；（3）-x2+2x-1<0；（4）2x2+4x+5>0.解（1）因为x2+4x+1=x2+4x+4-4+1=（x+2)2-3，所以原不等式可化为（x+2)2-3≥0，即（x+2)2≥3，两边开平方得|x+2|≥，从而可知x+2≤ -或x+2≥，因此x≤ -2-或x≥-2+，所以原不等式的解集为（一∞，-2-]∪[-2+，+∞）.（2）因为x2-6x-1=x2-6x+9-9-1=(x-3)2-10，所以原不等式可化为(x-3)2-10≤0，即(x-3)2≤10，两边开平方得|x-3|≤，从而可知-≤ x-3 ≤，因此3-≤x≤3+，所以原不等式的解集为[3-，3+].（3）原不等式可化为x2-2x+1>0，又因为x2-2x+1=（x-1)2，所以上述不等式可化为（x-1)2>0.注意到只要x≠1，上述不等式就成立，所以原不等式的解集为（一∞，1）U（1，+∞）.（4）原不等式可以化为    因为         所以原不等式可以化为        即  不难看出，这个不等式恒成立，即原不等式的解集为R.由上可知，一元二次不等式ax2+bx+c>0（a≠0）通过配方总是可以变为(x-h)2>k或(x-h)2<k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集。 例3 求不等式          的解集. 解  由题意知x-2≠0，因此（x-2)2>0，原不等式两边同时乘以(x-2)2可得(2x+1)(x-2)≥(x-2)2且x-2≠0，即(x+3)(x-2)≥0且x≠2，因此所求不等式的解集为（-∞，-3]U（2，+∞）.例3说明，有些不等式通过变形之后，可以借助于一元二次不等式的解法来解，请读者自行总结其中的规律。教学反思本节内容需要学生掌握因式分解法、配方法，对学生的运算能力有一定要求。