高中数学湘教版（2019）必修 第一册2.3 一元二次不等式学案设计

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 2.3.2　一元二次不等式的应用 新课程标准解读核心素养1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程．了解一元二次不等式的现实意义数学抽象2.能够构建一元二次函数模型，解决实际问题数学建模、数学运算 汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m．又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.[问题]　如何判断甲、乙两车是否超速？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点　利用一元二次不等式解决实际问题的步骤(1)理解题意，分析清楚量与量之间的关系；(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为一元二次不等式问题；(3)解这个一元二次不等式得到实际问题的解．某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2 400 元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万立方米．为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是(　　)A．{t|1≤t≤3}　　　　　 B．{t|3≤t≤5}C．{t|2≤t≤4}  D．{t|4≤t≤6}解析：选B　设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，则y＝2 400×t%＝60(8t－t2)．令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5.含参数的一元二次不等式的解法[例1]　(链接教科书第57页习题8题)解关于x的不等式：x2－2ax＋2≤0(a∈R)．[解]　因为Δ＝4a2－8，当Δ＜0，即－＜a＜时，原不等式对应的方程无实根．又一元二次函数y＝x2－2ax＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.当Δ＝0，即a＝±时，原不等式对应的方程有两个相等实根．当a＝时，原不等式的解集为；当a＝－时，原不等式的解集为.当Δ＞0，即a＞或a＜－时，原不等式对应的方程有两个不等实根，分别为x1＝a－，x2＝a＋，且x1＜x2，所以原不等式的解集为{x|a－≤x≤a＋}．综上所述，当－＜a＜时，原不等式的解集为∅；当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝}；当a＝－时，原不等式的解集为{x|x＝－}；当a＞或a＜－时，原不等式的解集为{x|a－≤x≤a＋}．含参一元二次不等式的解法　　　　 [跟踪训练]解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a＜0)．解：原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0，化简为(x＋1)(ax－2)≥0.∵a＜0，∴(x＋1)≤0.当－2＜a＜0时，≤x≤－1；当a＝－2时，x＝－1；当a＜－2时，－1≤x≤.综上所述，当－2＜a＜0时，原不等式的解集为；当a＝－2时，原不等式的解集为{x|x＝－1}；当a＜－2时，原不等式的解集为.一元二次不等式的实际应用[例2]　(链接教科书第55页例8)某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？[解]　(1)由题意，得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1 000×(1＋0.6x)(0<x<1)，整理得y＝－60x2＋20x＋200(0<x<1)．(2)要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当即解不等式组，得0<x<，所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x的范围为.解不等式应用题的步骤　　　　 [跟踪训练]如图所示，某小区内有一个矩形花坛ABCD，现将这一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝3 m，AD＝2 m．要使矩形AMPN的面积大于32 m2，则DN的长应在什么范围内？解：设DN的长为x(x>0)m，则AN的长为(x＋2)m.因为＝，所以AM＝，所以S矩形AMPN＝AN·AM＝.由S矩形AMPN>32，得>32.又x>0，得3x2－20x＋12>0，解得0<x<或x>6.即DN的长的取值范围是.求简单的一元高次不等式的解集解一元高次不等式f(x)>0(或f(x)<0)常用数轴穿根法(又称穿针引线法)．其一般步骤是：(1)将不等式化为一端为0，另一端为一次因式或二次不可约因式的积的形式，并使每个因式最高次项的系数为正；(2)求根，标根：求出各因式的根，并在数轴上从小到大依次标出；(3)画曲线：从数轴的最右端上方起，自右至左依次经过各个点(根)画曲线(注意：遇奇次重根一次穿过数轴，遇偶次重根穿而不过．若有三重以上根，可先等价转化，如x3>0⇔x>0，x4>0⇔x2>0等)；(4)写解集：记数轴上方为正，下方为负，根据不等号的方向，写出不等式的解集．[问题探究]如何求不等式(x＋2)(x2－x－12)>0的解集？提示：法一：原不等式可化为或即或解得x>4或－3<x<－2.所以原不等式的解集为{x|－3<x<－2或x>4}．法二：令(x＋2)(x2－x－12)＝0，得x1＝－3，x2＝－2，x3＝4.将－3，－2，4标在数轴上，如图．由图可知原不等式的解集为{x|－3<x<－2或x>4}．[迁移应用]解不等式(x2＋2x－3)(x－1)(－8x＋24)≤0.解：原不等式等价于(x＋3)(x－1)2(x－3)≥0，其中1为二次重根．把各因式的根在数轴上标出来，如图，由图可得原不等式的解集为{x|x≤－3或x＝1或x≥3}．1．(2021·兴化中学月考)若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是(　　)A．m<－2或m≥2　　　　 B．－2<m<2C．－2<m≤2  D．m≤2解析：选C　∵不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x对任意实数x均成立，∴(m－2)x2＋2(m－2)x－4<0，当m－2＝0，即m＝2时，不等式为－4<0，显然成立；当m－2≠0，即m≠2时，应满足解得－2<m<2.综上，－2<m≤2，故选C.2．解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.解：(1)当a＝0时，原不等式即为－x＋1<0，解得x>1.(2)当a<0时，原不等式化为(x－1)>0，解得x<或x>1.(3)当a>0时，原不等式化为(x－1)<0.若a＝1，即＝1时，不等式无解；若a>1，即<1时，解得<x<1；若0<a<1，即>1时，解得1<x<.综上可知，当a<0时，不等式的解集为；当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}；当0<a<1时，不等式的解集为；当a＝1时，不等式的解集为∅；当a>1时，不等式的解集为.