高中数学北师大版 必修第二册第二章 ——从速度的倍数到向量的数乘【课件+同步练习】
展开向量的数乘与向量共线的关系
1．下列说法中正确的个数是( )
①λa与a的方向不是相同就是相反
②当且仅当a与b共线时，a与a＋b共线
③若|b|＝2|a|，则b＝±2a，
④若b＝±2a，则|b|＝2|a|
A．1 B．2
C．3 D．4
2．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是( )
A．矩形 B．平行四边形
C．梯形 D．以上都不对
3．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，并且a＋b与c共线，b＋c与a共线，那么a＋b＋c等于( )
A．a B．b
C．c D．0
4．点P满足向量＝2－，则点P与AB的位置关系是( )
A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB的延长线上
C．点P在线段AB的反向延长线上
D．点P在直线AB外
5．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三点共线的充要条件是( )
A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1 D．λμ＝1
6．已知e1，e2是平面内不共线的两个向量，a＝2e1－3e2，b＝λe1＋6e2，若a，b共线，则λ等于________．
7．若＝e，＝－2e，则四边形ABCD是________．
8．如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则＝________.(用、表示)
9．在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H，记、分别为a、b，用a、b表示.
10．如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD．求证：M，N，C三点共线.
11．点O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
12．给出下列两个命题：
①若a与b共线，则存在唯一实数λ，使a＝λb；
②若不存在实数λ，使a＝λb，则a与b不共线．
对这两个命题判断正确的是( )
A．①是真命题，②是假命题
B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是真命题
D．①、②都是假命题
13．(多选)平面上点P与不共线的三点A、B、C满足关系：＋＋＝，则下列结论错误的是( )
A．P在CA上，且＝2
B．P在AB上，且＝2
C．P在BC上，且＝2
D．P点为△ABC的重心
14．设a，b不共线，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p＝________.
15．如图，在△OBC中，点A是BC的中点，点D是OB上靠近点B的一个三等分点，DC和OA交于点E.设＝a，＝b.
(1)用向量a，b表示，；
(2)若＝λ，求实数λ的值．
答案
1．下列说法中正确的个数是( )
①λa与a的方向不是相同就是相反
②当且仅当a与b共线时，a与a＋b共线
③若|b|＝2|a|，则b＝±2a，
④若b＝±2a，则|b|＝2|a|
A．1 B．2
C．3 D．4
B [②④正确．]
2．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是( )
A．矩形 B．平行四边形
C．梯形 D．以上都不对
C [由已知＝＋＋＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2.
∴∥，又与不平行，
∴四边形ABCD是梯形．]
3．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，并且a＋b与c共线，b＋c与a共线，那么a＋b＋c等于( )
A．a B．b
C．c D．0
D [∵a＋b与c共线，∴存在实数λ1，使得a＋b＝λ1c.①
又∵b＋c与a共线，
∴存在实数λ2，使得b＋c＝λ2a.②
由①得，b＝λ1c－a.
∴b＋c＝λ1c－a＋c＝(λ1＋1)c－a＝λ2a，
∴即
∴a＋b＋c＝－c＋c＝0.]
4．点P满足向量＝2－，则点P与AB的位置关系是( )
A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB的延长线上
C．点P在线段AB的反向延长线上
D．点P在直线AB外
C [∵＝2－，
∴－＝－，
∴＝，
∴点P在线段AB的反向延长线上，故选C．]
5．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三点共线的充要条件是( )
A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1 D．λμ＝1
D [由＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)及A，B，C三点共线得：＝t，所以λa＋b＝t(a＋μb)＝ta＋tμb，即可得所以λμ＝1.故选D．]
6．已知e1，e2是平面内不共线的两个向量，a＝2e1－3e2，b＝λe1＋6e2，若a，b共线，则λ等于________．
－4 [由a，b共线知，m∈R，使得a＝mb，
于是2e1－3e2＝m(λe1＋6e2)，即(2－mλ)e1＝(6m＋3)e2，
由于e1，e2不共线，所以所以λ＝－4.]
7．若＝e，＝－2e，则四边形ABCD是________．
梯形 [由题意知＝－2，所以∥，且||≠||.]
8．如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则＝________.(用、表示)
－ [＝－，＝＋.
∵E为BC的中点，F为AE的中点，
∴＝，＝，
∴＝－＝－＝(＋)－＝＋－，
又＝，∴＝－.]
9．在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H，记、分别为a、b，用a、b表示.
[解] ＝b＋a，＝a－b，设＝λ，则＝λa－λb，
∴＝＋＝λa＋b，
∵与共线且a、b不共线，
∴＝，解得λ＝，
∴＝a＋b.
10．如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD．求证：M，N，C三点共线.
[证明] 设＝a，＝b，
则由向量减法的三角形法则可知：＝－＝－＝a－b.
又∵N在BD上且BD＝3BN，
∴＝＝(＋)＝(a＋b)，
∴＝－＝(a＋b)－b＝a－b＝，
∴＝，又∵与的公共点为C，
∴M，N，C三点共线．
11．点O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
B [原式可化为－＝λ(e1＋e2)，其中e1，e2分别是，方向上的单位向量．
∴＝λ(e1＋e2)，(λ≥0)，
因此，AP平分∠BAC，
∴P点必落在∠A的平分线上，即P的轨迹一定通过△ABC的内心，故选B．]
12．给出下列两个命题：
①若a与b共线，则存在唯一实数λ，使a＝λb；
②若不存在实数λ，使a＝λb，则a与b不共线．
对这两个命题判断正确的是( )
A．①是真命题，②是假命题
B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是真命题
D．①、②都是假命题
D [当a≠0，b＝0时，a与b共线，但不存在实数λ使a＝λb，故①为假命题；
当a≠0，b＝0时，不存在实数λ使a＝λb，但a与b共线，故②也为假命题．]
13．(多选)平面上点P与不共线的三点A、B、C满足关系：＋＋＝，则下列结论错误的是( )
A．P在CA上，且＝2
B．P在AB上，且＝2
C．P在BC上，且＝2
D．P点为△ABC的重心
BCD [＋＋＝＋＝－＋＝＝2∥P在CA上．]
14．设a，b不共线，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p＝________.
－1 [∵＝a＋b，＝a－2b，
∴＝＋＝2a－b.又∵A，B，D三点共线，∴，共线．
设＝λ，
∴2a＋pb＝λ(2a－b)，
∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1.]
15．如图，在△OBC中，点A是BC的中点，点D是OB上靠近点B的一个三等分点，DC和OA交于点E.设＝a，＝b.
(1)用向量a，b表示，；
(2)若＝λ，求实数λ的值．
[解] (1)由＝(＋)，得＝2－＝2a－b，＝－＝－＝2a－b.
(2)∵D，E，C三点共线，
∴可设＝m＝2ma－mb.①
在△ODE中，＝－＝λ－＝λa－b.②
由①②得2ma－mb＝λa－b，即(2m－λ)a＝b.
又a，b不共线，
∴∴λ＝.
