2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第9章12阅读与欣赏

　　　　　　　　　　　　　一道高考题引发的探究[真题示例] (2017·高考全国卷Ⅰ)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　)A．16　　　　　　　　　　　 B．14C．12 D．10[命题意图]　本题主要考查抛物线的定义、焦点弦及基本不等式的应用(或函数最值)．考查逻辑推理和运算求解能力．[解题思路]　一般利用弦长公式计算，有时也会引入中间变量利用函数的有界性或取值范围求解．一、解法探究　焦点弦法一：设l1的倾斜角α，α∈(0°，90°)，则l2的倾斜角为90°＋α.由焦点弦公式得|AB|＝，|DE|＝＝.所以|AB|＋|DE|＝＋＝.所以当sin22α＝1，即α＝45°时，(|AB|＋|DE|)min＝16.法二：由题意知，显然直线l1，l2的斜率都存在．设l1的斜率为k，则l2的斜率为－.由焦点弦公式得|AB|＝×4，|DE|＝×4＝(1＋k2)×4.所以|AB|＋|DE|＝4＝4≥4＋8＝16.当且仅当k2＝1，即k＝±1时，(|AB|＋|DE|)min＝16.　弦长公式与抛物线定义法三：显然l1，l2的斜率都存在，设l1的斜率为k，则l2的斜率为－，因为抛物线y2＝4x的焦点F(1，0)，设l1的方程为y＝k(x－1)，代入y2＝4x得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ＝16(k2＋1)＞0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝，x1x2＝1.|AB|＝＝＝.同理|DE|＝4(1＋k2)．所以|AB|＋|DE|＝＋4(1＋k2)．(下同法二)．法四：由法三与抛物线定义知，|AB|＝x1＋x2＋2＝＋2＝.k用－代换得|DE|＝＝4(k2＋1)．所以|AB|＋|DE|＝＋4(k2＋1)．(下同法二)答案：A二、内涵探究[问题1]　已知F为抛物线y2＝4x的焦点，过F且互相垂直的弦AB与DE，则＋＝________．解析：不妨设直线AB的倾斜角为α，α∈(0°，90°)，则由焦点弦公式得|AB|＝，|DE|＝＝，所以＋＝＋＝.所以＋＝.答案：[问题2]　已知F为抛物线y2＝4x的焦点，AB为过F的弦．有下列结论①＋为定值；②|AB|min＝4；③|FA|·|FB|min＝4；④以AB为直径的圆与y轴相切；⑤·为定值．(O为坐标原点)则正确的结论序号有________．解析：因为F(1，0)，设弦AB所在的直线方程为x＝my＋1.代入抛物线y2＝4x得y2－4my－4＝0.Δ＝16(m2＋1)＞0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.所以x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2.x1x2＝·＝＝1.对于①，＋＝＋＝＝＝1.即＋为定值1，①正确．对于②，|AB|＝x1＋x2＋2＝4m2＋4≥4.所以|AB|min＝4，②正确．对于③，|FA|·|FB|＝(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＝4m2＋4≥4，③正确．对于④，AB的中点M的横坐标为＝2m2＋1，所以M到y轴的距离为d＝2m2＋1，又|AB|＝2m2＋2＞d.故以|AB|为直径的圆与y轴相交．故④错误．(事实上，以AB为直径的圆与准线相切)．对于⑤，·＝x1x2＋y1y2＝1＋(－4)＝－3.即·为定值－3，即⑤正确．所以正确的序号有①②③⑤.答案：①②③⑤[问题3]　已知F为抛物线y2＝4x的焦点，过F且互相垂直的弦AB与DE，则四边形ADBE面积的最小值为(　　)A．16 B．32C．48 D．64解析：选B.由问题1知，S四边形ADBE＝|AB|·|DE|＝··＝.当sin22α＝1，即α＝45°时，S四边形ADBE的最小值为32.三、外延探究[问题4]　过椭圆C：＋＝1的右焦点F且互相垂直的两弦分别为AB与DE.(1)求证＋为定值，并求|AB|＋|DE|的最小值；(2)求四边形ADBE面积S的最小值，并求此时直线AB的方程．解：(1)由＋＝1知F(1，0)．设直线AB的方程为x＝my＋1.代入＋＝1得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0，Δ＝144(m2＋1)＞0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－，y1y2＝.所以|AB|＝＝＝＝＝.m用－代换得|DE|＝.所以＋＝＋＝＝.所以＋＝(定值)．(|AB|＋|DE|)＝2＋＋≥2＋2＝4.即(|AB|＋|DE|)≥4.所以|AB|＋|DE|≥，当且仅当|AB|＝|DE|＝时，|AB|＋|DE|取得最小值.(2)因为AB⊥DE.所以S＝|AB|·|DE|＝··＝72·＝72·.令t＝＋2≥4.所以S＝72·＝.所以当t＝4时，Smin＝.即当m＝±1时，S取得最小值.此时，直线AB的方程为x＝±y＋1.即y＝x－1或y＝－x＋1.[问题5]　如图所示．已知点E(m，0)为抛物线y2＝4x内的一个定点，过E作斜率分别为k1，k2的两条直线，分别交抛物线于点A、B、C、D，且M、N分别是AB、CD的中点．(1)若m＝1，k1k2＝－1，求三角形EMN面积的最小值；(2)若k1＋k2＝1，求证：直线MN过定点．解：(1)当m＝1时，E为抛物线y2＝4x的焦点，因为k1k2＝－1，所以AB⊥CD，设直线AB的方程为y＝k1(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k1y2－4y－4k1＝0，y1＋y2＝，y1y2＝－4，因为AB中点M，所以M，同理，点N(2k＋1，－2k1)．所以S△EMN＝|EM|·|EN|＝·＝2≥2＝4，当且仅当k＝，即k1＝±1时，△EMN的面积取最小值4.(2)证明：设直线AB方程为y＝k1(x－m)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k1y2－4y－4k1m＝0，y1＋y2＝，y1y2＝－4m，因为AB中点M，所以M，同理，点N，所以kMN＝＝＝k1k2，所以直线MN：y－＝k1k2，即y＝k1k2(x－m)＋2，所以直线MN恒过定点(m，2)．