2022版新教材高考数学一轮复习课时质量评价29平面向量基本定理及坐标表示含解析新人教A版

这是一份2022版新教材高考数学一轮复习课时质量评价29平面向量基本定理及坐标表示含解析新人教A版，共8页。试卷主要包含了已知向量m＝，n＝，已知a＝，b＝，等内容，欢迎下载使用。

A组 全考点巩固练
1．(2020·巴中模拟)若向量eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,3)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(4,7)，则eq \(BC,\s\up6(→))等于( )
A．(－2，－4)B．(2,4)
C．(6,10)D．(－6，－10)
B 解析：eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，4)．
2．已知平面向量a＝(k，2)，b＝(1，1)，k∈R，则k＝2是a与b同向的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
C 解析：若a与b同向，则a＝mb(m>0)，
即(k,2)＝m(1,1)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝m，,2＝m，))得m＝2，k＝2，
即k＝2是a与b同向的充要条件．
3．线段AB的端点为A(x,5)，B(－2，y)，直线AB上的点C(1,1)，使|eq \(AC,\s\up6(→))|＝2|eq \(BC,\s\up6(→))|，则x＋y＝( )
A．－2B．2
C．－2或6D．2或6
C 解析：由已知得eq \(AC,\s\up6(→))＝(1－x，－4)，2eq \(BC,\s\up6(→))＝2(3，1－y)．由|eq \(AC,\s\up6(→))|＝2|eq \(BC,\s\up6(→))|，可得eq \(AC,\s\up6(→))＝±2eq \(BC,\s\up6(→))，
则当eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(BC,\s\up6(→))时，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x＝6，,－4＝2－2y，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－5，,y＝3，))此时x＋y＝－2；
当eq \(AC,\s\up6(→))＝－2eq \(BC,\s\up6(→))时，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x＝－6，,－4＝－2＋2y，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝7，,y＝－1，))此时x＋y＝6.
综上可知，x＋y＝－2或6.
4．(2020·南昌调研)已知向量a＝(1，－2)，b＝(x,3y－5)，且a∥b.若x，y均为正数，则xy的最大值是( )
A．2eq \r(6) B．eq \f(25,12) C．eq \f(25,24) D．eq \f(25,6)
C 解析：因为a∥b，所以(3y－5)×1＋2x＝0，即2x＋3y＝5.因为x＞0，y＞0，所以5＝2x＋3y≥2eq \r(6xy)，所以xy≤eq \f(25,24)，当且仅当3y＝2x时取等号．
5．(多选题)已知向量a＝(－2,0)，a－b＝(－3，－1)，则下列结论错误的是( )
A．b＝(－1,1)B．a∥b
C．|a|＝|b|D．|a＋b|＝|b|
ABC 解析：因为a＝(－2，0)，a－b＝(－3，－1)，所以b＝(1，1)，所以a·b＝－2，|a|＝2，|b|＝eq \r(2)，所以选项A，B，C都不正确．而a＋b＝(－1，1)，则|a＋b|＝eq \r(2)＝|b|，所以D正确．故选ABC．
6．(2020·开封月考)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)．若(2m＋n)∥(m－2n)，则λ＝________.
0 解析：因为2m＋n＝(3λ＋4，4)，m－2n＝(－λ－3，－3)，且(2m＋n)∥(m－2n)，所以(－3)·(3λ＋4)－4(－λ－3)＝0，解得λ＝0.
7．已知在△ABC中，点O满足eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0，点P是OC上异于端点的任意一点，且eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，则m＋n的取值范围是________．
(－2,0) 解析：设eq \(OP,\s\up6(→))＝λeq \(OC,\s\up6(→))(0<λ<1)，由eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0，知eq \(OC,\s\up6(→))＝－(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))，所以eq \(OP,\s\up6(→))＝－λeq \(OA,\s\up6(→))－λeq \(OB,\s\up6(→)).由平面向量基本定理知，m＋n＝－2λ，所以m＋n∈(－2,0)．
8．(2020·中原名校联考)如图，在△ABC中，点M是BC的中点，N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，则eq \f(AP,PM)＝________.
4 解析：(方法一)如图，过M作MD∥AC交BN于点D，易知△PMD∽△PAN.
依题设知DM＝eq \f(1,2)NC＝eq \f(1,4)AN，
即eq \f(AP,PM)＝eq \f(AN,DM)＝4.
(方法二)设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，因为A，P，M三点共线，所以存在唯一实数λ，使得eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AM,\s\up6(→)).
又知M为BC的中点，所以eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)λ(a＋b)．
因为B，P，N三点共线，所以存在唯一实数μ，使得eq \(BP,\s\up6(→))＝μeq \(BN,\s\up6(→))，
又eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(BN,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋μ(eq \(AN,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)\(AC,\s\up6(→))－\(AB,\s\up6(→))))＝(1－μ)a＋eq \f(2,3)μb，
所以eq \f(1,2)λ(a＋b)＝(1－μ)a＋eq \f(2,3)μb，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－μ＝\f(1,2)λ，,\f(2,3)μ＝\f(1,2)λ，))
解得λ＝eq \f(4,5)，μ＝eq \f(3,5).
所以eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(4,5)eq \(AM,\s\up6(→))，eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \f(1,5)eq \(AM,\s\up6(→)).
所以|eq \(AP,\s\up6(→))|∶|eq \(PM,\s\up6(→))|＝4∶1，即eq \f(AP,PM)＝4.
9．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；
(2)若eq \(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b，eq \(BC,\s\up6(→))＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
解：(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．
因为ka－b与a＋2b共线，
所以2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，得k＝－eq \f(1,2).
(2)(方法一)因为A，B，C三点共线，所以eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＝λ，,3＝mλ，))解得m＝eq \f(3,2).
(方法二)eq \(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，
eq \(BC,\s\up6(→))＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．
因为A，B，C三点共线，所以eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(BC,\s\up6(→))，
所以8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，所以m＝eq \f(3,2).
10．已知点O是△ABC内的一点，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°.设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，试用a和b表示c.
解：以O为原点，OC，OB所在直线分别为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系．
由题意知，OA＝2，∠AOC＝120°，
所以A(2cs 120°，2sin 120°)，
即A(－1，eq \r(3))，易知B(0，－1)，C(3,0)．
设eq \(OA,\s\up6(→))＝λ1eq \(OB,\s\up6(→))＋λ2eq \(OC,\s\up6(→))，
即(－1，eq \r(3))＝λ1(0，－1)＋λ2(3,0)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1＝3λ2，,\r(3)＝－λ1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ1＝－\r(3)，,λ2＝－\f(1,3).))
所以a＝－eq \r(3)b－eq \f(1,3)c，即c＝－3a－3eq \r(3)b.
B组 新高考培优练
11．(多选题)已知向量m＝(1,0)，n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)))，则( )
A．|m|＝eq \r(2)|n|
B．(m－n)∥n
C．(m－n)⊥n
D．m与－n的夹角为eq \f(3π,4)
ACD 解析：因为m＝(1,0)，n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)))，所以|m|＝1，|n|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2))＝eq \f(\r(2),2)，
所以|m|＝eq \r(2)|n|，故A正确；
因为m－n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(1,2)))，所以m－n与n不平行，故B错误；
又(m－n)·n＝0，故C正确；因为cs〈m，－n〉＝eq \f(m·－n,|m||－n|)＝－eq \f(\r(2),2)，所以m与－n的夹角为eq \f(3π,4)，故D正确．故选ACD．
12.已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(\(OB,\s\up6(→))＋\(OC,\s\up6(→)),2)＋λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|cs B)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|cs C)))，λ∈[0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
C 解析：设BC的中点为D，则eq \f(\(OB,\s\up6(→))＋\(OC,\s\up6(→)),2)＝eq \(OD,\s\up6(→)).
由已知得eq \(DP,\s\up6(→))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|cs B)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|cs C)))，
所以eq \(DP,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|cs B)＋\f(\(AC,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|cs C)))
＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|\(AB,\s\up6(→))|·|\(BC,\s\up6(→))|csπ－B,|\(AB,\s\up6(→))|cs B)＋\f(|\(AC,\s\up6(→))|·|\(BC,\s\up6(→))|cs C,|\(AC,\s\up6(→))|cs C)))
＝λ(－|eq \(BC,\s\up6(→))|＋|eq \(BC,\s\up6(→))|)＝0.
所以DP⊥BC，点P在BC的垂直平分线上，故动点P的轨迹通过△ABC的外心．
13．(2020·丹东五校联考)向量a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，tan α))，b＝(cs α，1)，且a∥b，则cs 2α＝________.
eq \f(7,9) 解析：因为a∥b，a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，tan α))，b＝(cs α，1)，所以tan α·cs α＝sin α＝eq \f(1,3)，所以cs 2α＝1－2sin2α＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(7,9).
14．在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AB＝BC＝2AD＝2，E，F分别为BC，CD的中点，以A为圆心，AD为半径的半圆分别交BA及其延长线于点M，N，点P在半圆弧MN上运动(如图)．若eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AE,\s\up6(→))＋μeq \(BF,\s\up6(→))，其中λ，μ∈R，则2λ－5μ的最小值为________，最大值为________．
－2eq \r(2) 2 解析：由于AB⊥AD，故以A为原点，以AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．
因为AB＝BC＝2AD＝2，E，F分别为BC，CD的中点，
所以A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,1)，E(2,1)，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))).
因为点P在半圆弧MN上运动，圆的半径为1，
所以设P(cs α，sin α)(0≤α≤π)，
所以eq \(AP,\s\up6(→))＝(cs α，sin α)，eq \(AE,\s\up6(→))＝(2,1)，eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(3,2))).
因为eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AE,\s\up6(→))＋μeq \(BF,\s\up6(→))，
所以(cs α，sin α)
＝λ(2,1)＋μeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(3,2)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2λ－μ，λ＋\f(3,2)μ))，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2λ－μ＝cs α，,λ＋\f(3,2)μ＝sin α，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(1,4)sin α＋\f(3,8)cs α，,μ＝\f(1,2)sin α－\f(1,4)cs α，))
所以2λ－5μ＝2cs α－2sin α＝2eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,4))).
因为0≤α≤π，所以eq \f(3π,4)≤α＋eq \f(3π,4)≤eq \f(7π,4)，
所以－2eq \r(2)≤2eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,4)))≤2.
即2λ－5μ的最小值为－2eq \r(2)，最大值为2.
15．如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线．
(1)设eq \(PG,\s\up6(→))＝λeq \(PQ,\s\up6(→))，将eq \(OG,\s\up6(→))用λ，eq \(OP,\s\up6(→))，eq \(OQ,\s\up6(→))表示；
(2)设eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OQ,\s\up6(→))＝yeq \(OB,\s\up6(→))，证明：eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)是定值．
(1)解：eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \(PG,\s\up6(→))＝eq \(OP,\s\up6(→))＋λeq \(PQ,\s\up6(→))＝eq \(OP,\s\up6(→))＋λ(eq \(OQ,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→)))＝(1－λ)eq \(OP,\s\up6(→))＋λeq \(OQ,\s\up6(→)).
(2)证明：由(1)，得
eq \(OG,\s\up6(→))＝(1－λ)eq \(OP,\s\up6(→))＋λeq \(OQ,\s\up6(→))＝(1－λ)xeq \(OA,\s\up6(→))＋λyeq \(OB,\s\up6(→)).①
又因为G是△OAB的重心，
所以eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→)).②
而eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))不共线，
所以由①②，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－λx＝\f(1,3)，,λy＝\f(1,3)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＝3－3λ，,\f(1,y)＝3λ，))
所以eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝3(定值)．
16．给定两个长度为1的平面向量eq \(OA,\s\up6(→))和eq \(OB,\s\up6(→))，它们的夹角为90°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧eq \(\S\UP11(︵),AB)上运动．若eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．
解：(方法一)设∠AOC＝α，则α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).过点C作CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E(图略)，则四边形ODCE是平行四边形，所以eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(OE,\s\up6(→)).又eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，所以x＝cs α，y＝sin α，所以x＋y＝cs α＋sin α＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))).又因为α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则eq \f(π,4)≤α＋eq \f(π,4)≤eq \f(3π,4)，所以1≤x＋y≤eq \r(2)，即x＋y的最大值是eq \r(2).
(方法二)因为点C在以O为圆心的圆弧eq \(\S\UP10(︵),AB)上，所以|eq \(OC,\s\up6(→))|2＝|xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))|2＝x2＋y2＋2xyeq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝x2＋y2，所以x2＋y2＝1，则2xy≤x2＋y2＝1.又(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy≤2，所以x＋y的最大值为eq \r(2).