高中数学湘教版（2019）必修 第一册第3章 函数的概念与性质3.1 函数导学案

这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第一册第3章 函数的概念与性质3.1 函数导学案，共10页。



3．1　函数
3．1.1　对函数概念的再认识

新课程标准解读
核心素养
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，会判断两个函数是否为同一函数
数学抽象
2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用
数学抽象、数学建模
3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域，值域
数学抽象、数学运算



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[问题]　你知道这种对应关系在数学中叫什么吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点一　函数的有关概念
1．定义：设A，B是两个非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一的数y和它对应，那么称这样的对应f：A→B为定义于A取值于B的函数．
2．记法：y＝f(x)(x∈A，y∈B)．
3．定义域：叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域．
4．函数值(值域)：与x∈A对应的数叫作函数值，记作f(x)，所有函数值组成的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．值域是集合B的子集．

对函数概念的3点说明
(1)当A，B为非空数集时，符号f：A→B表示从集合A到集合B的一个函数；
(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性；
(3)符号“f”表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．　　　　

1．有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？
提示：这种看法不对．符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．
2．f(x)与f(a)有何区别与联系？
提示：f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．

1．下图中能表示函数关系的是________．

解析：由于③中的2与1和3同时对应，故③不是函数．
答案：①②④
2．函数f(x)＝的定义域是________．
解析：由4－x＞0，解得x＜4，所以原函数的定义域为{x|x<4}．
答案：{x|x<4}
3．已知f(x)＝x2＋1，则f(－1)＝________．
解析：∵f(x)＝x2＋1，∴f(－1)＝(－1)2＋1＝2.
答案：2
知识点二　函数相等
两个函数f(x)和g(x)，当且仅当有相同的定义域U且对每个x∈U都有f(x)＝g(x)时，叫作相等．

定义域和值域分别相同的两个函数是相等函数吗？
提示：不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是相等函数．

给出下列三组函数，其中表示相等函数的是________(填序号)．
①f(x)＝x，g(x)＝；
②f(x)＝2x＋1，g(x)＝2x－1；
③f(x)＝x，g(x)＝.
解析：①两函数的定义域不同，f(x)与g(x)不是相等函数；②两函数的解析式不同(对应关系不同)，f(x)与g(x)不是相等函数；③f(x)与g(x)不但定义域相同，而且对应关系也相同，故f(x)与g(x)是相等函数．
答案：③


函数关系的判断
[例1]　(1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：

其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是(　　)
A．0　　　　　　　　　　 B．1
C．2 D．3
(2)(多选)下列两个集合间的对应中，是A到B的函数的有(　　)
A．A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数的平方
B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数的开方
C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数
D．A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，f：A中的数的2倍
[解析]　(1)①中，因为在集合M中当1 (2)A中，可构成函数关系；B中，对于集合A中元素1，在集合B中有两个元素与之对应，因此不是函数关系；C中，A中元素0的倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，因此不是函数关系；D中，可构成函数关系，故选A、D.
[答案]　(1)B　(2)AD

1．判断对应关系是否为函数的2个条件
(1)A，B必须是非空实数集；
(2)A中的任意一个元素在B中有且只有一个元素与之对应．
2．根据图形判断是否为函数的方法
(1)任取一条垂直于x轴的直线l；
(2)在定义域内平行移动直线l；
(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．
[注意]　对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．　　　　
[跟踪训练]
1．下列对应或关系式中是A到B的函数的是(　　)

A．A＝R，B＝R，x2＋y2＝1
B．A＝{1，2，3，4}，B＝{0，1}，对应关系如图：
C．A＝R，B＝R，f：x→y＝
D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝
解析：选B　A错误，x2＋y2＝1可化为y＝±，显然对任意x∈A，y值不唯一；B正确，符合函数的定义；C错误，2∈A，但在B中找不到与之相对应的数；D错误，－1∈A，在B中也找不到与之相对应的数．
2．下列各题中的对应关系是不是实数集R上的函数？为什么？
(1)f：把x对应到3x＋1；
(2)g：把x对应到|x|＋1；
(3)h：把x对应到；
(4)r：把x对应到.
解：(1)是，它的对应关系f是把x乘3再加1，对于任意的x∈R，3x＋1是唯一确定．
(2)是，理由同上．
(3)不是，当x＝0时，无意义．
(4)不是，当x<0时，无意义．

求已知函数的定义域
[例2]　(链接教科书第65页例1)确定下列函数的定义域：
(1)y＝·；
(2)y＝(x－1)0＋ .
[解]　(1)由题意得，⇒x＝1，
∴函数的定义域为{1}．
(2)由题意得，解得x>－1且x≠1，
∴函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}．

求函数定义域的常用方法
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零；
(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合；
(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集；
(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．　　　　
[跟踪训练]
1．已知函数f(x)的定义域为{x|－2≤x≤2}，函数g(x)＝，则函数g(x)的定义域为(　　)
A. B．{x|x>－1}
C. D．
解析：选A　由题可得解得－ 2．确定下列函数的定义域：
(1)y＝－；(2)y＝.
解：(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
解得x≤1，且x≠－1，
即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}．
(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
解得x≤5且x≠±3，
即函数定义域为{x|x≤5且x≠±3}．

求函数值
[例3]　(链接教科书第66页例2)已知f(x)＝(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)，则f(2)＝________，f(g(2))＝________．
[解析]　∵f(x)＝，
∴f(2)＝＝.
又∵g(x)＝x2＋2，
∴g(2)＝22＋2＝6，
∴f(g(2))＝f(6)＝＝.
[答案]　　

求函数值的方法
(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值；
(2)求f(g(a))的值应遵循由里向外的原则．　　　　
[跟踪训练]
已知函数f(x)＝－1，且f(a)＝3，则a＝________．
解析：因为f(x)＝－1，所以f(a)＝－1.
又因为f(a)＝3，所以－1＝3，a＝16.
答案：16

相等函数的判定
[例4]　(多选)下列式子表示相等函数的是(　　)
A．f(x)＝|x|，φ(t)＝
B．y＝，y＝()2
C．y＝·，y＝
D．y＝，y＝x－3
[解析]　A：f(x)与φ(t)的定义域相同，又φ(t)＝＝|t|，即f(x)与φ(t)的对应关系也相同，∴f(x)与φ(t)是相等函数；
B：y＝的定义域为R，y＝()2的定义域为{x|x≥0}，两者定义域不同，故y＝与y＝()2不是相等函数；
C：y＝·的定义域为{x|－1≤x≤1}，y＝的定义域为{x|－1≤x≤1}，即两者定义域相同．又∵y＝·＝，∴两函数的对应关系也相同．故y＝·与y＝是相等函数；
D：∵y＝＝|x－3|与y＝x－3的定义域相同，但对应关系不同，∴y＝与y＝x－3不是相等函数．
[答案]　AC

判断两个函数是否为相等函数的三个步骤

[注意]　(1)在化简解析式时，必须是等价变形；
(2)与用哪个字母表示无关．　　　　
[跟踪训练]
给出下列三个说法：①f(x)＝x0与g(x)＝1是相等函数；②y＝f(x)，x∈R与y＝f(x＋1)，x∈R可能是相等函数；③y＝f(x)，x∈R与y＝f(t)，t∈R是相等函数．其中正确的个数是(　　)
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选B　①错误．函数f(x)＝x0的定义域为{x|x≠0}，函数g(x)＝1的定义域是R，不是相等函数；②正确．y＝f(x)，x∈R与y＝f(x＋1)，x∈R两函数定义域相同，对应关系可能相同，所以可能是相等函数；③正确．两个函数定义域相同，对应关系完全一致，是相等函数．所以正确的个数有2个．

抽象函数与复合函数
一、概念
1．抽象函数的概念
没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数．
2．复合函数的概念
若函数y＝f(t)的定义域为A，函数t＝g(x)的定义域为D，值域为C，则当C⊆A时，称函数y＝f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t＝g(x)叫做内层函数，y＝f(t)叫做外层函数．
[说明]　由复合函数的定义可知，内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的子集，外层函数的定义域和内层函数的值域共同确定了复合函数的定义域．
二、抽象函数与复合函数的定义域
理解抽象函数或复合函数的定义域，要明确以下几点：
(1)函数f(x)的定义域是指x的取值所组成的集合；
(2)函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围，而不是φ(x)的范围；
(3)f(t)，f(φ(x))，f(h(x))三个函数中的t，φ(x)，h(x)在对应关系f下的范围相同；
(4)已知f(x)的定义域为A，求f(φ(x))的定义域，其实质是已知φ(x)的范围(值域)为A，求出x的取值范围；
(5)已知f(φ(x))的定义域为B，求f(x)的定义域，其实质是已知f(φ(x))中的x的取值范围为B，求出φ(x)的范围(值域)，此范围就是f(x)的定义域．
三、应用
1．已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域
[例1]　已知函数f(x)＝，则函数f(3x－2)的定义域为(　　)
A.　　　 B．
C．[－3，1] D．
[思路点拨]　解题的关键是求出函数y＝f(x)中x的范围，这个范围即为3x－2的范围，建立不等式求出自变量x的范围即可．
[解析]　由－x2＋2x＋3≥0，解得－1≤x≤3，
即函数f(x)的定义域为[－1，3]．
由－1≤3x－2≤3，解得≤x≤，
则函数f(3x－2)的定义域为.
[答案]　A
2．已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域
[例2]　已知f(x2－1)定义域为[0，3]，则f(x)的定义域为________．
[思路点拨]　定义域是指自变量的取值范围，则f(x2－1)中x∈[0，3]，求出x2－1的范围，这个范围即为f(x)的定义域．
[解析]　根据f(x2－1)定义域为[0，3]，得x∈[0，3]，
∴x2∈[0，9]，∴x2－1∈[－1，8]．
故f(x)的定义域为[－1，8]．
[答案]　[－1，8]
3．已知f(g(x))的定义域，求f(h(x))的定义域
[例3]　若函数f(x＋1)的定义域为，则函数f(x－1)的定义域为________．
[解析]　由题意知－≤x≤2，则≤x＋1≤3，即f(x)的定义域为，∴≤x－1≤3，解得≤x≤4.
故f(x－1)的定义域是.
[答案]　
4．求运算型抽象函数(由有限个抽象函数经四则运算得到的函数)的定义域
[例4]　已知函数f(x)的定义域为[0，1]，求函数g(x)＝f(x＋m)＋f(x－m)(m>0)的定义域．
[思路点拨]　由f(x)的定义域为[0，1]可知对应关系f作用的范围为[0，1]，而f(x＋m)＋f(x－m)的定义域是指当x在什么范围内取值时，才能使x＋m，x－m都在[0，1]这个区间内，从而使f(x＋m)＋f(x－m)有意义．
[解]　由题意得⇒
∵m>0，∴－m ①若m＝1－m，即m＝，则x＝m＝；
②若m<1－m，即0 ③若m>1－m，即m>，则x∈∅，与题意不符，故m不可能大于.
综上所述，当0
1．(多选)下列等式中的变量x，y不具有函数关系的是(　　)
A．y＝x－1 B．y＝
C．y2＝4x D．y2＝x2
解析：选CD　选项C中，当x＝1时，y＝±2，不符合函数的定义；选项D中，当x＝1时，y＝±1，不符合函数的定义．故选C、D.
2．函数y＝＋的定义域为(　　)
A．{x|x≤1} B．{x|x≥0}
C．{x|x≥1或x≤0} D．{x|0≤x≤1}
解析：选D　由题意可知解得0≤x≤1.
3．下列各组函数中是相等函数的是(　　)
A．y＝x＋1与y＝
B．y＝x2＋1与s＝t2＋1
C．y＝2x与y＝2x(x≥0)
D．y＝(x＋1)2与y＝x2
解析：选B　对于选项A，前者定义域为R，后者定义域为{x|x≠1}，不是相等函数；对于选项B，虽然变量不同，但定义域和对应关系均相同，是相等函数；对于选项C，虽然对应关系相同，但定义域不同，不是相等函数；对于选项D，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数．
4．已知函数f(x)＝x2－mx＋n，且f(1)＝－1，f(n)＝m，则f(f(－1))＝________，f(f(x))＝________．
解析：由题意知解得
所以f(x)＝x2－x－1，故f(－1)＝1.
f(f(－1))＝－1，
f(f(x))＝f(x2－x－1)＝(x2－x－1)2－(x2－x－1)－1＝x4－2x3－2x2＋3x＋1.
答案：－1　x4－2x3－2x2＋3x＋1