人教B版 (2019)必修 第一册2.2.3 一元二次不等式的解法学案

这是一份人教B版 (2019)必修 第一册2.2.3 一元二次不等式的解法学案，共10页。


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知识点一 一元二次不等式的概念
一般地，形如ax2＋bx＋c＞0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“＜”“≥”“≤”等．
一元二次不等式的二次项系数a有a＞0或a＜0两种，注意a≠0.当a＜0时，我们通常将不等式两边同乘以－1，化为二次项系数大于0的一元二次不等式，但要注意不等号要改变方向，这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式．
1.下列不等式中，哪些是一元二次不等式(其中a，b，c，m为常数)?
(1)ax2＞0；
(2)x3＋5x－6≥0；
(3)－x－x2≤0；
(4)x2＞0；
(5)mx2－5y＞0；
(6)ax2＋bx＋c≤0；
(7)x－eq \f(1,x)＞0.
[解]
知识点二 一元二次不等式的解法
1．因式分解法解一元二次不等式
一般地，如果x1＜x2，则不等式(x－x1)(x－x2)＜0的解集是(x1，x2)；不等式(x－x1)(x－x2)＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)．
2．配方法解一元二次不等式
一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2＞k或(x－h)2＜k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集．
[拓展] 一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2＞k或(x－h)2＜k的形式．
(1)当k≥0时，(x－h)2＞k的解集为(－∞，h－eq \r(k))∪(h＋eq \r(k)，＋∞)；(x－h)2＜k的解集为(h－eq \r(k)，h＋eq \r(k))．
(2)当k＜0时，(x－h)2＞k的解集为R；
(x－h)2＜k的解集为∅.
2.不等式x(x－2)＞0的解集为________，不等式x(x－2)＜0的解集为________．
[答案] {x|x＜0或x＞2} {x|0＜x＜2}
3.不等式(2x－5)(x＋3)＜0的解集为________．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，\f(5,2))) [原不等式可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,2)))(x＋3)＜0，所以－3＜x＜eq \f(5,2)，所以原不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，\f(5,2))).]
4.不等式3x2－2x＋1＞0的解集是________．
R [因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x＋1＞0的解集为R.]
知识点三 分式不等式的解法
1．分式不等式的概念
分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．各种分式不等式经过同解变形，都可化为标准形式eq \f(ax＋b,cx＋d)＞0(≥0)或eq \f(ax＋b,cx＋d)＜0(≤0)．
2．分式不等式的解法
解分式不等式的思路——转化为整式不等式求解．
化分式不等式为标准型的方法：移项，通分，右边化为0，左边化为eq \f(ax＋b,cx＋d)的形式．
将分式不等式转化为整式不等式求解．
当分式不等式中含有等号，等价转化为整式不等式时，其分母不为零最容易被忽略，这一点一定要注意．(易错点)
5.不等式eq \f(x－1,2x＋1)≥0的解集为( )
A．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＜x≤1))))B．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)≤x≤1))))
C．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＜－\f(1,2)或x≥1))))D．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤－\f(1,2)或x≥1))))
C [原不等式等价于(x－1)(2x＋1)＞0或x－1＝0，解得x＜－eq \f(1,2)或x＞1或x＝1，所以原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＜－\f(1,2)或x≥1)))).]
类型1 解一元二次不等式
角度1 解不含参数的一元二次不等式
【例1】 已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则∁RA＝( )
A．{x|－1＜x＜2}
B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2}
D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
B [法一：由x2－x－2＞0左边因式分解得(x＋1)(x－2)＞0，解得x＜－1或x＞2，则A＝{x|x＜－1或x＞2}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}．
法二：由x2－x－2＞0左边配方可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(9,4)＞0，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＞eq \f(9,4)，两边开方得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))＞eq \f(3,2)，
所以x＞2或x＜－1，
所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}．]
[母题探究]
[变结论]将本例题的条件不变，添加集合B＝{x|(x－1)(x－3)＜0}，则(∁RA)∩B＝________.
{x|1＜x≤2} [由例题知∁RA＝{x|－1≤x≤2}．
由(x－1)(x－3)＜0，解得1＜x＜3，
所以(∁RA)∩B＝{x|1＜x≤2}．]
解一元二次不等式的方法有哪些？
[提示] (1)因式分解法：不等式的左端能够进行因式分解的可用此法，它只能适用于解决一类特殊的不等式．
(2)配方法：一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)通过配方总可以化为(x－h)2＞k或(x－h)2＜k的形式，然后根据k值的正负即可求得不等式的解集．
角度2 解含有参数的一元二次不等式
【例2】 解关于x的不等式ax2－x＞0.
[解] 根据题意，分情况讨论：
①当a＝0时，不等式化为－x＞0，即x＜0.
此时不等式的解集为(－∞，0)；
②当a≠0时，方程ax2－x＝0有两根，分别为0和eq \f(1,a).
当a＞0时，eq \f(1,a)＞0，此时不等式的解集为(－∞，0)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，＋∞))；
当a＜0时，eq \f(1,a)＜0，此时不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，0)).
综上可得：当a＞0时，不等式的解集为(－∞，0)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，＋∞))；
当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)；
当a＜0时，不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，0)).
含参数的一元二次不等式求解的注意事项
(1)参数只在一次项系数位置时，首先利用配方法或者公式法得其一元二次方程的根，然后分析判别式的正负做出结论．
(2)如果二次项系数含参数，则通常是先分析二次项系数的正、0、负三种情况，分别得其对应方程的根后再分析根的大小，从而做出结论．
[跟进训练]
1．解不等式：x2＋(2－a)x－2a≥0.
[解] 由x2＋(2－a)x－2a≥0得，(x＋2)(x－a)≥0，
①当a＝－2时，不等式的解集是R；
②当a＞－2时，不等式的解集是(－∞，－2]∪[a，＋∞)；
③当a＜－2时，不等式的解集是(－∞，a]∪[－2，＋∞)．
类型2 解简单的分式不等式
【例3】 (1)不等式eq \f(2－x,x＋4)＞1的解集是________．
(2)若关于x的不等式ax－b＞0的解集是(2，＋∞)，则关于x的不等式eq \f(ax＋b,x－2)＞0的解集是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－2,2)D．(－1,2)
[思路探究] (1)先把分式不等式化为等价的整式不等式后再求解；(2)根据不等式及解集，可判断a的符号及eq \f(b,a)＝2.将所求不等式变形，结合一元二次不等式解法即可求得解集．
(1){x|－4＜x＜－1} (2)B [(1)因为eq \f(2－x,x＋4)＞1，所以eq \f(2－x,x＋4)－1＞0，即eq \f(2－x－x－4,x＋4)＞0，所以eq \f(2x＋1,x＋4)＜0.
所以(x＋1)(x＋4)＜0，故－4＜x＜－1.
(2)由x的不等式ax－b＞0，变形可得ax＞b，因为关于x的不等式ax＞b的解集是(2，＋∞)，所以a＞0且eq \f(b,a)＝2，则不等式eq \f(ax＋b,x－2)＞0可化为eq \f(a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(b,a))),x－2)＞0，即eq \f(ax＋2,x－2)＞0，等价于a(x＋2)(x－2)＞0，
因为a＞0，解得x＜－2或x＞2，
即x∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)．]
[母题探究]
1．[变条件]将本例(1)不等式改为eq \f(2－x,x＋4)≤1，求解集．
[解] 因为eq \f(2－x,x＋4)≤1，所以(x＋1)(x＋4)≥0，且x＋4≠0，故x≥－1或x＜－4，即x∈(－∞，－4)∪[－1，＋∞)．
2．[变条件]将本例(2)中eq \f(ax＋b,x－2)＞0，改为eq \f(ax＋b,x－2)＜0，其他条件不变，求不等式的解集．
[解] 由题意，可得a＞0且eq \f(b,a)＝2.不等式eq \f(ax＋b,x－2)＜0可化为eq \f(a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(b,a))),x－2)＜0，即eq \f(ax＋2,x－2)＜0，等价于a(x＋2)(x－2)＜0，因为a＞0，解得－2＜x＜2，即x∈(－2,2)．
解分式不等式的步骤
类型3 两个“二次”间的关系
方程x2－2x－3＝0与不等式x2－2x－3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？
[提示] 方程x2－2x－3＝0的解集为{－1,3}．
不等式x2－2x－3>0的解集为{x|x<－1或x>3}，观察发现不等式x2－2x－3>0解集的端点值恰好是方程x2－2x－3＝0的根．
【例4】 (1)若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＜x＜\f(1,3)))))，则a＋b的值为( )
A．14 B．－10 C．10 D．－14
(2)已知一元二次不等式x2＋px＋q＜0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＜x＜\f(1,3)))))，求不等式qx2＋px＋1＞0的解集．
(1)D [(1)由已知得，
ax2＋bx＋2＝0的解为－eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，且a＜0.
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(b,a)＝－\f(1,2)＋\f(1,3)，,\f(2,a)＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×\f(1,3)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－12，,b＝－2，))
∴a＋b＝－14.]
(2)[解] 因为x2＋px＋q＜0的解集为
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＜x＜\f(1,3)))))，
所以x1＝－eq \f(1,2)与x2＝eq \f(1,3)是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根，
由根与系数的关系得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＋\f(1,3)＝－p，,\f(1,3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝q，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(p＝\f(1,6)，,q＝－\f(1,6).))
所以不等式qx2＋px＋1＞0即为－eq \f(1,6)x2＋eq \f(1,6)x＋1＞0，整理得x2－x－6＜0，
解得－2＜x＜3.
即不等式qx2＋px＋1＞0的解集为{x|－2＜x＜3}．
一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及两个“二次”之间的关系解题的思想
(1)求解方法：由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集．
(2)应用两个“二次”之间的关系解题的思想
一元二次不等式与其对应的方程之间存在着密切的联系，即给出了一元二次不等式的解集，则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根．在解决具体的数学问题时，要注意两者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．
[跟进训练]
2．已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，求不等式cx2－bx＋a＞0的解集．
[解] 由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＋3＝－\f(b,a)，,2×3＝\f(c,a)，,a＜0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝－5a，,c＝6a，,a＜0.))
代入不等式cx2－bx＋a＞0，
得6ax2＋5ax＋a＞0(a＜0)．
即6x2＋5x＋1＜0，解得－eq \f(1,2)＜x＜－eq \f(1,3)，
所以所求不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＜x＜－\f(1,3)))))
.
1．下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4<0；②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④x2＋1<0.其中一定为一元二次不等式的有( )
A．1个 B．2个
C．3个D．4个
B [②④一定是一元二次不等式．]
2．不等式eq \f(x－1,x＋2)＜0的解集为( )
A．{x|x＞1}B．{x|x＜－2}
C．{x|－2＜x＜1}D．{x|x＞1或x＜－2}
C [原不等式等价于(x－1)(x＋2)＜0，
解得－2＜x＜1.]
3．设集合A＝{x|x2≤x}，B＝{x|0＜x≤1}，则A∩B＝( )
A．(0,1]B．[0,1]
C．(－∞，1]D．(－∞，0)∪(0,1]
A [由题意得A＝[0,1]，故A∩B＝(0,1]．]
4．设集合M＝{x|x2－x＜0}，N＝{x|x2＜4}，则M与N的关系为________．
MN [因为M＝{x|x2－x＜0}＝{x|0＜x＜1}，
N＝{x|x2＜4}＝{x|－2＜x＜2}，
所以MN.]
5．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值表如下：
则a＝________；不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为________．
1 {x|x＜－2或x＞3} [由表知x＝－2时，y＝0，x＝3时，y＝0，
所以二次函数y＝ax2＋bx＋c可化为：
y＝a(x＋2)(x－3)，又因为x＝1时，y＝－6，所以a＝1，图像开口向上．
结合二次函数的图像可得不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为x＜－2或x＞3.]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．解一元二次不等式有哪些方法？
[提示] (1)因式分解法：若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为两个一次因式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集．
(2)配方法：若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得．
(3)求根公式法：若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法．
(4)两个“二次”间的关系法：不等式解集的端点恰好是二次方程的根．
2．含参数的一元二次不等式的解题步骤是怎样的？
[提示]
3．解分式不等式应注意哪些问题？
[提示] (1)注意等价转化；
(2)注意x2的系数的正负，尤其为负数时，可化负为正后再求解，否则易将范围求错；
(3)结论用集合或区间书写；
(4)特别注意分母不等于零．
1.理解一元二次不等式的定义.
2.能够利用因式分解法和配方法解一元二次不等式．(重点、难点)
3.了解简单的分式不等式，并会求其解集．(难点、易错点)
1.借助一元二次不等式的概念，培养数学抽象核心素养.
2.通过学习一元二次不等式的解法，提升数学运算核心素养.
3.借助简单分式不等式的解法，培养逻辑推理核心素养.
题号
是不是一元二次不等式
理由
(1)
不是
a＝0时，不符合一元二次不等式的定义
(2)
不是
x的最高次数为3
(3)
是
符合一元二次不等式的定义
(4)
是
符合一元二次不等式的定义
(5)
不是
m＝0时，为一元一次不等式．m≠0时，含有x，y两个未知数
(6)
不是
a＝0时，x的最高次数不是2
(7)
不是
不是整式不等式
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
0
－4
－6
－6
－4
0
6