第五章 5.4 平面向量的应用-2021届高三数学一轮基础复习讲义（学生版+教师版）【机构专用】

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第1课时


进门测



1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若∥，则A，B，C三点共线．(　√　)
(2)向量b在向量a方向上的投影是向量．(　×　)
(3)若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角．(　×　)
(4)在△ABC中，若·a，所以4c2－5a2＝0,4(a2＋b2)－5a2＝0，则a＝2b，则双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x，故选B.
题型四 函数与方程思想在向量中的应用
例6 (1)设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于______．
(2)在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.
解析　(1)因为b≠0，所以b＝xe1＋ye2，x≠0或y≠0.
当x＝0，y≠0时，＝0；
当x≠0时，|b|2＝(xe1＋ye2)2＝x2＋y2＋xy，
＝＝，
不妨设＝t，则＝，
当t＝－时，t2＋t＋1取得最小值，
此时取得最大值4，
所以的最大值为2.
综上，的最大值为2.
(2)由＝λ＋μ，得＝λ·(＋)＋μ·(＋)，得(－1)＋＋(＋)＝0，得(－1)＋＋(＋)(＋)＝0，得(λ＋μ－1)＋(λ＋)＝0.
又因为，不共线，
所以由平面向量基本定理得解得所以λ＋μ＝.
答案　(1)2　(2)
第3课时


阶段重难点梳理



1．向量在平面几何中的应用
(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：
问题类型
所用知识
公式表示
线平行、点共线等问题
共线向量定理
a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0
垂直问题
数量积的运算性质
a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，
其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量
夹角问题
数量积的定义
cos θ＝(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量
长度问题
数量积的定义
|a|＝＝，其中a＝(x，y)，a为非零向量

(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：
平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题．
2．平面向量在物理中的应用
(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．
(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角)．
3．向量与相关知识的交汇
平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．
【知识拓展】
1．若G是△ABC的重心，则＋＋＝0.
2．若直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(－B，A)与直线l平行．

重点题型训练



题型五　平面向量与三角函数
命题点1　向量与三角恒等变换的结合
例1　已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0