必修 第四册11.1.6 祖暅原理与几何体的体积同步测试题

祖暅原理与几何体的体积

1.在棱长为1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的几何体的体积是              (　　)

A.　　　  　B.　　　  　C.　　  　　D.

2.若三棱柱ABC-A1B1C1的体积为8,过AB,AC,A1B1中点截去一个小的三棱柱,则剩下的几何体的体积为              (　　)

A.1    B.4    C.6    D.7

3.圆台上、下底面面积分别是π,4π,侧面积是6π,这个圆台的体积是 (　　)

A.π　　　  B.2π　　  　C.π　　  　D.π

4.如图,半径为2的半球内有一内接正六棱锥P-ABCDEF,则此正六棱锥的侧面积是　　　　. 

5.两个球的半径相差1,表面积之差为28π,则它们的体积和为　　　　. 

6.如图,圆柱的底面半径为r,球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等,圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心,圆锥的底面是圆柱的下底面.

(1)计算圆柱的表面积.

(2)计算图中圆锥、球、圆柱的体积比.

能力提升

1.体积为52的圆台,一个底面积是另一个底面积的9倍,那么截得的这个圆台的圆锥的体积是 (　　)

A.54    B.54π   C.58    D.58π

2.已知A,B,C为球O的球面上的三个点,☉O1为△ABC的外接圆,若☉O1的面积为4π,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为              (　　)

A.64π   B.48π   C.36π   D.32π

3.如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,AB∶A1B1=1∶2,则三棱锥A1-ABC,B-A1B1C,C-A1B1C1的体积之比为              (　　)

A.1∶1∶1     B.1∶1∶2

C.1∶2∶4     D.1∶4∶4

4.在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC将三角形ABC折起,得到的四面体A-BCD的体积的最大值为 (　　)

A.     B.    C.    D.5

5.已知△ABC的三边长分别是AC=3,BC=4,AB=5.下列说法正确的是 (　　)

A.以BC所在直线为旋转轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的侧面积为15π

B.以BC所在直线为旋转轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的体积为36π

C.以AC所在直线为旋转轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的侧面积为25π

D.以AC所在直线为旋转轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的体积为16π

6.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等,下列结论正确的是 (　　)

A.圆柱的侧面积为2πR2

B.圆锥的侧面积为2πR2

C.圆柱的侧面积与球面面积相等

D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2

7.学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm,3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为　　　　. 

8.如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的,已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm,高为2 cm,内孔半径为0.5 cm,则此六角螺帽毛坯的体积是　　　　cm3. 

9.有一个倒置圆锥形容器,它的轴截面(如图)是一个正三角形,在容器内放一个半径为r的铁球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度.

10.如图所示,有一块扇形铁皮OAB,∠AOB=60°,OA=72 cm,要剪下来一个扇环ABCD,作圆台形容器的侧面,并在余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面),试求:

(1)AD的长.(2)容器的容积.

11.如图所示,一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形冰淇淋,请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径,杯子壁厚忽略不计),使冰淇淋融化后不会溢出杯子,怎样设计最省材料?最省材料为多少?

答案

1.在棱长为1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的几何体的体积是              (　　)

A.　　　  　B.　　　  　C.　　  　　D.

分析：选D.截去的每个小三棱锥的体积为××××=×,则剩余部分体积V=1-××8=1-=.

2.若三棱柱ABC-A1B1C1的体积为8,过AB,AC,A1B1中点截去一个小的三棱柱,则剩下的几何体的体积为              (　　)

A.1    B.4    C.6    D.7

分析：选C.如图所示,作出截面为DEFG,

则小三棱柱与大三棱柱的高一样,底面面积由相似比知为1∶4,所以小三棱柱的体积为×8=2.则剩下的几何体的体积为8-2=6.

3.圆台上、下底面面积分别是π,4π,侧面积是6π,这个圆台的体积是 (　　)

A.π　　　  B.2π　　  　C.π　　  　D.π

分析：选D.上底面半径r=1,下底面半径R=2.

因为S侧=6π,设母线长为l,则π(1+2)l=6π,

所以l=2,所以高h==,

所以V=π (12+1×2+22) ·=π.

4.如图,半径为2的半球内有一内接正六棱锥P-ABCDEF,则此正六棱锥的侧面积是　　　　. 

分析：显然正六棱锥P-ABCDEF的底面的外接圆是球的一个大圆,于是可求得底面边长为2.依题意可得正六棱锥P-ABCDEF的高为2,以此可求得侧面积为6.

答案:6

5.两个球的半径相差1,表面积之差为28π,则它们的体积和为　　　　. 

分析：设大、小两球半径分别为R,r,则所以所以体积和为πR3+πr3=.

答案:

6.如图,圆柱的底面半径为r,球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等,圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心,圆锥的底面是圆柱的下底面.

(1)计算圆柱的表面积.

(2)计算图中圆锥、球、圆柱的体积比.

分析：(1)已知圆柱的底面半径为r,则圆柱和圆锥的高为h=2r,圆锥和球的底面半径为r,

则圆柱的表面积为S圆柱表=2×πr2+4πr2=6πr2.

(2)由(1)知V圆锥=πr2×2r=πr3,V圆柱=πr2×2r=2πr3,V球=πr3,V圆锥∶V球∶V圆柱=πr3∶πr3∶2πr3=1∶2∶3.

能力提升

1.体积为52的圆台,一个底面积是另一个底面积的9倍,那么截得的这个圆台的圆锥的体积是 (　　)

A.54    B.54π   C.58    D.58π

分析：选A.设上底面半径为r,则由题意求得下底面半径为3r,设圆台高为h1,则52=πh1(r2+9r2+3r·r),所以πr2h1=12.令原圆锥的高为h,由相似知识得=,所以h=h1,所以V原圆锥=π(3r)2×h=3πr2×h1=×12=54.

2.已知A,B,C为球O的球面上的三个点,☉O1为△ABC的外接圆,若☉O1的面积为4π,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为              (　　)

A.64π   B.48π   C.36π   D.32π

分析：选A.设圆O1的半径为r,球的半径为R,依题意,

得πr2=4π,所以r=2,由正弦定理可得AB=2rsin 60°=2,

所以OO1=AB=2,

根据球截面性质得OO1⊥平面ABC,

所以OO1⊥O1A,R=OA===4,

所以球O的表面积S=4πR2=64π.

3.如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,AB∶A1B1=1∶2,则三棱锥A1-ABC,B-A1B1C,C-A1B1C1的体积之比为              (　　)

A.1∶1∶1     B.1∶1∶2

C.1∶2∶4     D.1∶4∶4

分析：选C.设棱台的高为h,S△ABC=S,则=4S,所以=S△ABC·h=Sh,

=·h=Sh.

又V台=h(S+4S+2S)=Sh,

所以=V台--

=Sh-Sh-Sh=Sh.

所以所求体积之比为1∶2∶4.

4.在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC将三角形ABC折起,得到的四面体A-BCD的体积的最大值为 (　　)

A.     B.    C.    D.5

分析：选C.在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC将三角形ABC折起,当平面ABC⊥平面ACD时得到的四面体A-BCD的体积取最大值,此时点B到平面ACD的距离d===,因为SΔADC=×4×3=6,所以四面体A-BCD的体积的最大值为V=×S△ADC×d=×6×=.

5.已知△ABC的三边长分别是AC=3,BC=4,AB=5.下列说法正确的是 (　　)

A.以BC所在直线为旋转轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的侧面积为15π

B.以BC所在直线为旋转轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的体积为36π

C.以AC所在直线为旋转轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的侧面积为25π

D.以AC所在直线为旋转轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的体积为16π

分析：选AD.以BC所在直线为轴旋转时,所得旋转体是底面半径为3,母线长为5,高为4的圆锥,其侧面积为π×3×5=15π,体积为×π×32×4=12π,故A正确,B错误;以AC所在直线为轴旋转时,所得旋转体是底面半径为4,母线长为5,高为3的圆锥,侧面积为π×4×5=20π,体积为×π×42×3=16π,故C错误,D正确.

6.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等,下列结论正确的是 (　　)

A.圆柱的侧面积为2πR2

B.圆锥的侧面积为2πR2

C.圆柱的侧面积与球面面积相等

D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2

分析：选CD.依题意得球的半径为R,则圆柱的侧面积为2πR×2R=4πR2,所以A错误;圆锥的侧面积为πR×R=πR2,

所以B错误;球面面积为4πR2,因为圆柱的侧面积为4πR2,

所以C正确;因为V圆柱=πR2·2R=2πR3,V圆锥=πR2·2R=πR3,V球=πR3.所以V圆柱∶V圆锥∶V球

=2πR3∶πR3∶πR3=3∶1∶2,所以D正确.

7.学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm,3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为　　　　. 

分析：S四边形EFGH=4×6-4××2×3=12(cm2),

V=6×6×4-×12×3=132(cm3).

m=ρV=0.9×132=118.8(g).

答案:118.8 g

8.如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的,已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm,高为2 cm,内孔半径为0.5 cm,则此六角螺帽毛坯的体积是　　　　cm3. 

分析：记此六角螺帽毛坯的体积为V,正六棱柱的体积为V1,圆柱的体积为V2,则V1=6××2×2×sin 60°×2=12(cm3),V2=π×(0.5)2×2=(cm3),

所以V=V1-V2=12-(cm3).

答案:12-

9.有一个倒置圆锥形容器,它的轴截面(如图)是一个正三角形,在容器内放一个半径为r的铁球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度.

分析：因轴截面是正三角形,根据切线性质知当球在容器内时,水的深度为3r,水面半径为r,则容器内水的体积为V=V圆锥-V球=π(r)2·3r-πr3=πr3.将球取出后,设容器中水的深度为h,则水面圆的半径为h,从而容器内水的体积是V′=πh=πh3.由V=V′得h=r.

10.如图所示,有一块扇形铁皮OAB,∠AOB=60°,OA=72 cm,要剪下来一个扇环ABCD,作圆台形容器的侧面,并在余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面),试求:

(1)AD的长.(2)容器的容积.

分析：(1)如图(1),设圆台的上、下底面半径分别为r cm,R cm,AD=x cm,则OD=(72-x) cm,

由题意得

解得R=12,r=6,x=36,

所以AD=36 cm.

(2)如图(2)所示,圆台的高为

h===6(cm),

所以圆台的体积V=πh(R2+Rr+r2)=π·6·(122+12×6+62)=504π(cm3).

11.如图所示,一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形冰淇淋,请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径,杯子壁厚忽略不计),使冰淇淋融化后不会溢出杯子,怎样设计最省材料?最省材料为多少?

分析：设圆锥的高为h cm.因为半球的半径为4 cm,

所以V半球=×π×43=π,

V圆锥=π×42·h=πh.

要使冰淇淋融化后不会溢出杯子,

则有V半球≤V圆锥,即π≤πh,解得h≥8.

即当圆锥形杯子的高大于或等于8 cm时,冰淇淋融化后不会溢出杯子,因为S圆锥侧=πrl=πr=4π在[8,+∞)上单调递增,所以当h=8时,S圆锥侧最小,

所以圆锥的高为8 cm时,制造杯子最省材料,此时最省材料为16π cm2.