数学1.3 证明学案

这是一份数学1.3 证明学案，共6页。






1．如图，下面的推理正确的是(D)


A．∵∠1＝∠2，∴AB∥CD


B．∵∠ABC＋∠BCD＝180°，∴AD∥BC


C．∵AD∥BC，∴∠3＝∠4


D．∵∠ABC＋∠DAB＝180°，∴AD∥BC


,(第1题)) ,(第2题))


2．如图，若a∥b，则∠1的度数为(C)


A. 90° B. 80°


C. 70° D. 60°





(第3题)





3．有一条直的宽纸带，按如图所示的方式折叠，则∠α的度数等于(C)


A. 50°


B. 60°


C. 75°


D. 85°


4．字母a，b，c，d分别代表正方形、线段、正三角形、圆这四个图形中的一种，将它们两两组合，并用字母连接表示，如表是三种组合与连接的对应表，由此可推断图形的连接方式为a⊕c．


组合,,,连接,a⊕b,b⊕d,d⊕c








(第5题)


5．如图，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E＝∠3，试说明：AD平分∠BAC.


解：∵AD⊥BC，EG⊥BC，


∴AD∥EG(垂直于同一条直线的两条直线互相平行)，


∴∠1＝∠E(两直线平行，同位角相等)，


∠2＝∠3(两直线平行，内错角相等)．


又∵∠3＝∠E，∴∠1＝∠2，


∴AD平分∠BAC(角平分线的定义)．





(第6题)


6．如图，直线a∥b，三角形纸板的直角顶点A落在直线a上，两条直线分别交直线b于B，C两点．若∠1＝42°，求∠2的度数．


【解】 ∵直线a∥b，∠1＝42°，


∴∠ACB＝42°.


又∵∠BAC＝90°，


∴∠ABC＝180°－∠BAC－∠ACB＝48°.


∴∠2＝∠ABC＝48°.





(第7题)


7．如图，已知直线a∥b，直角三角形ABC的顶点B在直线a上，∠C＝90°，∠β＝55°，求∠α的度数．


【解】 过点C作CE∥a.


∵a∥b，∴CE∥a∥b，


∴∠BCE＝∠α，∠ACE＝∠β＝55°.


∵∠ACB＝90°，


∴∠α＝∠BCE＝∠ACB－∠ACE＝35°.

















(第8题)





8．如图，P为△ABC内任意一点，∠1＝∠2.求证：∠ACB与∠BPC互补．


【解】 在△BCP中，∠BPC＋∠2＋∠BCP＝180°，


∴∠BPC＝180°－(∠2＋∠BCP)．


又∵∠1＝∠2，∴∠BPC＝180°－(∠1＋∠BCP)，


∴∠BPC＝180°－∠ACB，


∴∠ACB＋∠BPC＝180°，


即∠ACB与∠BPC互补．





(第9题)


9．如图，已知AB∥CD，EF与AB，CD分别相交于点E，F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠BEP＝50°，求∠EPF的度数．


【解】 ∵EP⊥EF，∴∠PEF＝90°.


∵∠BEP＝50°，


∴∠BEF＝∠BEP＋∠PEF＝140°.


∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠EFD＝180°.


∴∠EFD＝40°.


∵FP平分∠EFD，∴∠EFP＝eq \f(1,2)∠EFD＝20°.


∵∠PEF＋∠EFP＋∠EPF＝180°，


∴∠EPF＝70°.


10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，BE平分∠ABC，分别交AC，CD于点E，F.求证：∠CEF＝∠CFE.





(第10题)





【解】 ∵BE平分∠ABC，


∴∠ABE＝∠CBE.


∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，


∴∠CEF＋∠CBE＝90°，∠DFB＋∠ABE＝90°，


∴∠CEF＝∠DFB.


∵∠CFE＝∠DFB，


∴∠CEF＝∠CFE.


11．阅读：如图①，∵CE∥AB，∴∠1＝∠A，∠2＝∠B，∴∠ACD＝∠1＋∠2＝∠A＋∠B.这是一个有用的事实，请用这个事实，在图②中的四边形ABCD内引一条和边平行的直线，求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D的度数．





(第11题)








(第11题解)


【解】 如解图，过点D作DE∥AB交BC于点E，则∠A＋∠ADE＝180°，∠B＋∠BED＝180°.


由题意，得∠BED＝∠C＋∠CDE，


∴∠A＋∠B＋∠C＋∠CDA＝(∠A＋∠ADE)＋(∠CDE＋∠C)＋∠B＝180°＋∠BED＋∠B＝180°＋180°＝360°.








12．如图，∠EOF＝90°，点A，B分别在射线OE，OF上移动，连结AB并延长至点D，∠DBO的平分线与∠OAB的平分线交于点C，试问：∠ACB的大小是否随点A，B的移动而发生变化？如果保持不变，请说明理由；如果随点A，B的移动而发生变化，请给出变化的范围．





(第12题)





【解】 ∠ACB不随点A，B的移动发生变化．理由如下：


∵BC，AC分别平分∠DBO，∠BAO，


∴∠DBC＝eq \f(1,2)∠DBO，∠BAC＝eq \f(1,2)∠BAO.


∵∠DBO＋∠OBA＝180°，∠OBA＋∠BAO＋∠AOB＝180°，


∴∠DBO＝∠BAO＋∠AOB，


∴∠DBO－∠BAO＝∠AOB＝90°.


∵∠DBC＋∠ABC＝180°，∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180°，


∴∠DBC＝∠BAC＋∠ACB，


∴eq \f(1,2)∠DBO＝eq \f(1,2)∠BAO＋∠ACB，


∴∠ACB＝eq \f(1,2)(∠DBO－∠BAO)＝eq \f(1,2)∠AOB＝45°.