高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.2 函数的基本性质优秀学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.2 函数的基本性质优秀学案及答案，共16页。学案主要包含了基础训练，能力提升等内容，欢迎下载使用。

必修1 第三章函数的概念与性质
幂函数


重点
幂函数的概念、性质，从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质
难点
幂函数性质及应用，画五个幂函数的图象并由图象概括其性质
考试要求
考试
Ø 题型 选择题、填空题和解答题。
Ø 难度 中等





核心知识点一：
1. 幂函数的概念
函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数。
2. 幂函数的图象与性质
（1）五种常见幂函数的图象。

（2）五类幂函数的性质，

幂函数
y＝x
y＝x2
y＝x3

y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞）
（－∞，0）∪（0，＋∞）
值域
R
[0，＋∞）
R
[0，＋∞）
{y|y∈R且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
x∈[0，＋∞），增
x∈（－∞，0]，减
增
增
x∈（0，＋∞），减
x∈（－∞，0），减
公共点
都经过点（1，1）
幂函数的性质归纳
（1）所有的幂函数在区间（0，＋∞）上都有定义，并且图象都过点（1，1）。
（2）α＞0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞）上是增函数。
特别地，当α＞1时，幂函数的图象下凸；
当0＜α＜1时，幂函数的图象上凸。
（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，＋∞）上是减函数。在第一象限内，当x从右趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴；当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴。


典例一：幂函数的概念理解
【基础训练】下列函数为幂函数的是（　　）
①y＝－x2；②y＝2x；③y＝xπ；④y＝（x－1）3；⑤；⑥y＝x2＋。
A. ①③⑤ B. ①②⑤
C. ③⑤ D. 只有⑤
解析：选C。①y＝－x2的系数是－1而不是1，故不是幂函数；②y＝2x是指数函数；④y＝（x－1）3的底数是x－1而不是x，故不是幂函数；⑥y＝x2＋是两个幂函数和的形式，也不是幂函数。很明显③⑤是幂函数。

【能力提升】已知幂函数y=f（x）的图象经过点（3，），求这个函数的解析式。
解析：
设所求幂函数的解析式为
因为点（3，）在函数图像上，所以代入解析式得 ∴ ∴
∴幂函数的解析式为。

总结提升：幂函数y＝xα（α∈R），其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数（也可以为0）。这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准。

典例二：幂函数的图象应用
已知幂函数y＝xm－2（m∈N）的图象与x，y轴都无交点，且关于y轴对称，求m的值，并画出它的图象。
解析：∵图象与x，y轴都无交点，
∴m－2≤0，即m≤2。
又m∈N，∴m＝0，1，2。
∵幂函数图象关于y轴对称，
∴m＝0，或m＝2。
当m＝0时，函数为y＝x－2，图象如图1；
当m＝2时，函数为y＝x0＝1（x≠0），图象如图2。


归纳总结：（1）幂函数y＝xα的图象恒过定点（1，1），且不过第四象限。
（2）解决幂函数图象问题，需把握两个原则：①幂指数α的正负决定函数图象在第一象限的升降；②依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，在第一象限内，直线x＝1的右侧，图象由上到下，相应的指数由大变小。

典例三：幂函数的性质应用
比较下列各题中两个值大小。

解析：（1）在（0，＋∞）上是增函数，
∵0.7>0.6，∴
（2）在（0，＋∞）上是增函数，
∵1.5<1.7，∴。
（3）在（0，＋∞）上是减函数，
∵＜，∴＞。
总结提升：
比较两个或多个数值的大小。首先转化为比较同一函数的不同函数值的大小问题，然后确定出它们的大小关系。

典例四：数形结合思想求解幂函数的问题
点（，2）在幂函数f（x）的图象上，点（-2，)在幂函数g（x）的图象上，问当x为何值时，有①f（x）>g（x）；②f（x）＝g（x）；③f（x） 解析：设f（x）＝xα，则由题意得2＝（）α，
∴α＝2，即f（x）＝x2。
再设g（x）＝xβ，则由题意得＝（－2）β，
∴β＝－2，即g（x）＝x－2。
在同一坐标系中作出f（x）与g（x）的图象如图所示。

由图象可知：
①当x>1或x<－1时，f（x）>g（x）；
②当x＝±1时，f（x）＝g（x）；
③当－1
总结提升：解答本题利用了数形结合思想，确定x的值，作出函数f（x）、g（x）的图象，即可求出x的范围，解答此类问题也可构造函数，如本例令Q（x）＝f（x）－g（x），利用Q（x）>0（<0）求解。


1. 幂函数概念，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数（也可以为0）。
2. 幂函数图像，要很清楚指数对单调性、奇偶性、凹凸性的影响。
3. 运用函数的图像、单调性比较大小。


（答题时间：30分钟）
1. 下列函数中，定义域和值域不同的是（　　）
A. y＝ B. y＝
C. y＝ D. y＝
2. 函数y＝的图象大致是（　　）

3. 用“>”或“<”填空：
（1）________；
（2）________。
4. 函数y＝－1的图象关于x轴对称的图象大致是（　　）

5. 函数y＝与函数y＝x－1的图象交点坐标为________。

6. 函数y＝x－3在区间[－4，－2]上的最小值是________。





1. D 解析：y＝的定义域是R，值域是[0，＋∞）。
2. B 解析：由于＞0，故可排除选项A、D。根据幂函数的性质可知，当α＞1时，幂函数的图象在第一象限内向下凸，故排除选项C，只有选项B正确。
3. 答案：（1）＜　（2）＞
解析：
（1）∵幂函数y＝在（0，＋∞）上是增函数，且<，∴<。
（2）∵幂函数y＝x－1在（0，＋∞）上是减函数，且>，
∴<。
又＝，＝，
∴>。
4. B 解析：y＝的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝－1的图象可看作由y＝x的图象向下平移一个单位得到的（如选项A中的图所示），将y＝－1的图象关于x轴对称后即为选项B。
5. 答案：（1，1）
解析：y＝与y＝x－1＝有交点，
则＝x－1，x＝1，则y＝1。
6. 答案：
解析：∵函数y＝x－3＝在（－∞，0）上单调递减，
∴当x＝－2时，ymin＝（－2）－3＝＝。

函数的应用（1）

重点
一次函数、二次函数、幂函数的实际应用，基本不等式、函数求最值值域
难点
根据题意列函数表达式求最值值域
考试要求
考试
Ø 题型 选择题、填空题和解答题。
Ø 难度 中等





核心知识点一：
名称
解析式
条件
一次函数模型
y＝kx＋b
k≠0
反比例函数模型
y＝＋b
k≠0
二次函数模型
一般式：y＝ax2＋bx＋c
顶点式：y＝a＋
a≠0
幂函数模型
y＝axn＋b
a≠0


典例一：一次二次函数实际问题
某省两相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，已知该车每次拖挂4节车厢，一天能来回16次，如果该车每次拖挂7节车厢，则每天能来回10次。
（1）若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，每节车厢能载乘客110人。问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数。
解析：（1）设每天来回y次，每次拖挂x节车厢，由题意设y＝kx＋b（k≠0），当x＝4时，y＝16，当x＝7时，y＝10，得到16＝4k＋b，10＝7k＋b，解得k＝－2，b＝24，所以y＝－2x＋24。
（2）设每天来回y次，每次拖挂x节车厢，由题意知，每天拖挂车厢最多时，运营人数最多，设每天拖挂S节车厢，则y－2x2＋24x＝－2（x－6）2＋72，所以当x＝6时，Smax＝72，此时y＝12，则每日最多运营人数为110×72＝7 920（人）。
故这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7 920。

总结提升：
利用二次函数模型解决问题的方法
在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位。根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题。


典例二：分段函数模型的应用
某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价为60元。该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元。根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件。
（1）设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f（x）的表达式。
（2）当销售商一次订购450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？
解析：（1）当0 当100 P＝60－0.02（x－100）＝62－。
所以P＝
（2）设销售商一次订购量为x件，工厂获得的利润为L元，则有
L＝（P－40）x＝
当x＝450时，L＝5 850。
因此，当销售商一次订购450件服装时，该服装厂获得的利润是5 850元。

总结提升：
（1）分段函数模型的应用
分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间。对每一个区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式。需注意分段函数的最值是各区间上所得最值的最大者或最小者。
（2）应用分段函数时的三个注意点
①分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏。
②分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集。
③分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后再求各段函数值范围的并集。

典例三：函数y＝x＋（a>0）模型
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的房顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系C（x）=（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。
（1）求k的值及f（x）的表达式；
（2）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值。
解析：（1）由已知条件得C（0）＝8，则k＝40，
因此f（x）＝6x＋20C（x）＝6x+（0≤x≤10）。
（2）f（x）＝6x＋10+－10
≥2－10＝80-10=70（万元），
当且仅当6x＋10=，
即x＝5时等号成立。
所以当隔热层厚度为5 cm时，总费用f（x）达到最小值，最小值为70万元。

总结提升：
应用函数y＝x＋（a>0）模型的关键点
（1）明确对勾函数是正比例函数f（x）＝ax与反比例函数f（x）＝叠加而成的。
（2）解决实际问题时一般可以直接建立f（x）＝ax＋的模型，有时可以将所列函数解析式转化为f（x）＝ax＋的形式。
[注意] （1）解决此类问题时一定要关注函数的定义域。
（2）利用模型f（x）＝ax＋求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件。


解决实际应用问题的四大步骤
（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
（3）求模：求解数学模型，得出数学结论；
（4）还原：将数学问题还原为实际问题。
以上过程用框图表示如下：



（答题时间：30分钟）
1. 在x克a%的盐水中，加入y克b%的盐水，浓度变为c%，则x与y的函数关系式为（　　）
A. y＝·x B. y＝·x
C. y＝·x D. y＝·x
2. 将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天乙商品所获得的利润分别为P（万元）和Q（万元），且它们与投入资金x（万元）的关系是：P＝，Q＝ （a>0）；若不管资金如何投放，经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不少于5万元，则a的最小值应为（　　）
A. B. 5 C. ± D. －
3. 在物价飞速上涨的今天，某商品2016年零售价比2015年上涨25%，欲控制2017年比2015年只上涨10%，则2017年应比2016年降价（　　）
A. 15% B. 12% C. 10% D. 8%
4. 某电脑公司2015年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%。该公司预计2017年经营总收入要达到1 690万元，且计划从2015年到2017年，每年经营总收入的年增长率相同，2016年预计经营总收入为________万元。
5. 长为4，宽为3的矩形，当长增加x，宽减少时，面积达到最大，此时x的值为________。
6. 某水产养殖户制作一体积为1200立方米的养殖网箱（无盖），网箱内部被隔成体积相等的三块长方体区域（如图），网箱上底面的一边长为20米，网箱的四周与隔栏的制作价格是200元/平方米，网箱底部的制作价格为90元/平方米。设网箱上底面的另一边长为x米，网箱的制作总费用为y元。

（1）求出y与x之间的函数关系，并指出定义域；
（2）当网箱上底面的另一边长x为多少米时，制作网箱的总费用最少。
7. 为响应绿色出行，前段时间大连市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”，其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程按1元/公里计费；②行驶时间不超过40分钟时，按0.12元/分钟计费：超出部分按0.20元/分钟计费，已知张先生家离上班地点15公里，每天租用该款汽车上、下班各一次。由于堵车、红路灯等因素，每次路上开车花费的时间（分钟）是一个随机变量。现统计了100次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：
时间（分钟）




频数
4
36
40
20
将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车的时间，范围为分钟。
（1）写出张先生一次租车费用（元）与用车时间（分钟）的函数关系式：
（2）若公司每月给900元的车补，请估计张先生每月（按24天计算）的车补是否足够上下班租用新能源分时租赁汽车？并说明理由。（同一时段，用该区间的中点值作代表）



1. B
【解析】据题意有，所以，
即ax＋by＝cx＋cy，
所以（b－c）y＝（c－a）x，所以y＝·x。
答案：B。
点睛：应用问题首先要认真细致的审题，逐字逐句的读题，把实际问题转化为数学问题.首先根据提议设出未知数，根据各项造价表示出总造价建立函数模型，根据实际需要写出函数的定义域，当把实际问题转化为数学问题后，再利用数学知识解决函数问题，最后给出实际问题相应的答案。
2. A
【解析】设投放万元经销甲商品，则经销乙商品投放万元，总利润，令，则。∴，即对恒成立，而的最大值为，且时，也成立，∴。故选A。
点睛：函数模型的应用，本题要求学生对应用题型的题意把握准确，得到函数关系，由题意得，分离参数得，解得的最大值为，则。
3. B
【解析】
设2017年应比2016年降价x%，
则（1＋25%）（1－x%）＝1＋10%，解得x＝12。选B。
4. 1300
【解析】因为从年到年，每年经营总收入的年增长率相同，所以可设年增长率为，则有，因此2016年预计经营总收入为（万元），故答案为。
5. 1
【解析】由题意，S＝（4＋x），即S＝－x2＋x＋12，∴当x＝1时，S最大。
6. （1），定义域为；（2）20；
【解析】（1）隔栏与四周总面积为平方米，底部面积为20平方米，结合不同位置的价格即可的结果；（2），由可得，从而可得结果。
详解：（1）网箱的高为=米，
由三块区域面积相同可得隔栏与左右两边交点为三等分点，
隔栏与四周总面积为平方米，
底部面积为20平方米，
则，定义域为；
（2），
由可得，当且仅当=即时等号成立，
答：，定义域为；网箱上底面的另一边长为多少20米时，制作网箱的总费用最少。
点睛：本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及几何概型概率公式，属于难题。与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.解答本题题意的关键是：求出y与x之间的函数关系，进而利用基本不等式求解。
7. （1）；（2）不够
【解析】
（1）根据题意利用分段函数写出租车费用（元）与用车时间（分钟）的函数关系式
（2）计算租车一次的平均用车时间，计算每次上下班的租车费用，即可计算一月的租车费用，与900比较大小即可。
【详解】
（1）当时，
当时，
得：
（2）张先生租用一次新能源分时汽车上下班，平均用车时间为：

每次上下班租车的费用约为
一个月上下班租车的费用约为，
估计张先生每月的车补不够上下班租用新能源分时租赁汽车费用
【点睛】本题主要考查了分段函数的应用问题，也考查了利用频数分布表求均值，属于中档题。