高中数学湘教版（2019）必修 第一册2.3 一元二次不等式完美版ppt课件

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2.3.2　一元二次不等式的应用课标要求　能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.素养要求　通过认识一元二次不等式模型的重要性，发展学生的数学建模及数学运算素养.自 主 梳 理1.一元二次不等式模型根据题意抽象出的模型是一元二次不等式或一元二次函数，需要求变量的范围或者最值，解决办法是解一元二次不等式或用配方法求最值，注意实际含义对变量取值范围的影响.2.利用一元二次不等式解决实际问题的一般步骤是：(1)理解题意，分析清楚量与量之间的关系；(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为一元二次不等式问题；(3)解这个一元二次不等式得到实际问题的解.自 主 检 验1.思考辨析，判断正误(1)利用一元二次不等式解实际问题时，要注意实际问题的意义.(√)(2)解实际应用问题的一般步骤是：审题—建模—解模—还原.(√)(3)与二次函数有关的实际问题，其最值一定在对称轴处取到.(×)提示　要先确定自变量范围和开口方向，也可能在端点取到.2.一服装厂生产某种风衣，日产量为x(x∈N)件时，售价为p元/件，每天的总成本为R元，且p＝160－2x，R＝500＋30x，要使获得的日利润不少于1 300元，则x的取值范围是(　　)A.{x∈N|0<x<45} B.{x∈N|0<x≤45}C.{x∈N|0<x≤20} D.{x∈N|20≤x≤45}答案　D解析　由题意设日利润为y元，则y＝(160－2x)·x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500，由y≥1 300，解得20≤x≤45，即x的取值范围为{x∈N|20≤x≤45}.故选D.3.某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元.答案　2 500解析　总利润L(Q)＝40Q－Q2－10Q－2 000＝－Q2＋30Q－2 000＝－(Q－300)2＋2 500，当Q＝300时，L(Q)的最大值为2 500万元.题型一　实际问题中的范围问题例1 国家为了加强对烟酒生产的宏观调控，实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元，不加收附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税R元(叫作税率R%)，则每年的产销量将减少10R万瓶，要使每年在此项经营中所收取附加税金额不少于112万元，则R应怎样确定？解　设产销量每年为x万瓶，则销售收入每年70x万元，从中征收的金额为70x·R%万元，其中x＝100－10R.由题意，得70(100－10R)·R%≥112，整理，得R2－10R＋16≤0.因为Δ＝36>0，所以方程R2－10R＋16＝0的两个实数根分别为R1＝2，R2＝8.由二次函数y＝R2－10R＋16的图象，得不等式的解集为{R|2≤R≤8}.所以当2≤R≤8时，每年在此项经营中所收取附加税金额不少于112万元.思维升华　解有关不等式应用题的步骤(1)选用合适的字母表示题中的未知数.(2)由题中给出的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组).(3)解所列出的不等式(组).(4)结合问题的实际意义写出答案.训练1 某热带风暴中心B位于海港城市A东偏南30°的方向，与A市相距400 km.该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？解　如图，以A市为原点，正东方向为x轴建立直角坐标系，因为|AB|＝400，∠BAx＝30°，所以热带风暴中心B的坐标为(200，－200)，x h后热带风暴中心B到达点P(200，40x－200)处，由已知，A市受热带风暴影响时，有|AP|≤350，即(200)2＋(40x－200)2≤3502，整理得16x2－160x＋375≤0，解不等式，得3.75≤x≤6.25，A市受热带风暴影响的时间为6.25－3.75＝2.5，故在3.75 h后，A市会受到热带风暴的影响，时间长达2.5 h.题型二　实际问题中的最值问题例2 甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f(x)，g(x)，当甲公司投入x万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f(x)万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则，没有失败的风险；当乙公司投入x万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费用小于g(x)万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则，没有失败的风险.(1)若f(0)＝10，g(0)＝20，试解释它们的实际意义；(2)设f(x)＝＋10，g(x)＝＋20，甲、乙两公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司应投入多少宣传费？解　(1)f(0)＝10表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败风险，至少要投入10万元宣传费；g(0)＝20表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣传费.(2)设甲公司投入宣传费x万元，乙公司投入宣传费y万元，若双方均无失败的风险，依题意，当且仅当成立.故y≥(＋20)＋10，则4y－－60≥0，所以(－4)(4＋15)≥0，得≥4，故y≥16，x≥＋20≥24，即在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，甲公司应投入24万元宣传费，乙公司应投入16万元宣传费.思维升华　与最值相关的二次函数问题的解题方法(1)此类问题一般涉及最大值、最小值的确定，实质是求二次函数的最值，一般是根据题意列出相应的二次函数，再通过配方求最值.(2)需要注意二次函数的对称轴与实际问题中自变量范围的关系，若对称轴在取值范围内，则最值在对称轴处取，若不在取值范围内，则根据函数的增减情况确定在哪一个端点处取最值.训练2 今有一长2米、宽1米的矩形铁皮，如图所示，在四个角上分别截去一个边长为x米的正方形后，沿虚线折起可做成一个无盖的长方体形水箱(接口连接问题不考虑).(1)求水箱容积的表达式f(x)；(2)若要使水箱容积不大于4x3立方米的同时，又使得底面积最大，求x的值.解　(1)由已知得该长方体形水箱高为x米，底面矩形长为(2－2x)米，宽(1－2x)米.∴该水箱容积为f(x)＝(2－2x)(1－2x)x＝4x3－6x2＋2x.其中正数x满足∴0<x<.∴所求函数f(x)＝4x3－6x2＋2x，0<x<.(2)由f(x)≤4x3，得x≤0或x≥.∵0<x<，∴≤x<.此时水箱的底面积为S(x)＝(2－2x)(1－2x)＝4x2－6x＋2，x∈.由S(x)＝4－，可知S(x)在上随x的增大而减小，∴x＝时S(x)最大.∴满足条件的x是米.[课堂小结]1.解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解.2.解不等式实际应用题的解题思路一、基础达标1.若－2x2＋5x－2>0，则＋2|x－2|等于(　　)A.4x－5   B.－3C.3   D.5－4x答案　C解析　∵－2x2＋5x－2>0，∴<x<2，∴2x>1，x<2，原式＝|2x－1|＋2|x－2|＝2x－1－2(x－2)＝3.2.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆).若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为(　　)A.45.606万元   B.45.6万元C.45.56万元   D.45.51万元答案　B解析　依题意可设甲销售x辆，则乙销售(15－x)辆，∴总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0).∴当x＝10时，Smax＝45.6(万元).3.将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为(　　)A.85元   B.90元  C.95元   D.100元答案　C解析　设每个售价定为x元，则利润y＝(x－80)[400－(x－90)×20]＝－20·[(x－95)2－225]，∴当x＝95时，y最大.4.已知某商品每件的成本价为80元，售价为100元，每天可售出100件.若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加x成.要求售价不能低于成本价，则x的取值范围为(　　)A.{x|x≤2}   B.{x|0<x≤2}C.{x|0≤x≤2}   D.答案　C解析　由题意得，y＝100·100.因为售价不能低于成本价，所以100－80≥0，解得0≤x≤2.5.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是(　　)A.[15，20]   B.[12，25]C.[10，30]   D.[20，30]答案　C解析　依题意，设矩形高为y m，则·x·(40－y)＋(40－x)·y＋xy＝×40×40，即x＋y＝40，∴y＝40－x，∴xy≥300，即x(40－x)≥300，解得10≤x≤30.6.一枚炮弹被发射后，其升空高度h与时间t的函数关系为h＝130t－5t2，则t的范围是________.答案　[0，26]解析　令h≥0，解得0≤t≤26，故所求范围为[0，26].7.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________.答案　3解析　设隔墙的长度为x(0<x<6)，矩形面积为y，则y＝x·＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，∴当x＝3时，y最大.8.某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24 000元，为了减小耕地损失，决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少t万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，t变动的范围是________.答案　[3，5]解析　由题意可列不等式·24 000·t%≥9 000，整理得t2－8t＋15≤0，解得3≤t≤5.9.某单位在对一个长为800 m、宽为600 m的草坪进行绿化时，是这样设想的：中间为矩形绿草坪，四周为等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围.解　设花坛宽度为x m，则草坪的长为(800－2x)m，宽为(600－2x)m，(0<x<300).根据题意得(800－2x)(600－2x)≥×800×600，整理得x2－700x＋60 000≥0，解不等式得x≥600(舍去)或x≤100，因此0<x≤100.故当花坛的宽度在0<x≤100之间取值时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一.10.某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量.(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？解　(1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(0<x<1)，整理得y＝－6 000x2＋2 000x＋20 000(0<x<1).(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有即解得0<x<，所以投入成本增加的比例应在内.二、能力提升11.大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R(元)与门面经营天数x的关系是R(x)＝则当总利润最大时，该门面经营的天数是(　　)A.300   B.310  C.325   D.405答案　A解析　由题意，总利润y＝当0≤x≤400时，y＝－(x－300)2＋25 000，所以当x＝300时，ymax＝25 000；当x>400时，y＝60 000－100x<20 000.综上，当门面经营的天数为300时，总利润最大为25 000元.12.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟，此时可食用率为________.答案　3.75　解析　根据图象，把(t，p)的三组数据(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)分别代入函数关系式，得解得∴p＝－0.2t2＋1.5t－2.0＝－＋.当t＝＝3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟.13.商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少.把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元.现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售.问：(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？解　(1)设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，则x∈(100，300]，n＝kx＋b(k<0)，∵0＝300k＋b，即b＝－300k，∴n＝k(x－300).∴利润y＝(x－100)k(x－300)＝k(x－200)2－10 000k(x∈(100，300])，∵k<0，∴x＝200时，ymax＝－10 000k，即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元.(2)由题意得k(x－100)(x－300)＝－10 000k·75%，x2－400x＋37 500＝0，解得x＝250或x＝150，所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元.三、创新拓展14.某自来水厂的蓄水池存有400 t水，水厂每小时可向蓄水池中注水60 t，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，x h内供水总量为120(0≤x≤24).(1)从供水开始到第几个小时蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？(2)若蓄水池中水量少于80 t时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24 h内，有几个小时出现供水紧张现象？解　(1)设t h后蓄水池中的水量为y吨，则y＝400＋60t－120，0≤t≤24，令＝x，则x2＝6t，∴t＝(0≤x≤12).∴y＝400＋10x2－120x＝10(x－6)2＋40.∵0≤x≤12，故当x＝6，即t＝6时，y的最小值为40.故从供水开始到第6 h时，蓄水池中水量最少，为40吨.(2)依题意并结合(1)，令400＋10x2－120x<80，得x2－12x＋32<0，解得4<x<8.故16<x2<64.∵x2＝6t，∴16<6t<64.∴<t<.又－＝8，∴每天约有8 h供水紧张.