高考数学(文数)一轮复习考点测试26《平面向量基本定理及坐标表示》（教师版）

这是一份高考数学(文数)一轮复习考点测试26《平面向量基本定理及坐标表示》（教师版），共12页。试卷主要包含了了解平面向量基本定理及其意义，故选B，故选A等内容，欢迎下载使用。

考纲研读
1．了解平面向量基本定理及其意义
2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示
3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算
4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件
一、基础小题
1．已知向量a＝(2,1)，b＝(－4，m)，若a＝－eq \f(1,2)b，则m＝( )
A．－2 B．2 C．－eq \f(1,2) D．eq \f(1,2)
答案 A
解析 由向量的坐标运算可得1＝－eq \f(1,2)m，解得m＝－2．故选A．
2．设向量e1，e2为平面内所有向量的一组基底，且向量a＝3e1－4e2与b＝6e1＋ke2不能作为一组基底，则实数k的值为( )
A．8 B．－8 C．4 D．－4
答案 B
解析 由a与b不能作为一组基底，则a与b必共线，故eq \f(3,6)＝eq \f(－4,k)，即k＝－8．故选B．
3．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量eq \(AB,\s\up6(→))同方向的单位向量为( )
A．eq \f(3,5)，－eq \f(4,5) B．eq \f(4,5)，－eq \f(3,5) C．－eq \f(3,5)，eq \f(4,5) D．－eq \f(4,5)，eq \f(3,5)
答案 A
解析 因为eq \(AB,\s\up6(→))＝(3，－4)，所以与其同方向的单位向量e＝eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,5)(3，－4)＝eq \f(3,5)，－eq \f(4,5)．故选A．
4．若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝0，eq \f(5,2)，则c可用向量a，b表示为( )
A．eq \f(1,2)a＋b B．－eq \f(1,2)a－b C．eq \f(3,2)a＋eq \f(1,2)b D．eq \f(3,2)a－eq \f(1,2)b
答案 A
解析 设c＝xa＋yb，则0，eq \f(5,2)＝(2x－y，x＋2y)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y＝0，,x＋2y＝\f(5,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2)，,y＝1，))则c＝eq \f(1,2)a＋b．故选A．
5．已知平行四边形ABCD中，eq \(AD,\s\up6(→))＝(3,7)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点O，则eq \(CO,\s\up6(→))的坐标为( )
A．－eq \f(1,2)，5 B．eq \f(1,2)，5 C．eq \f(1,2)，－5 D．－eq \f(1,2)，－5
答案 D
解析 eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)．
∴eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)，5．∴eq \(CO,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)，－5．故选D．
6．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d＝( )
A．(2,6) B．(－2,6) C．(2，－6) D．(－2，－6)
答案 D
解析 设d＝(x，y)，由题意知4a＝(4，－12)，4b－2c＝(－6,20)，2(a－c)＝(4，－2)，又4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x，y)＝(0,0)，解得x＝－2，y＝－6，所以d＝(－2，－6)．故选D．
7．已知点A(1，－2)，若向量eq \(AB,\s\up6(→))与向量a＝(2,3)同向，且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(13)，则点B的坐标为( )
A．(2,3) B．(－2,3) C．(3,1) D．(3，－1)
答案 C
解析 设eq \(AB,\s\up6(→))＝(x，y)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝ka(k>0)，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2k，,y＝3k，))由|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(13)得k＝1，
故eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，－2)＋(2,3)＝(3,1)．故选C．
8．已知向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(k,12)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(4,5)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(10，k)，当A，B，C三点共线时，实数k的值为( )
A．3 B．11 C．－2 D．－2或11
答案 D
解析 因为eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(4－k，－7)，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝(6，k－5)，且eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(BC,\s\up6(→))，
所以(4－k)(k－5)－6×(－7)＝0，解得k＝－2或11．故选D．
9．已知向量eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))和eq \(AB,\s\up6(→))在正方形网格中的位置如图所示，若eq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))，则λμ＝( )
A．－3 B．3 C．－4 D．4
答案 A
解析 建立如图所示的平面直角坐标系xAy，则eq \(AC,\s\up6(→))＝(2，－2)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,2)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(1,0)，
由题意可知(2，－2)＝λ(1,2)＋μ(1,0)，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＝λ＋μ，,－2＝2λ，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝－1，,μ＝3，))
所以λμ＝－3．故选A．
10．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))，若eq \(DE,\s\up6(→))＝λ1eq \(AB,\s\up6(→))＋λ2eq \(AC,\s\up6(→))(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
答案 eq \f(1,2)
解析 ∵eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝－eq \f(1,6)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
∴λ1＝－eq \f(1,6)，λ2＝eq \f(2,3)，∴λ1＋λ2＝eq \f(1,2)．
11．如图，已知平面内有三个向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))，其中eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))的夹角为120°，eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))的夹角为30°，且|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq \(OC,\s\up6(→))|＝2eq \r(3)．若eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．
答案 6
解析 以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(1,0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，C(3，eq \r(3))．由eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3＝λ－\f(1,2)μ，,\r(3)＝\f(\r(3),2)μ，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝4，,μ＝2.))所以λ＋μ＝6．
二、高考小题
12．已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝( )
A．－8 B．－6 C．6 D．8
答案 D
解析 由题可得a＋b＝(4，m－2)，又(a＋b)⊥b，∴4×3－2×(m－2)＝0，∴m＝8．故选D．
13．已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC．若点P的坐标为(2,0)，则|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))|的最大值为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
答案 B
解析 解法一：由圆周角定理及AB⊥BC，知AC为圆的直径，
故eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝2eq \(PO,\s\up6(→))＝(－4,0)(O为坐标原点)．设B(csα，sinα)，∴eq \(PB,\s\up6(→))＝(csα－2，sinα)，
∴eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝(csα－6，sinα)，
|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))|＝eq \r(csα－62＋sin2α)＝eq \r(37－12csα)≤eq \r(37＋12)＝7，
当且仅当csα＝－1时取等号，此时B(－1,0)，故|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))|的最大值为7．故选B．
解法二：同解法一得eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝2eq \(PO,\s\up6(→))(O为坐标原点)，
又eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(PO,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))，∴|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))|＝|3eq \(PO,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))|≤3|eq \(PO,\s\up6(→))|＋|eq \(OB,\s\up6(→))|＝3×2＋1＝7，
当且仅当eq \(PO,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))同向时取等号，此时B点坐标为(－1,0)，故|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))|max＝7．故选B．
14．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________．
答案 eq \f(1,2)
解析 由题可得2a＋b＝(4,2)，∵c∥(2a＋b)，c＝(1，λ)，∴4λ－2＝0，即λ＝eq \f(1,2)．
15．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．
答案 eq \f(1,2)
解析 由于a，b不平行，所以可以以a，b作为一组基底，
于是λa＋b与a＋2b平行等价于eq \f(λ,1)＝eq \f(1,2)，即λ＝eq \f(1,2)．
16．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．
答案 －3
解析 由a＝(2,1)，b＝(1，－2)，可得ma＋nb＝(2m，m)＋(n，－2n)＝(2m＋n，m－2n)，由已知可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m＋n＝9，,m－2n＝－8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝2，,n＝5，))故m－n＝－3．
17．如图，在同一个平面内，向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))的模分别为1,1，eq \r(2)，eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))的夹角为α，且tanα＝7，eq \(OB,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))的夹角为45°．若eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)，则m＋n＝________．
答案 3
解析 解法一：∵tanα＝7，α∈[0，π]，∴csα＝eq \f(\r(2),10)，sinα＝eq \f(7\r(2),10)．
∵eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))的夹角为α，∴eq \f(\r(2),10)＝eq \f(\(OA,\s\up6(→))·\(OC,\s\up6(→)),|\(OA,\s\up6(→))||\(OC,\s\up6(→))|)．
∵eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq \(OC,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，∴eq \f(\r(2),10)＝eq \f(m＋n\(OA,\s\up6(→))·\(OB,\s\up6(→)),\r(2))． ①
又∵eq \(OB,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))的夹角为45°，∴eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\(OB,\s\up6(→))·\(OC,\s\up6(→)),|\(OB,\s\up6(→))||\(OC,\s\up6(→))|)＝eq \f(m\(OA,\s\up6(→))·\(OB,\s\up6(→))＋n,\r(2))． ②
又cs∠AOB＝cs(45°＋α)＝csαcs45°－sinαsin45°
＝eq \f(\r(2),10)×eq \f(\r(2),2)－eq \f(7\r(2),10)×eq \f(\r(2),2)＝－eq \f(3,5)，∴eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝|eq \(OA,\s\up6(→))||eq \(OB,\s\up6(→))|cs∠AOB＝－eq \f(3,5)，
将其代入①②得m－eq \f(3,5)n＝eq \f(1,5)，－eq \f(3,5)m＋n＝1，两式相加得eq \f(2,5)m＋eq \f(2,5)n＝eq \f(6,5)，所以m＋n＝3．
解法二：过C作CM∥OB，CN∥OA，分别交线段OA，OB的延长线于点M，N，
则eq \(OM,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))，eq \(ON,\s\up6(→))＝neq \(OB,\s\up6(→))，由正弦定理得eq \f(|\(OM,\s\up6(→))|,sin45°)＝eq \f(|\(OC,\s\up6(→))|,sin135°－α)＝eq \f(|\(ON,\s\up6(→))|,sinα)，∵|eq \(OC,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，
由解法一，知sinα＝eq \f(7\r(2),10)，csα＝eq \f(\r(2),10)，∴|eq \(OM,\s\up6(→))|＝eq \f(\r(2)sin45°,sin135°－α)＝eq \f(1,sin45°＋α)＝eq \f(5,4)，
|eq \(ON,\s\up6(→))|＝eq \f(\r(2)sinα,sin135°－α)＝eq \f(\r(2)×\f(7\r(2),10),sin45°＋α)＝eq \f(7,4)．又eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(ON,\s\up6(→))，|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|Oeq \(B,\s\up6(→))|＝1，
∴m＝eq \f(5,4)，n＝eq \f(7,4)，∴m＋n＝3．
解法三：如图，设Oeq \(D,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))，Deq \(C,\s\up6(→))＝neq \(OB,\s\up6(→))，则在△ODC中有OD＝m，DC＝n，OC＝eq \r(2)，
∠OCD＝45°，由tanα＝7，得csα＝eq \f(\r(2),10)，又由余弦定理知
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1( m2＝n2＋\r(2)2－2\r(2)ncs45°，,n2＝m2＋\r(2)2－2\r(2)mcsα，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－n2＝2－2n，①,n2－m2＝2－\f(2,5)m，②))
①＋②得4－2n－eq \f(2,5)m＝0，即m＝10－5n，代入①得12n2－49n＋49＝0，
解得n＝eq \f(7,4)或n＝eq \f(7,3)，当n＝eq \f(7,3)时，m＝10－5×eq \f(7,3)＝－eq \f(5,3)<0(不符合题意，舍去)，
当n＝eq \f(7,4)时，m＝10－5×eq \f(7,4)＝eq \f(5,4)，故m＋n＝eq \f(5,4)＋eq \f(7,4)＝3．
三、模拟小题
18．(2018·长春质检二)已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(－2,0)，则|a＋2b|＝( )
A．3eq \r(2) B．3 C．2eq \r(2) D．5
答案 A
解析 a＋2b＝(1，－3)＋2·(－2,0)＝(－3，－3)，所以|a＋2b|＝eq \r(－32＋－32)＝3eq \r(2)，故选A．
19．(2018·吉林白城模拟)已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则eq \f(m,n)＝( )
A．eq \f(1,2) B．2 C．－eq \f(1,2) D．－2
答案 C
解析 由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由ma＋nb与a－2b共线，得eq \f(2m－n,4)＝eq \f(3m＋2n,－1)，所以eq \f(m,n)＝－eq \f(1,2)，故选C．
20．(2018·山东潍坊一模)若M是△ABC内一点，且满足eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝4eq \(BM,\s\up6(→))，则△ABM与△ACM的面积之比为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,3) C．eq \f(1,4) D．2
答案 A
解析 设AC的中点为D，则eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝2eq \(BD,\s\up6(→))，于是2eq \(BD,\s\up6(→))＝4eq \(BM,\s\up6(→))，从而eq \(BD,\s\up6(→))＝2eq \(BM,\s\up6(→))，即M为BD的中点，于是eq \f(S△ABM,S△ACM)＝eq \f(S△ABM,2S△AMD)＝eq \f(BM,2MD)＝eq \f(1,2)．
21．(2018·河北衡水中学2月调研)一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB，AD分别交于点E，F，且交其对角线AC于点M，若eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \(AE,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))＝3eq \(AF,\s\up6(→))，eq \(AM,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))－μeq \(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则eq \f(5,2)μ－λ＝( )
A．－eq \f(1,2) B．1 C．eq \f(3,2) D．－3
答案 A
解析 eq \(AM,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))－μeq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))－μ(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝(λ－μ)eq \(AB,\s\up6(→))－μeq \(AD,\s\up6(→))＝2(λ－μ)eq \(AE,\s\up6(→))－3μeq \(AF,\s\up6(→))，因为E，M，F三点共线，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，即2λ－5μ＝1，
∴eq \f(5,2)μ－λ＝－eq \f(1,2)，故选A．
22．(2018·湖南四大名校联考)在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若eq \(AC,\s\up6(→))＝a，eq \(BD,\s\up6(→))＝b，则eq \(AF,\s\up6(→))＝( )
A．eq \f(1,4)a＋eq \f(1,2)b B．eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b
C．eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b D．eq \f(1,2)a＋eq \f(2,3)b
答案 C
解析 解法一：如题图，根据题意，得eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(a－b)，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(a＋b)．
∵E是线段OD的中点，DF∥AB，∴eq \f(DF,AB)＝eq \f(DE,EB)＝eq \f(1,3)，∴Deq \(F,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)Aeq \(B,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)(a－b)，∴Aeq \(F,\s\up6(→))＝Aeq \(D,\s\up6(→))＋Deq \(F,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(a＋b)＋eq \f(1,6)(a－b)＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b．故选C．
解法二：如题图，根据题意，得eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(a－b)，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(a＋b)．令eq \(AF,\s\up6(→))＝teq \(AE,\s\up6(→))，则eq \(AF,\s\up6(→))＝t(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→)))＝teq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(t,2)a＋eq \f(t,4)b．由eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))，令eq \(DF,\s\up6(→))＝seq \(DC,\s\up6(→))，又eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(a＋b)，eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \f(s,2)a－eq \f(s,2)b，所以eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(s＋1,2)a＋eq \f(1－s,2)b，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(t,2)＝\f(s＋1,2)，,\f(t,4)＝\f(1－s,2)，))解方程组得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(s＝\f(1,3)，,t＝\f(4,3)，))把s代入即可得到eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b．故选C．
23．(2018·湖北黄石质检)已知点G是△ABC的重心，过G作一条直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且eq \(AM,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))＝yeq \(AC,\s\up6(→))，则eq \f(xy,x＋y)的值为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,3) C．2 D．3
答案 B
解析 由已知得M，G，N三点共线，∴eq \(AG,\s\up6(→))＝λeq \(AM,\s\up6(→))＋(1－λ)eq \(AN,\s\up6(→))＝λxeq \(AB,\s\up6(→))＋(1－λ)yeq \(AC,\s\up6(→))．∵点G是△ABC的重心，∴eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λx＝\f(1,3)，,1－λy＝\f(1,3)，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(1,3x)，,1－λ＝\f(1,3y)，))得eq \f(1,3x)＋eq \f(1,3y)＝1，即eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝3，通分变形得，eq \f(x＋y,xy)＝3，∴eq \f(xy,x＋y)＝eq \f(1,3)．故选B．
24．(2018·合肥质检三)已知向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(2,0)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(0,2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝teq \(AB,\s\up6(→))，t∈R，则当|eq \(OC,\s\up6(→))|最小时，t＝________．
答案 eq \f(1,2)
解析 由eq \(AC,\s\up6(→))＝teq \(AB,\s\up6(→))知A，B，C三点共线，即动点C在直线AB上．从而当OC⊥AB时，|eq \(OC,\s\up6(→))|最小，易得|Oeq \(A,\s\up6(→))|＝|Oeq \(B,\s\up6(→))|，此时|Aeq \(C,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)|Aeq \(B,\s\up6(→))|，则t＝eq \f(1,2)．
25．(2018·太原3月模拟)在正方形ABCD中，已知M，N分别是BC，CD的中点，若eq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \(AM,\s\up6(→))＋μeq \(AN,\s\up6(→))，则实数λ＋μ＝________．
答案 eq \f(4,3)
解析 解法一：如图，因为M，N分别是BC，CD的中点，所以eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))，所以eq \(AM,\s\up6(→))＋eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)eq \(AC,\s\up6(→))，所以eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AM,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AN,\s\up6(→))，而eq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \(AM,\s\up6(→))＋μeq \(AN,\s\up6(→))，所以λ＝eq \f(2,3)，μ＝eq \f(2,3)，λ＋μ＝eq \f(4,3)．
解法二：如图，以A为原点，分别以AB，AD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系．设正方形ABCD边长为1，则A(0,0)，C(1，1)，M1，eq \f(1,2)，Neq \f(1,2)，1．所以eq \(AC,\s\up6(→))＝(1,1)，AM＝1，eq \f(1,2)，eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)，1，所以λeq \(AM,\s\up6(→))＋μeq \(AN,\s\up6(→))＝λ＋eq \f(1,2)μ，eq \f(1,2)λ＋μ＝eq \(AC,\s\up6(→))，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＋\f(1,2)μ＝1，,\f(1,2)λ＋μ＝1，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(2,3)，,μ＝\f(2,3)，))λ＋μ＝eq \f(4,3)．
一、高考大题
本考点在近三年高考中未涉及此题型．
二、模拟大题
1．(2018·皖南八校模拟)如图，∠AOB＝eq \f(π,3)，动点A1，A2与B1，B2分别在射线OA，OB上，且线段A1A2的长为1，线段B1B2的长为2，点M，N分别是线段A1B1，A2B2的中点．
(1)用向量eq \(A1A2,\s\up6(→))与eq \(B1B2,\s\up6(→))表示向量eq \(MN,\s\up6(→))；
(2)求向量eq \(MN,\s\up6(→))的模．
解 (1)eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MA1,\s\up6(→))＋eq \(A1A2,\s\up6(→))＋eq \(A2N,\s\up6(→))，eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MB1,\s\up6(→))＋eq \(B1B2,\s\up6(→))＋eq \(B2N,\s\up6(→))，两式相加，并注意到点M，N分别是线段A1B1，A2B2的中点，得eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(A1A2,\s\up6(→))＋eq \(B1B2,\s\up6(→)))．
(2)由已知可得向量eq \(A1A2,\s\up6(→))与eq \(B1B2,\s\up6(→))的模分别为1与2，夹角为eq \f(π,3)，所以eq \(A1A2,\s\up6(→))·eq \(B1B2,\s\up6(→))＝1，
由eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(A1A2,\s\up6(→))＋eq \(B1B2,\s\up6(→)))
得|eq \(MN,\s\up6(→))|＝eq \r(\f(1,4)\(A1A2,\s\up6(→))＋\(B1B2,\s\up6(→))2)＝
eq \f(1,2)eq \r(\a\vs4\al(\(A1A2,\s\up6(→))2＋\(B1B2,\s\up6(→))2＋2\(A1A2,\s\up6(→))·\(B1B2,\s\up6(→))))＝eq \f(\r(7),2)．
2．(2018·湖北荆门调研)在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点B(－1,0)，|eq \(OC,\s\up6(→))|＝1，且∠AOC＝x，其中O为坐标原点．
(1)若x＝eq \f(3π,4)，设点D为线段OA上的动点，求|eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))|的最小值；
(2)若x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，向量m＝eq \(BC,\s\up6(→))，n＝(1－csx，sinx－2csx)，求m·n的最小值及对应的x值．
解 (1)设D(t,0)(0≤t≤1)，由题易知Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，
所以eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)＋t，\f(\r(2),2)))，
所以|eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))|2＝eq \f(1,2)－eq \r(2)t＋t2＋eq \f(1,2)＝t2－eq \r(2)t＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(\r(2),2)))2＋eq \f(1,2)(0≤t≤1)，
所以当t＝eq \f(\r(2),2)时，|eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))|2的最小值为eq \f(1,2)，
则|eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))|的最小值为eq \f(\r(2),2)．
(2)由题意得C(csx，sinx)，m＝eq \(BC,\s\up6(→))＝(csx＋1，sinx)，
则m·n＝1－cs2x＋sin2x－2sinxcsx
＝1－cs2x－sin2x＝1－eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))．
因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以eq \f(π,4)≤2x＋eq \f(π,4)≤eq \f(5π,4)，
所以当2x＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)，即x＝eq \f(π,8)时，
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))取得最大值1，
所以m·n的最小值为1－eq \r(2)，此时x＝eq \f(π,8)．