数学人教A版 (2019)8.2 立体图形的直观图精品测试题

8.2　立体图形的直观图

课后篇巩固提升

基础巩固

1.长方形的直观图可能为下图中的哪一个(　　)

A.①② B.①②③

C.②⑤ D.③④⑤

答案C

解析由斜二测画法知,长方形的直观图应为平行四边形,且锐角为45°,故②⑤正确.

2.如图,△A'B'C'是△ABC的直观图,其中A'B'=A'C',则△ABC是(　　)

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等腰直角三角形 D.钝角三角形

答案B

解析∵A'B'∥x'轴,A'C'∥y'轴,∴AB⊥AC.

又AC=2A'C'=2AB,∴△ABC是直角三角形,不是等腰三角形.

3.如图所示,△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图,则在△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是(　　)

A.AB B.AD C.BC D.AC

答案D

解析△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°,

则AC>AB,AC>AD,AC>BC.

4.

如图,矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O'A'=6,O'C'=2,则原图形是 (　　)

A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.梯形

答案C

解析设y'轴与B'C'交于点D',则O'D'=2.

在原图形中,OD=4,CD=2,则OD⊥CD.

∴OC==6=OA,∴原图形是菱形.

5.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°,上底为1,腰为的等腰梯形,那么原平面图形的面积是(　　)

A. B.2 C.4 D.8

答案C

解析依题意,四边形ABCD 是一个底角为45°,上底为1,腰为的等腰梯形.过C,D分别做CF⊥AB,DE⊥AB,

则△ADE和△BCF为斜边长为的等腰直角三角形.∴AE=DE=BF=1,又EF=CD=1,

∴梯形ABCD的面积S'=×(1+3)×1=2.

∵在用斜二测画法画直观图时,直观图的面积S'与原图的面积S之比为,∴S=×2=4.

6.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形,如图,其中有一边长为4,则此正方形的面积是　　　　　. 

答案16或64

解析若O'A'=4,则正方形边长为4,其面积为16;若O'C'=4,则正方形边长为8,面积为64.

7.如图,△A'O'B'表示水平放置的△AOB的直观图,B'在x'轴上,A'O'和x'轴垂直,且A'O'=2,则△AOB的边OB上的高为　　　　　. 

答案4

解析由直观图与原图形中边OB长度不变,且S原=2S直观,得·OB·h=2×2O'B'.

∵OB=O'B',∴h=4.

8.

水平放置的△ABC的斜二测直观图如图,已知A'C'=3,B'C'=2,则AB边上的中线的实际长度为　　　　　. 

答案

解析由斜二测画法知△ABC中∠C=90°,

∵AC=A'C'=3,BC=2B'C'=4,∴AB=5,

∴AB边上的中线的实际长度为.

9.按如图的建系方法,画水平放置的正五边形ABCDE的直观图.

解画法:

(1)在图①中作AG⊥x轴于点G,作DH⊥x轴于点H.

(2)在图②中画相应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°.

(3)在图②中的x'轴上取O'B'=OB,O'G'=OG,O'C'=OC,O'H'=OH,y'轴上取O'E'=OE,分别过G'和H'作y'轴的平行线,并在相应的平行线上取G'A'=GA,H'D'=HD.

(4)连接A'B',A'E',E'D',D'C',并擦去辅助线G'A',H'D',x'轴与y'轴,便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A'B'C'D'E'(如图③).

10.用斜二测画法画出棱长为2 cm的正方体ABCD-A'B'C'D'的直观图.

画法(1)画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.

图①

(2)画底面.以点O为中心,在x轴上取线段MN,使MN=2 cm;在y轴上取线段PQ,使PQ=1 cm.分别过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,四边形ABCD 就是正方体的底面ABCD.

图②

(3)画侧棱.过A,B,C,D分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA',BB',CC',DD'.

(4)成图.顺次连接A',B',C',D',并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到正方体的直观图(如图②).

能力提升

1.

如图所示,已知用斜二测画法画出的△ABC的直观图△A'B'C'是边长为a的正三角形,则原△ABC的面积为　　　　　. 

答案a2

解析过点C'作C'M'∥y'轴,且交x'轴于点M'.

过C'作C'D'⊥x'轴,且交x'轴于点D',则C'D'=a.

∴∠C'M'D'=45°,∴C'M'=a.∴原三角形的高CM=a,底边长为a,其面积为S=×a×a=a2,或S直观=S原,∴S原=a2=a2.

2.如图,画出水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.

画法(1)如图①,在已知等腰梯形中以底边AB所在的直线为x轴、线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系.如图②,画x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°.

(2)设DC与y轴的交点为E,在x'轴上取A'B'=AB,且使O'为A'B'的中点,在y'轴上取O'E'=OE,过点E'作x'轴的平行线l,在l上取点D',C',使得E'C'=EC,D'E'=DE.如图③.

(3)连接A'D',B'C',擦去辅助线,得到等腰梯形ABCD的直观图,如图④.