人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式优秀导学案
展开二次函数与一元二次方程、不等式
重点 | 一元二次不等式的解法；一元二次不等式应用题。 |
难点 | 二次函数与一元二次方程、不等式的关系。 |
考试要求 | 考试 题型 选择题、填空题和解答题。 难度 中等 |
核心知识点一：三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac | Δ＞0 | Δ＝0 | Δ＜0 |
二次函数y＝ax2＋bx＋c （a＞0）的图象 | |||
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 （a＞0）的根 | 有两相异实根x1，x2（x1＜x2） | 有两相等实根x1＝x2＝－ | 没有实数根 |
ax2＋bx＋c＞0 （a＞0）的解集 | {x|x＞x2或x＜x1} | R | |
ax2＋bx＋c＜0 （a＞0）的解集 | {x|x1＜x＜x2} | ∅ | ∅ |
对一元二次不等式概念的三点说明
（1）“只含一个未知数”，并不是说在代数式中不能含有其他字母类的量，只要明确指出这些字母所代表的量，即哪一个是“未知数”，哪一个是“参数”即可。
（2）“次数最高是2”，仅限于“未知数”，若还含有其他参数，则次数不受此条件限制。
（3）必须是整式不等式。
注意：
1. 对于不等式ax2＋bx＋c＞0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形。
2. 当Δ＜0时，ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集为R还是∅，要注意区别a的符号。
3. 不等式解集的端点是方程的根。
典例一：解不含参数的一元二次不等式 |
【能力提升】求下列不等式的解集：
（1）－x2＋8x－3＞0；
（2）－2x2＋3x－2＜0；
解析：
（1）因为Δ＝82－4×（－1）×（－3）＝52＞0，所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不等实根x1＝4－，x2＝4＋。又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，所以原不等式的解集为{x|4－＜x＜4＋}。
（2）原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R。
总结提升：
解一元二次不等式的一般步骤
（1）通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
（2）计算对应方程的判别式；
（3）求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；
（4）根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集。
典例二：解简单的分式不等式 |
【能力提升】解下列不等式：
（1）≥0；（2）＞1。
解析：（1）因为≥0⇔⇔⇔x＜－或x≥。
所以原不等式的解集为。
（2）原不等式可化为或⇔或⇔－3＜x＜－。
所以原不等式的解集为。
易错点拨：
分式不等式的解法
先通过移项、通分整理成标准型＞0（＜0）或≥0（≤0），再化成整式不等式（组）来解。如果能判断出分母的正负，直接去分母即可。
典例三：一元二次不等式的实际应用 |
【能力提升】某地区上年度电价为0. 8元/千瓦时，年用电量为a千瓦时。本年度计划将电价降价到0. 55元/千瓦时至0. 75元/千瓦时之间，而用户期望电价为0. 4元/千瓦时。经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k）。该地区电力的成本价为0. 3元/千瓦时。
（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；
（2）设k＝0. 2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?
解析：（1）设下调后的电价为x元/千瓦时，依题意知，用电量增至＋a，电力部门的收益为y＝（x－0. 3）（0. 55≤x≤0. 75）。
（2）依题意，有
，
整理，得
解此不等式组，得0. 60≤x≤0. 75。
所以当电价最低定为0. 60元/千瓦时时，
仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%。
易错点拨：
解不等式应用题的步骤
一、本节重要知识点
1. 不含参数一元二次不等式：一是注意开口方向；二是注意能否因式分解。
2. 一元二次方程、一元二次不等式、二次函数、实质上都是一个函数图像从“y＝”还是“y＞”（或其他不等号）两个角度来分的，等号就是方程，不等号就是不等式。三种情况都可以看成y等于一个参数a与二次函数的交点关系来理解。
二、易错点：
1. 实际问题忘记考虑实际情况，导致范围不准
三、必会题型
1. 解一元二次不等式；
2. 解分式不等式。
四、主要数学思想
1. 数形结合的思想。
2. 分类讨论的思想
（答题时间：30分钟）
1. 不等式的解集为（ ）
A. 或 B.
C. D.
2. 若不等式的解集为，则_______。
3. 不等式的解集为________
4. 解不等式：（1） （2）
5. 国家为了加强对烟酒生产的管理，实行征收附加税政策。现在某种酒每瓶70元，不征收附加税时，每年大约产销100万瓶；若政府征收附加税，每销售100元征收R元（叫做税率为R%），则每年产销量将减少10R万瓶。要使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元，R应怎样确定？
1. D
【解析】根据不含参数的一元二次不等式的解法，可直接求出结果。
【详解】由得，解得。
故选D
【点睛】
本题主要考查一元二次不等式，熟记不含参数的一元二次不等式的解法即可，属于基础题型。
2.。
【解析】分析：由不等式和方程的关系，可直接代入求、的值，进而求出的值。
详解：根据不等式解集与方程的关系，将带入得
所以由（1）可得
点睛：本题考查了不等式和方程的关系，利用不等式解集的边界为方程的解，可直接代入求得的值。
3.
【解析】，则 或 ，
解得： ，解集为。
4. （1）。
（2）。
【解析】分析：（1）解一元二次不等式，通过穿根法求得解。
（2）解分式不等式，要先移项；再把x的系数化为正数，通过穿根法求解。
详解：（1）
所以，即解集为。
（2）分式不等式，移项得
根据穿根法，得
所以解集为。
点睛：本题考查了两种常见不等式的解法，主要是通过穿根法求解，属于简单题。利用穿根法时，注意：（1）奇过偶不过，（2）x的系数为正。
5. 。
【解析】设产销量为每年x万瓶，则销售收入为每年70x万元，从中征收附加税为70x·R%万元，并且x＝100－10R，由题意得70（100－10R）·R%≥112，解不等式即得解。
【详解】设产销量为每年x万瓶，则销售收入为每年70x万元，从中征收附加税为70x·R%万元，并且x＝100－10R，由题意，得70（100－10R）·R%≥112，
即R2－10R＋16≤0，
解得2≤R≤8，
∴税率定在2%～8%（包括2%和8%）时，可使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元。
【点睛】本题主要考查函数的应用和不等式的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力。
二次函数与一元二次方程、不等式参数问题
重点 | 含参数的一元二次不等式的解法，恒成立问题。 |
难点 | 含参数一元二次不等式；恒成立问题。 |
考试要求 | 考试 题型 选择题、填空题和解答题。 难度 中等 |
核心知识点：三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac | Δ＞0 | Δ＝0 | Δ＜0 |
二次函数y＝ax2＋bx＋c （a＞0）的图象 | |||
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 （a＞0）的根 | 有两相异实根x1，x2（x1＜x2） | 有两相等实根x1＝x2＝－ | 没有实数根 |
ax2＋bx＋c＞0 （a＞0）的解集 | {x|x＞x2或x＜x1} | R | |
ax2＋bx＋c＜0 （a＞0）的解集 | {x|x1＜x＜x2} | ∅ | ∅ |
对一元二次不等式概念的三点说明
（1）“只含一个未知数”，并不是说在代数式中不能含有其他字母类的量，只要明确指出这些字母所代表的量，即哪一个是“未知数”，哪一个是“参数”即可。
（2）“次数最高是2”，仅限于“未知数”，若还含有其他参数，则次数不受此条件限制。
（3）必须是整式不等式。
注意：
1. 对于不等式ax2＋bx＋c＞0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形。
2. 当Δ＜0时，ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集为R还是∅，要注意区别a的符号。
3. 不等式解集的端点是方程的根。
典例一：不等式的恒成立问题 |
【能力提升】若对于一切实数x，mx2－mx－1＜0恒成立，求m的取值范围；
答案：－4＜m≤0
解析：要使mx2－mx－1＜0恒成立，
若m＝0，显然－1＜0，满足题意；
若m≠0，⇒－4＜m＜0。
所以－4＜m≤0。
易错点拨：
处理不等式恒成立问题的常用方法
（1）一元二次不等式恒成立的情况：
ax2＋bx＋c＞0（a≠0）恒成立⇔
ax2＋bx＋c≤0（a≠0）恒成立⇔
典例二：解含参数的一元二次不等式 |
【能力提升】解关于x的不等式ax2＋（a－1）x－1＞0。
解析：若a＝0，则原不等式为一元一次不等式－x－1＞0，即x＜－1，不等式的解集为（－∞，－1）。
当a≠0时，ax2＋（a－1）x－1＝（ax－1）（x＋1）＝0的两根
为x1＝，x2＝－1。当a＞0时，解集为；当－1＜a＜0，即＜－1时，解集为；当a＜－1，即0＞＞－1时，解集为；当a＝－1时，解集为。
总结提升：
含参一元二次不等式的解法
在解含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，一般从如下三个方面进行考虑：
（1）关于不等式类型的讨论：二次项的系数a＞0，a＝0，a＜0。
（2）关于不等式对应的方程的根的讨论：两根（Δ＞0），一根（Δ＝0），无根（Δ＜0）。
（3）关于不等式对应的方程的根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2。
一、本节重要知识点
1. 含参数一元二次不等式：（1）二次项含参数注意参数的讨论；（2）能因式分解的按照根的大小相等结合开口来讨论；（3）不能因式分解根据判别式△结合开口来讨论
二、易错点：
1. 恒成立问题考虑不周全，导致范围扩大
三、必会题型
1. 恒成立问题结合函数图像来求范围
2. 解含参数和不含参数的一元二次不等式
（答题时间：30分钟）
1. 解下列不等式
（1）－4x2＋18x－≥0；
（2）－x2＋3x－5＞0；
2. 解关于x的不等式2x2＋ax＋2＞0。
3. 已知。
（1）若，解不等式；
（2）若，解不等式。
4. 某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24 000元，为了减小耕地损失，决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少t万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，则t的取值范围为________。
1. 【解析】
（1）原不等式可化为，所以原不等式的解集为。
（2）原不等式可化为x2－6x＋10＜0，因为Δ＝（－6）2－40＝－4＜0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅。
2.【解析】
对于方程2x2＋ax＋2＝0，其判别式Δ＝a2－16＝（a＋4）（a－4）。
①当a＞4或a＜－4时，Δ＞0，方程2x2＋ax＋2＝0的两根为x1＝，x2＝）。
所以原不等式的解集为
。
②当a＝4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝－1，所以原不等式的解集为{x|x≠－1}。
③当a＝－4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝1，
所以原不等式的解集为{x|x≠1}。
④当－4＜a＜4时，Δ＜0，方程无实根，所以原不等式的解集为R。
3. 答案：（1）或。（2）
【解析】（1）利用一元二次不等式的解法解不等式得解；（2）由题得，再对a分类讨论解不等式。
【详解】（1）当，不等式即，即，
解得，或，
故不等式的解集为或。
（2）若，不等式为，即，
∵，
∴当时， ，不等式的解集为；
当时，，不等式即，它的解集为；
当时，，不等式的解集为。
4. [3，5]
【解析】由题意可列不等式如下：·24 000·t%≥9 000⇔3≤t≤5
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