初中数学浙教版八年级上册1.3 证明第二课时教案

浙教版数学 八年级上册 1.3证明（第二课时）教案

一、教材分析

学生在前一课学习了证明的定义，基本推理的基础上，本节课着重学习命题的证明，以及较为复杂，添加辅助线，推理思路不易形成的题型。

二、学情分析

命题的证明是本节课的重点，将命题的证明格式分成：1。作图   2.写出已知，求证

3.在证明中写推理过程。对于刚刚接触的学生有一定的难度，需要教师多引导。

然后是学生的心理特征，八年级的学生好奇心重，求知欲强，教师通过合适的方法引入有助于他们更好地三角形的相关内容。

三、教学目标

知识与技能

1.进一步理解证明的含义

2.探索并理解三角形内角和定理的几何证明

3.三角形外角的性质

过程与方法：通过简单命题的证明，训练学生的逻辑推理能力和自主探究能力

情感态度与价值观：学生在学完证明之后，能够对数学的逻辑推理严密思维有一定的体验和感受，并利用这种思维解决更多的问题。

四、教学重难点

重点：探索三角形内角和定理的证明

难点：复杂命题的证明，多个定理的运用

五、教学方法、手段

教学方法：讲授法，讨论法，练习法

教学手段：板书与多媒体课件相结合

六．教学过程

一、创设情景，引出课题

什么是证明？

要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理，一步一步推出结论成立，这样的推理过程叫做证明 。

为什么需要证明？

1.目测（直观）→错觉；

2.列举→不甚枚举，找反例难；

3.测量→存在误差

讲授新课

例3  证明命题“三角形三个内角的和等于180°”是真命题.

已知：∠BAC，∠B，∠C是△ABC的三个内角.

求证：∠BAC+∠B+∠C=180°.

证明：过A 作 AE // BC

则∠C＝∠2，∠B＝∠1

（两直线平行，内错角相等）

∴∠BAC+∠B+∠C   

＝∠BAC+∠1+∠2

＝∠DAE＝180º

（平角的定义）

在解决几何问题时,有时需要添加辅助线,添辅助线的过程要写入证明中,  辅助线通常画成虚线。

你还有其他证明方法吗？

证法2：作BC的延长线CD，过点C作射线CE//AB，则

∠1＝∠Ａ（两直线平行，内错角相等）

∠2＝∠Ｂ（两直线平行，同位角相等）

∵∠1+∠2+∠ACB＝180°

∴∠Ａ+∠Ｂ+∠ACB＝180°

证法3:证明：在BC上任取一点D，过D作DE//AB，作DF//AC。

∴∠1=∠B，∠2=∠C，∠DEC=∠A，
∵DE∥AB，∴∠3=∠DEC，
∴∠3=∠A，                               
∵∠1+∠2+∠3=180°

∴∠Ａ+∠Ｂ+∠Ｃ＝180°

三角形内角性质：三角形的三个内角和为180度。

讲授新课  如图，∠ACD是由△ABC的一条边BC的延长线和另一条相邻的边CA组成的∠ACD，这样的角叫做该三角形的外角。

思考:一个三角形可以画多少个外角?请你把它们都画出来。6个

三角形的外角性质（1）

已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角

求证：∠ACD =∠A+∠B

证明:∵∠ACD+∠ACB=180°

∠A+∠B+∠ACB=180°

∴∠ACD =∠A+∠B

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

三角形的外角性质（2）

已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角

求证：∠ACD >∠A     ∠ACD >∠B

证明：∵∠ACD =∠A+∠B

∴∠ACD >∠A

∠ACD >∠B

三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

三角形的外角性质（3）

已知：∠1、∠2、∠3为△ABC的三个外角，如图．
求证：∠1+∠2+∠3=360°．

证明：∵∠1是△ABC的外角，∴∠1=∠ABC+∠ACB，
同理得∠2=∠ABC+∠BAC，∠3=∠ACB+∠BAC，
∴∠1+∠2+∠3=（∠ABC+∠ACB）+（∠ABC+∠BAC）+（∠ACB+∠BAC）=2（∠ABC+∠ACB+∠BAC）
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠1+∠2+∠3=360°．

三角形的外角和为360°.

小结：

证明几何命题的一般格式：

⑴按题意画出图形；

⑵分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；

⑶在“证明”中写出推理过程

例题精讲  已知:如图，∠B+ ∠D=∠BCD,

求证： AB// DE

证明：如图，延长BC，交DE于点F。

∵  ∠B+ ∠D= ∠BCD（已知）

又∵ ∠BCD= ∠D+ ∠CFD

（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和），

∴ ∠B+ ∠D= ∠D+ ∠CFD

∴ ∠B= ∠CFD

∴AB∥DE（内错角相等，两直线平行）

辅助线的添加

1.辅助线是为了证明需要在原图上添画的线.（辅助线通常画成虚线）

2.它的作用是把分散的条件集中，把隐含的条件显现出来，起到牵线搭桥的作用.

3.添加辅助线，可构造新图形，形成新关系，找到联系已知与未知的桥梁，把问题转化，但辅助线的添法没有一定的规律，要根据需要而定,平时做题时要注意总结.

课堂检测

1．如图，下列关于△ABC的外角的说法正确的是(　　)

A．∠HBA是△ABC的外角

B．∠HBG是△ABC的外角

C．∠DCE是△ABC的外角

D．∠GBA是△ABC的外角

答案.D

2．如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是(　　)

A．∠A＞∠1＞∠2   B．∠2＞∠1＞∠A

C．∠A＞∠2＞∠1   D．∠2＞∠A＞∠1

答案 B

3.如图，在五角星图形中，

求：∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数。

.解：如右图所示，
∵∠1=∠C+∠2，∠2=∠A+∠D，
∴∠1=∠C+∠A+∠D

又∵∠1+∠B+∠E=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．
故答案是：180°．

4.计算：下图中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=      度

5.已知，如图，在 △ ABC中，AB=2AC

求证：AC＜BC＜3AC。

证明：∵AB=2AC，AC+BC>AB
∴AC<BC
3AC=AC+AB
∵BC<AC+AB
∴AC<BC<3AC

6.AD是△ABC的高，BE平分∠ABC交AD于O，∠BAC＝50°，∠C＝54°.求：∠AEB和∠AOB的度数．

解：∵∠BAC＝50°，∠C＝54°，

 ∴∠ABC＝180°－∠C－∠BAC＝76°，

 ∵BE平分∠ABC，

 在△ABE中，∠AEB＝180°－∠BAC－∠ABE

 ＝180°－50°－38°＝92°，

 ∵AD是高线，∠ABD＝76°，∴ ∠BAD＝14°.

 在△OBA中，∠AOB＝180°－∠BAO－∠ABO.

 ∴∠AOB＝128°.

综上，∠AEB＝92°，∠AOB＝128°.

七．课堂小结，作业布置

小结：（1）三角形内角和定理的证明方法；

（2）三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。

（3）常用的几何证明方法：由结论出发寻求使结论成立的条件，进而形成解题思路。

（4）初步学会添加辅助线。

作业：  课本P页第20页1、4 题 、配套练习