2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第3章8阅读与欣赏（二）

　　　　　　　　　　　　　　导数的综合问题构造法解决抽象函数问题在导数及其应用的客观题中，有一个热点考查点，即不给出具体的函数解析式，而是给出函数f(x)及其导数满足的条件，需要据此条件构造抽象函数，再根据条件得出构造的函数的单调性，应用单调性解决问题的题目，该类题目具有一定的难度．下面总结其基本类型及其处理方法．　只含f(x)型 定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，且对任意x∈R都有f′(x)<，则不等式f(x2)>的解集为(　　)A．(1，2)　　　 B．(0，1)C．(1，＋∞) D．(－1，1)【解析】　构造函数g(x)＝f(x)－x＋c(c为常数)，则g′(x)<0，即函数g(x)在R上单调递减，且g(1)＝f(1)－＋c＝＋c.f(x2)>＝x2＋，即f(x2)－x2＋c>＋c，即g(x2)>g(1)，即x2<1，即－1<x<1.故选D.【答案】　D利用(f(x)＋kx＋b)′＝f′(x)＋k，根据导数符号，可得出函数g(x)＝f(x)＋kx＋b的单调性，利用其单调性比较函数值大小、解抽象函数的不等式等．　含λf(x)±f′(x)(λ为常数)型 (1)已知f(x)为R上的可导函数，且∀x∈R，均有f(x)>f′(x)，则有(　　)A．e2 015f(－2 015)<f(0)，f(2 015)>e2 015f(0)B．e2 015f(－2 015)<f(0)，f(2 015)＜e2 015f(0)C．e2 015f(－2 015)＞f(0)，f(2 015)>e2 015f(0)D．e2 015f(－2 015)＞f(0)，f(2 015)＜e2 015f(0)(2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋2f′(x)>0恒成立，且f(2)＝(e为自然对数的底数)，则不等式exf(x)－e>0的解集为________．【解析】　(1)仅从f(x)>f′(x)这个条件，无从着手，此时我们必须要借助于选择题中的选项的提示功能，结合所学知识进行分析．构造函数h(x)＝，则h′(x)＝<0，即h(x)在R上单调递减，故h(－2 015)>h(0)，即>⇔e2 015f(－2 015)>f(0)；同理，h(2 015)<h(0)，即f(2 015)<e2 015·f(0)，故选D.(2)由f(x)＋2f′(x)>0⇒2>0，可构造h(x)＝e·f(x)⇒h′(x)＝e[f(x)＋2f′(x)]>0，所以函数h(x)＝e·f(x)在R上单调递增，且h(2)＝e·f(2)＝1.不等式exf(x)－e>0等价于ef(x)>1，即h(x)>h(2)⇒x>2，所以不等式exf(x)－e>0的解集为(2，＋∞)．【答案】　(1)D　(2)(2，＋∞)(1)由于ex>0，故[exf(x)]′＝[f(x)＋f′(x)]ex，其符号由f(x)＋f′(x)的符号确定，′＝，其符号由f′(x)－f(x)的符号确定．含有f(x)±f′(x)类的问题可以考虑构造上述两个函数．(2)λf(x)＋f′(x)>0⇔[eλx×f(x)]′>0.　 　含xf(x)±nf′(x)型 (1)已知偶函数f(x)是定义在{x∈R|x≠0}上的可导函数，其导函数为f′(x)．当x<0时，f′(x)>恒成立．设m>1，记a＝，b＝2f(2)，c＝(m＋1)·f，则a，b，c的大小关系为(　　)A．a<b<c   B．a>b>cC．b<a<c D．b>a>c(2)设函数f(x)在R上的导函数为f′(x)，且2f(x)＋xf′(x)>x2.下面的不等式在R上恒成立的是(　　)A．f(x)>0   B．f(x)<0C．f(x)>x D．f(x)<x【解析】　(1)当x<0时，f′(x)>⇔xf′(x)－f(x)<0.构造函数g(x)＝，则g′(x)＝<0，即g(x)在(－∞，0)上单调递减．函数f(x)为偶函数，故g(x)为奇函数，得g(x)在(0，＋∞)上单调递减．b＝4m，c＝4m.因为m>1，所以m＋1>2，<＝2，所以m＋1>2>.所以g(m＋1)<g(2)<g.所以4mg(m＋1)<4mg(2)<4mg，即a<b<c.故选A.(2)构造函数g(x)＝x2f(x)，则其导数为g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)．①当x>0时，由2f(x)＋xf′(x)>x2，得g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)>x3>0，即函数g(x)＝x2f(x)在区间(0，＋∞)上递增，故g(x)＝x2f(x)>g(0)＝0⇒f(x)>0；②当x<0时，有g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)<x3<0，即函数g(x)＝x2f(x)在区间(－∞，0)上递减，故g(x)＝x2f(x)>g(0)＝0⇒f(x)>0；③当x＝0时，由2f(x)＋xf′(x)>x2，得f(x)>0.综上，对任意x∈R，有f(x)>0，应选A.【答案】　(1)A　(2)A(1)对于xf′(x)＋nf(x)>0型，构造F(x)＝xnf(x)，则F′(x)＝xn－1[xf′(x)＋nf(x)](注意对xn－1的符号进行讨论)，特别地，当n＝1时，xf′(x)＋f(x)>0，构造F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝xf′(x)＋f(x)>0；(2)对于xf′(x)－nf(x)>0型，且x≠0，构造F(x)＝，则F′(x)＝(亦需注意对xn＋1的符号进行讨论)，特别地，当n＝1时，xf′(x)－f(x)>0，构造F(x)＝，则F′(x)＝>0.　 　含f(x)±f′(x)tan x型 已知函数f(x)的导函数f′(x)，当x∈时，f′(x)sin 2x<f(x)(1＋cos 2x)成立，下列不等式一定成立的是(　　)A.f<f　　 B.f＞fC.f<f   D.f＞f【解析】　f′(x)sin 2x<f(x)(1＋cos 2x)⇒f′(x)sin x－f(x)cos x<0.令g(x)＝，g′(x)＝<0可知g(x)在上单调递减，所以g>g，即f>f.故选B.【答案】　B   由于在上，[sin x·f(x)]′＝cos x·f(x)＋sin x·f′(x)，其符号与f(x)＋f′(x)tan x相同，′＝，其符号与f′(x)tan x－f(x)符号相同．在含有f(x)±f′(x)tan x的问题中，可以考虑构造函数f(x)sin x，f(x)cos x，，等．