













高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.1.6 祖暅原理与几何体的体积图文课件ppt
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课后素养落实(十四)(建议用时:40分钟)一、选择题1.已知高为3的三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图),则三棱锥B1ABC的体积为( )A. B.C. D.D [V=Sh=××3=.]2.如果三个球的半径之比是1∶2∶3,那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的( )A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍C [半径大的球的体积也大,设三个球的半径分别为x,2x,3x,则最大球的半径为3x,其体积为π×(3x)3,其余两个球的体积之和为πx3+π×(2x)3,∴π×(3x)3÷=3.]3.如图,ABCA′B′C′是体积为1的棱柱,则四棱锥CAA′B′B的体积是( )A. B.C. D.C [VCAA′B′B=VABCA′B′C′-VCA′B′C′=S△ABC·AA′-S△ABC·AA′=S△ABC·AA′=.]4.将若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中,量得水面高度为6 cm.若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面高度为( )A.6 cm B.6 cm C.2 cm D.3 cmB [由题设可知两种器皿中的水的体积相同,设圆锥内水面高度为h,圆锥的轴截面为正三角形,由图可得,=tan 30°,∴r=h.故V圆柱=6×π×22=24π(cm3),V圆锥=π··h.又V圆柱=V圆锥,∴h=6 cm.]5.分别以一个锐角为30°的直角三角形的最短直角边、较长直角边、斜边所在的直线为轴旋转一周,所形成的几何体的体积之比是( )A.1∶∶ B.6∶2∶C.6∶2∶3 D.3∶2∶6C [设Rt△ABC中,∠BAC=30°,BC=1,则AB=2,AC=,求得斜边上的高CD=,旋转所得几何体的体积分别为V1=π()2×1=π,V2=π×12×=π,V3=π×2=π.V1∶V2∶V3=1∶∶=6∶2∶3.]二、填空题6.一个长方体的三个面的面积分别是 , , ,则这个长方体的体积为________. [设长方体的棱长分别为a,b,c,则三式相乘可知(abc)2=6,所以长方体的体积V=abc=.]7.已知三棱锥SABC的棱长均为4,则该三棱锥的体积是________. [如图,在三棱锥SABC中,作高SO,连接AO并延长AO交BC于点D,则AO=×4×=.在Rt△SAO中,SO==,所以V=×××42=.]8.两个球的半径相差1,表面积之差为28π,则它们的体积和为________. [设大、小两球半径分别为R,r,则所以所以体积和为πR3+πr3=.]三、解答题9.如图,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰激凌,如果冰激凌融化了,会溢出杯子吗?请用你的计算数据说明理由.[解] 因为V半球=×πR3=×π×43=π(cm3),V圆锥=πr2h=π×42×10=π(cm3),因为V半球<V圆锥,所以冰激凌融化了,不会溢出杯子.10.如图所示,在多面体ABCDEF中,已知面ABCD是边长为4的正方形,EF∥AB,EF=2,EF与平面AC的距离为3,求该多面体的体积.[解] 法一:如图所示,连接EB,EC.由题意,得VEABCD=×42×3=16.因为AB=2EF,EF∥AB,所以S△EAB=2S△BEF.所以VFEBC=VCEFB=VCABE=VEABC=×VEABCD=4.所以V=VEABCD+VFEBC=16+4=20.法二:如图所示,取AB,DC的中点G,H,连接EG,GH,EH,则EG∥FB,EH∥FC,GH∥BC,得棱柱EGHFBC.由题意,得VEAGHD=S四边形AGHD×3=×4×4××3=8,VEGHFBC=3VBEGH=3VEBGH=3×VEGBCH=VEAGHD=×8=12,所以V=VEAGHD+VEGHFBC=8+12=20.11.《算数书》竹筒于上世纪八十年代在湖北省荆州市江陵县张家山出土,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈L2h,它实际是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式V≈L2h中将圆锥体积公式中的π近似取为( )A. B. C. D.B [设圆锥的底面半径为r,则圆锥的底面周长L=2πr,所以r=,所以V=πr2h=π×=.若≈L2h,则π=.]12.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题,大概意思如下:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水,天池盆盆口直径为2尺8寸,盆底直径为1尺2寸,盆深1尺8寸.若盆中积水深9寸,则平均降雨量是(注:①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②1尺等于10寸( )A.3寸 B.4寸 C.5寸 D.6寸A [作出圆台的轴截面如图所示.由题意知,BF=14寸,OC=6寸,OF=18寸,OG=9寸,即G是OF的中点,∴GE为梯形OCBF的中位线,∴GE==10(寸),即积水的上底面半径为10寸.∴盆中积水的体积为π×(100+36+10×6)×9=588π(立方寸).又盆口的面积为142π=196π(平方寸),∴平均降雨量是=3(寸),即平均降雨量是3寸.]13.一个圆锥形容器和一个圆柱形容器,它们的轴截面尺寸如图所示,两容器内所盛液体的体积正好相等,且液面高度h正好相同,则h=________.a [设圆锥形容器的液面的半径为R,则液体的体积为πR2h,圆柱形容器内的液体体积为πh.根据题意,有πR2h=πh,解得R=a.再根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形,得=,所以h=a.]14.已知一长方体的底面是边长为1的正方形,长方体的所有顶点都在同一球面上.若球的体积为π,则该长方体的体对角线长为______,体积为______.4 [∵球的体积为π,可得πR3=π,∴R=2.又长方体的体对角线即为球的直径,故长方体的体对角线长为4.设长方体的高为x,则=4,解得x=.∴该长方体的体积为.]15.已知正四面体ABCD的外接球的体积为4π,求正四面体的体积.[解] 法一:将正四面体ABCD置于正方体中.正四面体的外接球即正方体的外接球(如图所示),正方体的体对角线长即球的直径.设外接球的半径为R,由V球=R3=4π,得R=,即正方体的体对角线长为2,正方体棱长为2.所以VABCD=23-4××2××2×2=.法二:如图所示,设外接球的半径为R,由已知得R3=4π,故R=.因为AE为球的直径,故AD⊥DE,AE⊥O1D.设AD=a,则O1D=×a=a,故AO1=a,O1E=2R-AO1=2-a.由Rt△AO1D∽Rt△DO1E,得O1D2=AO1·O1E,解得a=2.故V=×a2·AO1=.
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