2021届高三新高考数学人教A版一轮复习教学案：第四章第3节　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第3节　两角和与差的正弦、余弦和正切公式考试要求　1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).知 识 梳 理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β.tan(α±β)＝.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin αcos α.cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan 2α＝.3.函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ).[常用结论与微点提醒]1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).2.cos2α＝，sin2α＝.3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝sin.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.(　　)(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.(　　)(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.(　　)(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　)解析　(3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠＋kπ(k∈Z).答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√2.(新教材必修第一册P217T3改编)已知cos α＝－，α∈，则sin等于(　　)A.－   B.   C.－   D.解析　∵α∈，且cos α＝－，∴sin α＝－，∴sin＝－×＋×＝－.答案　C3.(老教材必修4P131T4改编)已知tan＝2，则tan α＝(　　)A.   B.－   C.   D.－解析　tan＝＝2，解得tan α＝.答案　A4.(2018·全国Ⅲ卷)若sin α＝，则cos 2α＝(　　)A.   B.   C.－   D.－解析　由题意得cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝1－＝.答案　B5.(2020·揭阳一模)若sin＝，则sin4α－cos4α的值为(　　)A.   B.   C.－   D.－解析　sin＝cos 2α＝，sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝－cos 2α＝－.答案　D6.(2019·南昌一模)已知角α的终边经过点P(sin 47°，cos 47°)，则sin(α－13°)＝(　　)A.   B.   C.－   D.－解析　由三角函数定义，sin α＝cos 47°，cos α＝sin 47°，则sin(α－13°)＝sin αcos 13°－cos αsin 13°＝cos 47°cos 13°－sin 47°sin 13°＝cos(47°＋13°)＝cos 60°＝.答案　A考点一　三角函数式的化简【例1】 (1)化简：＝________.解析　原式＝＝＝＝＝cos 2x.答案　cos 2x(2)化简：－2cos(α＋β).解　原式＝＝＝＝＝＝.规律方法　(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.【训练1】 (1)化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________.(2)化简：·＝________.解析　(1)sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝sin(α＋β)cos (β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ).(2)原式＝tan(90°－2α)·＝··＝··＝.答案　(1)sin(α＋γ)　(2)考点二　三角函数式的求值　多维探究角度1　给值求值【例2－1】 (1)已知x∈，tan x＝，则＝________.(2)(2020·康杰中学联考)已知α－β＝，tan α－tan β＝3，则cos(α＋β)的值为(　　)A.＋    B.－C.＋    D.－解析　(1)由题意得，4sin x＝3cos x，又sin2x＋cos2x＝1，且x∈，解得cos x＝，sin x＝，又＝＝＝＝2sin x＝2×＝.(2)由tan α－tan β＝3，得－＝3，即＝3.∴sin(α－β)＝3cos αcos β.又知α－β＝，∴cos αcos β＝.而cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，∴sin αsin β＝－.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－＝－.答案　(1)　(2)D规律方法　给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.角度2　给角求值【例2－2】 (1)＋＝(　　)A.－4   B.4   C.－2   D.2(2)[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·＝________.解析　(1)＋＝－＝＝＝＝＝4.(2)原式＝·sin 80°＝·cos 10°＝2[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)]＝2sin(50°＋10°)＝2×＝.答案　(1)B　(2)规律方法　给角(非特殊角)求值的三个基本思路：(1)化非特殊角为特殊角；(2)化为正负相消的项，消去后求值；(3)化简分子、分母使之出现公约式，约分后求值.角度3　给值求角【例2－3】 (1)已知coscos＝－，α∈，则α＝________.(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________.解析　(1)coscos＝sincos＝sin＝－，即sin＝－，又α∈，则－2α∈，所以－2α＝－，得α＝.(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝>0，又α∈(0，π)，∴0<α<，又∵tan 2α＝＝＝>0，∴0<2α<，∴tan(2α－β)＝＝＝1.∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－.答案　(1)　(2)－规律方法　“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；(2)若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好.【训练2】 (1)(角度1)(2020·普宁联考)已知tan＝2，α∈，则sin cos ＋cos2－＝________.(2)(角度2)cos2＋sin cos ＝________.(3)(角度3)已知α，β为锐角，cos α＝，且sin(α＋β)＝，则角β＝________.解析　(1)∵tan＝2，∴tan＝－2，即tan＝＝＝－2，∴cos＝－2sin.∵α∈，∴α＋∈.又知cos2＋sin2＝1，解得cos＝－，sin＝.则sin cos ＋cos2－＝sin α＋cos α＝sin＝.(2)cos2＋sin cos ＝＋sin ＝＋cos＋sin ＝＋×＋×＝.(3)∵α为锐角，且cos α＝，∴sin α＝＝.∵α，β∈，∴0<α＋β<π.又∵sin(α＋β)<sin α，∴α＋β>，∴cos(α＋β)＝－.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝＝.∴β＝.答案　(1)　(2)　(3)考点三　三角恒等变换的应用【例3】 已知函数f(x)＝＋2sin x.(1)在△ABC中，cos A＝－，求f(A)的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及其图象的对称轴的方程.解　(1)由sin x＋cos x≠0得x≠kπ－，k∈Z.因为f(x)＝＋2sin x＝＋2sin x＝cos x＋sin x，在△ABC中，cos A＝－<0，所以<A<π，所以sin A＝＝，所以f(A)＝sin A＋cos A＝－＝.(2)由(1)可得f(x)＝sin，所以f(x)的最小正周期T＝2π.因为函数y＝sin x的对称轴为x＝kπ＋，k∈Z，又由x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝kπ＋，k∈Z，所以f(x)的对称轴的方程为x＝kπ＋，k∈Z.规律方法　1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用.2.把形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性.【训练3】 (2019·合肥质检)将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，设函数h(x)＝f(x)－g(x).(1)求函数h(x)的单调递增区间；(2)若g＝，求h(α)的值.解　(1)由已知可得g(x)＝sin，则h(x)＝sin 2x－sin＝sin 2x－cos 2x＝sin.令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.∴函数h(x)的单调递增区间为(k∈Z).(2)由g＝，得sin＝sin＝，∴sin＝sin＝－sin＝－，即h(α)＝－.A级　基础巩固一、选择题1.(2020·河南天一大联考)已知sin＝，则sin 4x的值为(　　)A.   B.±   C.   D.±解析　因为sin＝(cos 2x－sin 2x)＝，所以sin 2x－cos 2x＝－，所以(sin 2x－cos 2x)2＝1－2sin 2xcos 2x＝1－sin 4x＝，所以sin 4x＝.故选A.答案　A2.(2020·重庆联考)＝(　　)A.2   B.   C.   D.1解析　原式＝＝＝1.答案　D3.(2019·吉安一模)若sin(α＋π)＝，α∈，则＝(　　)A.－   B.   C.   D.解析　由sin(α＋π)＝，得－sin α＝，则sin α＝－.又α∈，∴cos α＝＝，∴＝＝－2sin αcos α＝.答案　B4.(2020·广东省际名校联考)若cos＝，则cos＝(　　)A.   B.－   C.   D.－解析　∵cos＝，∴cos＝sin＝sin＝，∴cos＝1－2sin2＝－.答案　D5.(2019·全国Ⅱ卷)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　)A.   B.   C.   D.解析　由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝2cos2α.又α∈，所以2sin α＝cos α，又sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝，故sin α＝.答案　B二、填空题6.函数y＝sin＋cos 2x的最大值为________.解析　因为y＝sin＋cos 2x＝cos 2x－sin 2x＋cos 2x＝cos 2x－sin 2x＝cos，故最大值为.答案　7.已知180°<α<360°，化简：＝________.解析　原式＝＝＝＝.因为180°<α<360°，所以90°<<180°，所以cos <0，所以原式＝cos α.答案　cos α8.已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝________.解析　因为α，β均为锐角，所以－<α－β<.又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝.又sin α＝，所以cos α＝，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝.所以β＝.答案　三、解答题9.(2020·合肥质检)已知函数f(x)＝cos 2x＋sin.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若α∈，f(α)＝，求cos 2α.解　(1)∵f(x)＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin，∴函数f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)由f(α)＝，可得sin＝.∵α∈，∴2α＋∈.又∵0<sin＝<，∴2α＋∈.∴cos＝－.∴cos 2α＝cos＝coscos ＋sin·sin ＝.10.已知函数f(x)＝2cos2ωx－1＋2sin ωxcos ωx(0<ω<1)，直线x＝是函数f(x)的图象的一条对称轴.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)已知函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若g＝，α∈，求sin α的值.解　(1)f(x)＝cos 2ωx＋sin 2ωx＝2sin，由于直线x＝是函数f(x)＝2sin的图象的一条对称轴.所以ω＋＝kπ＋(k∈Z)，解得ω＝k＋(k∈Z)，又0<ω<1，所以ω＝，所以f(x)＝2sin.由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).(2)由题意可得g(x)＝2sin，即g(x)＝2cos ，由g＝2cos＝2cos＝，得cos＝，又α∈，故<α＋<，所以sin＝，所以sin α＝sin＝sin·cos －cos·sin ＝×－×＝.B级　能力提升11.(2020·龙岩质检)若α∈(0，π)，且3sin α＋2cos α＝2，则tan 等于(　　)A.   B.   C.   D.解析　3sin α＋2cos α＝＝＝2，∴3tan ＋1－tan2＝tan2＋1，解得tan ＝0或，又α∈(0，π)，∴tan ≠0，∴tan ＝，故选D.答案　D12.(2020·河南百校联盟质检)若α∈，且cos 2α＝sin，则tan α＝(　　)A.   B.   C.   D.解析　因为α∈，所以sin α＋cos α>0，因为cos 2α＝sin，所以(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝(sin α＋cos α)，所以cos α－sin α＝，可得α∈.将cos α－sin α＝两边平方可得1－2sin αcos α＝，∴sin αcos α＝，∴＝.分子、分母同除以cos2α可得＝，解得tan α＝或(舍)，即tan α＝.答案　A13.已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，则β＝________.解析　由cos α＝，0<α<，得sin α＝＝＝，由0<β<α<，得0<α－β<，又∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝＝＝.由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝.∴β＝.答案　14.已知函数f(x)＝·cos(x＋θ)为奇函数，且f＝0，其中a∈R，θ∈(0，π).(1)求a，θ的值；(2)若α∈，f＋coscos 2α＝0，求cos α－sin α的值.解　(1)因为f(x)＝cos(x＋θ)是奇函数，所以cos(x＋θ)＝－cos，化简、整理得，cos xcos θ＝0，则有cos θ＝0，由θ∈(0，π)，得θ＝，所以f(x)＝－sin x·.由f＝0，得－(a＋1)＝0，即a＝－1.(2)由(1)知f(x)＝－sin 2x，f＋coscos 2α＝0⇒sin＝coscos 2α，因为cos 2α＝sin＝sin＝2sincos，所以sin＝cos2sin.又α∈，所以sin＝0或cos2＝.由sin＝0⇒α＝，所以cos α－sin α＝cos －sin ＝－；由cos2＝，<α＋<，得cos＝－⇒(cos α－sin α)＝－⇒cos α－sin α＝－.综上，cos α－sin α＝－或cos α－sin α＝－.C级　创新猜想15.(多选题)已知函数f(x)＝sin－2sin·cos，则下列关于函数f(x)的描述正确的是(　　)A.f(x)在区间上单调递增B.f(x)图象的一个对称中心是C.f(x)图象的一条对称轴是x＝－D.将f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得函数图象关于y轴对称解析　f(x)＝sin－2sincos＝cos 2x＋sin 2x＋sin2x－cos2x＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x＝sin，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，⊆，故A正确；f＝sin ＝1≠0，故B不正确；f＝－sin ＝－1，故C正确；将f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y＝sin的图象，显然不关于y轴对称，故D不正确.答案　AC