广西南宁市第三中学2020届高三数学（理科）考试卷一试题
展开南宁三中2020届高三（考试一）
理科数学试题
命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项符合.）
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知，则复数（ ）
A. B.2 C. D.
3.已知，则（ ）
A. B. C. D.
4.某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
5.已知圆和两点，，若圆上存在点使得，则的最大值为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
6.已知的展开式中，二项式系数和为32，各项系数和为243，则（ ）
A.2 B.3 C.-2 D.-3
7.函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
8.已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A.-2 B.2 C.5 D.6
9.已知的三边长为、、，且满足条件，则（ ）
A. B. C. D.
10.已知为的一个对称中心，则的对称轴可能为（ ）
A. B. C. D.
11.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作垂直于实轴的弦，若，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
12.已知函数是单调函数，对任意，都有，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.已知向量，，若与互垂直，则实数__________.
14.若变量、满足约束条件，则的最大值为__________.
15.在三棱锥中，，，两两相互垂直， ，则此三棱锥内切球的半径为__________.
16.已知抛物线，过的焦点的直线与交于，两点，弦长为2，则线段的中垂线与轴交点的横坐标为__________.
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若求数列的前项和.
18.（12分）
通过随机询问72名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明，得到如下列联表：
| 男 | 女 | 总计 |
读营养说明 | 16 | 28 | 44 |
不读营养说明 | 20 | 8 | 28 |
总计 | 36 | 36 | 72 |
附：
0.010 | 0.005 | 0.001 | |
6.635 | 7.879 | 10.828 |
（1）由以上列联表判断，能否在犯借误的概率不超过0.005的前提下认为性别和是否读营养说明有关系呢？
（2）从被询问的28名不读营养说明的大学生中随机选取2名学生，求抽到女生人数5的分布列及其数学期望.
19.（12分）
在四棱锥中，侧面底面，底面为直角梯形，，，，，，，分别为，的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
20.（12分）
在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦与，当直线的斜率为0时，.
（1）求椭圆的方程；
（2）求由，，，四点构成的四边形面积的取值范围.
21.（12分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，求实数的取值范围.
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（选修4-4：坐标系与参数方程）（10分）
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.
（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）设点.若直线与曲线相交于不同的两点， ，求的值.
23.（选修4-5：不等式选讲）（10分）
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围.
南宁三中2020届高三（考试一）理科数学参考答案
选择题答案
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | D | A | B | C | D | A | A | C | D | B | C | A |
填空题答案
13.-1 14.8 15.（） 16.
各题解析
12.【解析】∵是单调函数，∴（常数），∴，
又，∴，∴，∴，∴，
∴，∴.故选A.
16.【解析】设，，∴，又，
∴，
∴，中垂线为：，，∴时，也有.
17.【解析】（1）∵①∴，②
①-②得，则，
在①式中，令，得.
∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，
∴.
（2）.
所以③
则④
③-④得，
∴.
18.【解析】（1）由计算可得的观测值为，
因为，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“性别与读营养说明之间有关系”.
（2）的取值为0，1，2.
∴的分布列为：，，.
0 | 1 | 2 | |
∴的数学期望.
19.【解析】（1）证明：连接交于，并连接， ，
∵， ，为中点，∴，且，
∴四边形为平行四边形
∴为中点，
又为中点，
∴，
∵平面，平面，∴平面.
（2）（法一）由为正方形可得，∴.
取中点，连，， ，∵侧面底面，且交于，，
∴面，又，∴为二面角的平面角.
又∵，，，
∴，所以二面角的余弦值为.
（法二）由题意可知面， ，如图所示，以为原点，、、分别为、、建立直角坐标系.
则，，，.
平面法向量可取：
平面中，设法向量为，
则，取，
，
所以二面角的余弦值为.
20.【解析】（1）由题象知，则，，
∴.
所以，所以椭圆的方程为.
（2）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，
由题意知.
②当两弦斜率均存在且不为0时，设，，
且设直线的方程为，
则直线的方程为.
将直线的方程代入椭圆方程中，并整理得，
所以，
同理.
所以
，
由，当且仅当时取等号.
∴，
综合①与②可知，.
21.【解析】（1）∵，∴，，
∵，∴，
①当时，，在上单调递增；
②当时，，
∴在上单调递减；
∴在，上单调递增.
（2）①当时，由（1）知在上单调递增；
即有：，，从而可得：，，
∴.
②当时，由（1）知在上单调递减；
∴，，
即有：，，
从而可得：，，
∴，不合题意，舍去.
综上所述，实数的取值范围为.
22.【解析】（1）由直线的参数方程消去参数，得直线的普通方程为，
又将曲线的极坐标方程化为，∴曲线的直角坐标方程为.
（2）将直线的参数方程代入中，得，得，
此方程的两根为直线与曲线的交点，对应的参数，得，，
∴由直线参数的几何意义，知.
23.【解析】（1）∵，∴，
当时，不等式可化为，解得，所以；
当，不等式可化为，解得，无解；
当时，不等式可化为，解得，所以.
综上所述，不等式的解集为.
（2）因为，
且的解集不是空集，
所以，即的取值范围是.
