【数学】广西南宁市第三中学2019-2020学年高二10月月考（文）（解析版） 试卷

广西南宁市第三中学2019-2020学年高二10月月考（文）

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合．）

1．现要完成下列3项抽样调查：

①从15种疫苗中抽取5种检测是否合格；

②某中学共有480名教职工，其中一线教师360名，行政人员48名，后勤人员72名.为了解教职工对学校校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本；

③某中学报告厅有28排，每排有35个座位，一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请28名听众进行座谈.

较为合理的抽样方法是（    ）

A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样

B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样

C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样

D．①分层抽样，②系统抽样， ③简单随机抽样

2．现有60瓶矿泉水，编号从1至60．若从中抽取6瓶检验，用系统抽样方法确定所抽的编号可能为(　　)

A．3，13，23，33，43，53 B．2，14，26，38，42，56

C．5，8，31，36，48，54 D．5，10，15，20，25，30

3．直线x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为(　　)

 A．30°   B．60°   C．120°   D．150°

4．已知a，b，c是两两不同的三条直线，下列说法正确的是(　　)

 A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面

 B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交

 C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等

 D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c

5．若直线l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为，则m＝(　　)

 A．7          B．           C．14         D．17

6．某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为(　　)

 A．100         B．150         C．200        D．250

7．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)

 A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1   B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4

 C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4   D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1

8．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为(　　)

  A．2           B．4           C．6          D．8

9．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图，后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示，则7个剩余分数的方差为(　　)

A．   B．   C．36  D．

10．过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4的弦，则最短弦的长为（    ）

A．2       B． C． D．4

11．已知点A,B,C,D均在球O上，，若三棱锥D-ABC体积的最大值为，则球O的体积为(　　)

   A．32π           B．16π    C． D．

12．曲线y＝1＋与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是(　　)

 A．(，]   B．(，]   C．(0，)  D．(，＋∞)

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

13．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽取了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm．

14．总体由编号为01，02，03，，49，50的50个个体组成，利用随机数表（如上图，选取了随机数表中的第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第5个个体的编号为________

15．已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为________．

16．已知圆O：x2＋y2＝9及点C(2，1)，过点C的直线l与圆O交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，直线l的方程为________．

三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（10分）(1)求经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．

(2)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，求圆C的面积．

18．（12分）四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H．

(1)求四面体ABCD的体积；

(2)证明：四边形EFGH是矩形．

19．（12分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m＝(cos B，cos C)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n．

(1)求角B的大小；

(2)若b＝，求a＋c的范围．

20．（12分）如图，是以为直径的半圆上异于的一点，矩形所在平面垂直于该半圆所在的平面，且．

(1)求证：；

(2)设平面与半圆弧的另一个交点为，，求E到平面ADF的距离.

21．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3＋S5＝50，a1，a4，a13成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设，求数列{bn}的前n项和Tn．

22．（12分）已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．

(1)求圆C的方程；

(2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

1．B  ①总体数量较少，抽取样本数量较少，采用简单随机抽样；②不同岗位员工差异明显，且会影响到统计结果，因此采用分层抽样；③总体数量较多，且排数与抽取样本个数相同，因此采用系统抽样.

2．A  根据系统抽样原则，可知所抽取编号应成公差为的等差数列，B选项编号公差为；C选项编号不成等差；D选项编号公差为；A选项编号满足公差为的等差数列，正确

3．B  直线的斜率为k＝tan α＝，又因为0°≤α＜180°，所以α＝60°．

4．C  若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．

5．B  直线l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)，即2x＋6y＋2m＝0，因为它与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为，所以＝，求得m＝．

6．A  设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则解得因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1．

7．A  由题意，抽样比为＝，总体容量为3 500＋1 500＝5 000，故n＝5 000×＝100．

8．B  初始值S＝4，n＝1．循环第一次：S＝8，n＝2；循环第二次：S＝2，n＝3；循环第三次：S＝4，n＝4，满足n>3，输出S＝4．

9．D  由题意知＝91，解得x＝4．所以s2＝[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝(16＋9＋1＋0＋1＋9＋0)＝．

10．C  设A(3,1)，易知圆心C(2,2)，半径r=2，当弦过点A且与CA垂直时为最短弦，，半弦长，故最短弦长为

11．D  如图，设是的外心，则三棱锥体积最大时，

平面，球心在上．∵，

∴，即，

∴．

又，∴，．

∵平面，∴，设球半径为，则由，得

，解得，∴球体积为．

12．A  据题意画出图形，如图，直线过A(2,4)，B(－2，－1)，又曲线y＝1＋图象为以(0,1)为圆心，2为半径的半圆，当直线与半圆相切，C为切点时，圆心到直线的距离d＝r＝2，由，解得k＝；当直线过B点时，直线的斜率为＝，则直线与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为(，]

13．24  底部周长在[80，90)的频率为0.015×10＝0.15，底部周长在[90，100)的频率为0.025×10＝0.25，样本容量为60，所以树木的底部周长小于100 cm的株数为(0.15＋0.25)×60＝24．

14．43  根据题意，从随机数表第1行第9列和第10列数字开始，由左到右依次选取两个数字，其中小于或等于50的编号依次是08,02,14,07,43

15．(x－2)2＋(y－1)2＝5  由题意知，此平面区域表示的是以O(0，0)，P(4，0)，Q(0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．∵△OPQ为直角三角形，

∴圆心为斜边PQ的中点(2，1)，半径r＝＝，因此圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5．

16．x＋y－3＝0或7x＋y－15＝0   当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，则P，Q的坐标分别为(2，)，(2，－)，所以S△OPQ＝×2×2＝2．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－1＝k(x－2)，则圆心到直线PQ的距离为d＝，且|PQ|＝2，则S△OPQ＝×|PQ|×d＝×2×d＝≤＝，当且仅当9－d2＝d2，即d2＝时，S△OPQ取得最大值．因为2<，所以S△OPQ的最大值为，此时，由＝，解得k＝－7或k＝－1，则直线l的方程为x＋y－3＝0或7x＋y－15＝0．

17．(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0，0)和(4，1)，

∴l的方程为y＝x，即x－4y＝0．

若a≠0，则设l的方程为＋＝1，∵l过点(4，1)，∴＋＝1，

∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0．

综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0．

(2)圆C：x2＋y2－2ay－2＝0，即C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，圆心为C(0，a)，半径r＝，

C到直线y＝x＋2a的距离为d＝＝．

又由|AB|＝2，得＋＝a2＋2，解得a2＝2，所以圆的面积为π(a2＋2)＝4π．

18．(1)解　由该四面体的三视图可知，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1，

又BD∩DC＝D，∴AD⊥平面BDC，∴四面体ABCD的体积V＝××2×2×1＝．

(2)证明：∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，

平面EFGH∩平面ABC＝EH，∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH．

同理，EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形．

又∵AD⊥平面BDC，BC⊂平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形．

19．(1)∵m＝(cos B，cos C)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n，

∴(2a＋c)cos B＋bcos C＝0，∴cos B(2sin A＋sin C)＋sin Bcos C＝0，

∴2cos Bsin A＋cos Bsin C＋sin Bcos C＝0．即2cos Bsin A＝－sin(B＋C)＝－sin A．

∵A∈(0，π)，∴sin A≠0，∴cos B＝－．∵0＜B＜π，∴B＝．

(2)由余弦定理得

b2＝a2＋c2－2accosπ＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2－＝(a＋c)2，

当且仅当a＝c时取等号．∴(a＋c)2≤4，故a＋c≤2．

又a＋c>b＝，∴a＋c∈(，2]．即a＋c的取值范围是(，2]．

20．(1)证明：因为矩形平面，平面且，

所以平面，从而，①

又因为在半圆中，为直径，所以，即，②

由①②知平面，故有．

(2)因为AB//CD，所以AB//平面．又因为平面平面，

所以AB//EF，在等腰梯形中，，，，

所以，

设所求距离为d，则，即，即，得

21．(1)依题意得解得∴an＝2n＋1．

(2)，则

22．(1)设圆心C(a，0)，则＝2⇒a＝0或a＝－5(舍)．

所以圆C的方程为x2＋y2＝4．

(2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB．

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝．

若x轴平分∠ANB，则

kAN＝－kBN⇒＋＝0⇒＋＝0

⇒2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0⇒－＋2t＝0⇒t＝4，

所以当点N为(4，0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．